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- Aplicaciones lineales y matrices
(2.1) Definici´on Sean V y W espacios vectoriales sobre K, f : V → W. Se dice que f es lineal cuando f (a + b) = f (a) + f (b) y f (ta) = tf (a) para todos a, b ∈ V, t ∈ K.
(2.2) Conscuencias de la definici´on Si f es lineal se cumple:
- f (0) = 0.
- f (−a) = −f (a).
- f (t 1 a 1 + · · · + tnan) = t 1 f (a 1 ) + · · · + tnf (an).
- La composici´on de aplicaciones lineales es lineal.
Dem. Ejercicio.
(2.3) Ejemplos
Sea S subespacio de V. La aplicaci´on inclusi´on in: S → V dada por in(a) = a para todo a ∈ S es lineal: En efecto, si a, b ∈ S, t ∈ K se tiene in(a + b) = a + b = in(a) + in(b), y tambi´en in(ta) = ta = t in(a). Notar que en el caso S = V se trata de la aplicaci´on identidad en V , IdV. Tambi´en es inmediato comprobar que es lineal la aplicaci´on nula O: V → W , que a cada vector de V le asocia el vector nulo de W.
Si dim V = n y B es base de V , (1.29) dice que fB: V → Kn^ es lineal (y biyectiva).
Sea V = { ϕ: R → R | ϕ derivable }, que es subespacio de RR. Las primeras propiedades sobre derivaci´on de funciones aseguran que la aplicaci´on D: V → RR^ dada por D(ϕ) = ϕ′ es lineal.
Sean a < b ∈ R y V = { ϕ: R → R | ϕ continua }, que es subespacio de RR. La aplicaci´on
Inta,b: V → R dada por Inta,b(ϕ) =
∫ (^) b a ϕ^ para cada^ ϕ^ ∈^ V^ , es lineal.
- Considerar el sistema de ecuaciones lineales
2 x 1 + x 2 + 3x 3 = t 1 x 1 + 4x 3 = t 2
. La aplicaci´on
f : R^3 → R^2 dada por f (x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 2x 1 + x 2 + 3x 3 , x 1 + 4x 3 ) es lineal (comprobarlo). Si nos dan los valores t 1 , t 2 ∈ R, resolver el sistema en R es hallar el conjunto de antiim´agenes de (t 1 , t 2 ) por la aplicaci´on lineal f.
- Suponer que los subespacios S, T cumplen V = S ⊕ T. Por ser V = S + T , cada a ∈ V puede ponerse como a = a 1 + a 2 con a 1 ∈ S, a 2 ∈ T y como S y T tienen suma directa, los a 1 , a 2 cumpliendo lo anterior son ´unicos. Por tanto, podemos definir la aplicaci´on g: V → V que a cada a ∈ V le asocia el correspondiente vector a 1. Veamos que g es lineal: Sean a, b ∈ V, t ∈ K. Tenemos a = a 1 + a 2 con a 1 ∈ S, a 2 ∈ T y b = b 1 + b 2 con b 1 ∈ S, b 2 ∈ T. As´ı, g(a) = a 1 y g(b) = b 1. Por tanto a + b = a 1 + b 1 + a 2 + b 2 y adem´as a 1 + b 1 ∈ S y a 2 + b 2 ∈ T por ser S y T subespacios. Luego g(a + b) = a 1 + b 1 = g(a) + g(b). An´alogamente, ta = ta 1 + ta 2 con ta 1 ∈ S y ta 2 ∈ T , luego g(ta) = ta 1 = tg(a).
(2.4) Proposici´on y definici´on Sea f : V → W lineal.
Si S es subespacio de V , entonces f (S) es subespacio de W. En particular, f (V ) es un subespacio de W al que se llama subespacio imagen de f , Im f. Si es de dimensi´on finita, llamaremos rango de f a la dimensi´on de Im f.
Si T es subespacio de W , entonces f −^1 (T ) es subespacio de V. En particular, f −^1 ({ 0 }) es un subespacio de V al que se llama n´ucleo de f , Ker f.
Dem. Para S ⊆ V y T ⊆ W , f (S) = { f (a) | a ∈ S } y f −^1 (T ) = { a ∈ V | f (a) ∈ T }. (No confundir con la aplicaci´on f −^1 , que puede que no exista pues f puede ser no biyectiva.)
- Ejercicio. 2) Sea T subespacio de W. f −^1 (T ) est´a contenido en V , veamos que es subespacio de V : Por (2.2) y ser f lineal se tiene f (0) = 0 ∈ T porque T es subespacio. Luego el vector nulo de V pertenece a f −^1 (T ) y as´ı f −^1 (T ) es no vac´ıo. Sean a, b ∈ f −^1 (T ), t, r ∈ K, ¿ta + rb ∈ f −^1 (T )? Tenemos f (a) ∈ T, f (b) ∈ T. Por ser f lineal, f (ta + rb) = tf (a) + rf (b) ∈ T porque T es subespacio, luego ta + rb ∈ f −^1 (T ).
(2.5) Proposici´on Sea f : V → W lineal, a 1 ,... , an familia de vectores de V.
- f
K〈a 1 ,... , an〉
= K〈 f (a 1 ),... , f (an) 〉. En particular, si K〈a 1 ,... , an〉 = V y f es suprayectiva, entonces K〈f (a 1 ),... , f (an)〉 = W.
Si a 1 ,... , an es libre y f es inyectiva, entonces f (a 1 ),... , f (an) es libre
Si a 1 ,... , an es base de V y f es biyectiva, entonces f (a 1 ),... , f (an) es base de W.
Dem. 1) Sea a ∈ f
K〈a 1 ,... , an〉
, ¿ a ∈ K〈 f (a 1 ),... , f (an) 〉? Tenemos a = f (v) con v ∈ K〈a 1 ,... , an〉. As´ı, existen t 1 ,... , tn ∈ K tales que v = t 1 a 1 + · · · + tnan y por ser f lineal, a = f (v) = t 1 f (a 1 ) + · · · + tnf (an) ∈ K〈 f (a 1 ),... , f (an) 〉. Esto prueba que f
K〈a 1 ,... , an〉
⊆ K〈 f (a 1 ),... , f (an) 〉. Notar que para cada i = 1,... , n,
ai ∈ K〈a 1 ,... , an〉, luego f (ai) ∈ f
K〈a 1 ,... , an〉
para cada i = 1 ,... , n. Como f
K〈a 1 ,... , an〉
es subespacio por (2.4)-1), K〈 f (a 1 ),... , f (an) 〉 ⊆ f
K〈a 1 ,... , an〉
y se tiene la igualdad. Si f suprayectiva, f (V ) = W , luego se cumple el resto del apartado.
Sea a 1 ,... , an libre y f inyectiva, veamos que f (a 1 ),... , f (an) es libre: Suponiendo que t 1 f (a 1 ) + · · · + tnf (an) = 0 con t 1 ,... , tn ∈ K, ¿ti = 0 para i = 1,... , n? Como f es lineal, 0 = f (0) y tambi´en 0 = t 1 f (a 1 ) + · · · + tnf (an) = f (t 1 a 1 + · · · + tnan). Es decir, f (0) = f (t 1 a 1 + · · · + tnan) y por ser f inyectiva tiene que ser 0 = t 1 a 1 + · · · + tnan. Como la familia a 1 ,... , an es libre, se tiene ti = 0 para i = 1,... , n.
Es consecuencia directa de 1) y 2).
(2.6) Proposici´on Sea f : V → W lineal y biyectiva.
La aplicaci´on f −^1 : W → V tambi´en es lineal y biyectiva.
Si S es subespacio de V y dim S = k, entonces dim f (S) = k.
Si dim V = n, entonces dim W = n.
Dem. 1) Por ser f biyectiva existe su aplicaci´on inversa f −^1 : W → V , que tambi´en es biyectiva. Veamos que f −^1 es lineal: Sean a, b ∈ W, t ∈ K. Tenemos f −^1 (a) ∈ V y
(2.9) Proposici´on Sean V y W espacios vectoriales sobre K, a 1 ,... , an base de V y b 1 ,... , bn vectores de W. Entonces, existe una ´unica aplicaci´on lineal f : V → W tal que f (a 1 ) = b 1 ,... , f (an) = bn.
Como consecuencia, si dos aplicaciones de V en W son lineales y toman los mismos valores en los vectores de una base de V , entonces son iguales.
Dem. Sea B : a 1 ,... , an, sabemos que fB: V → Kn^ es lineal. Sea g: Kn^ → W dada por g(x 1 ,... , xn) = x 1 b 1 + · · · + xnbn. Veamos que g es lineal (ejercicio). Luego la composici´on g◦ fB: V → W es lineal. Para cada i = 1,... , n, ¿es g◦ fB(ai) = bi? Como ai = 0a 1 + · · · + 1 ai +· · ·+0an, las coordenadas de ai respecto B son fB(ai) = (0,... , 1 ,... , 0) (con el “1”en el lugar i) y por tanto g◦^ fB(ai) = g(0,... , 1 ,... , 0) = 0b 1 + · · · + 1bi + · · · + 0bn = bi.
As´ı g◦^ fB cumple todas las condiciones del enunciado, veamos que es la ´unica, esto es, si f : V → W es lineal y f (ai) = bi para cada i, ¿es f = g◦ fB? Ambas son aplicaciones de V en W , falta probar que toman el mismo valor en todo vector de V : Sea a ∈ V , llamar (x 1 ,... , xn) a sus coordenadas respecto B, es decir, a = x 1 a 1 + · · · + xnan. Por ser f lineal, f (a) = x 1 f (a 1 ) + · · · + xnf (an) = x 1 b 1 + · · · + xnbn = g(x 1 ,... , xn) = g
fB(a)
= g◦ fB(a).
(2.10) Expresi´on coordenada Sea f : V → W aplicaci´on lineal, dim V = n, dim W = m, B 1 : a 1 ,... , an base de V y B 2 : b 1 ,... , bm base de W. Si a ∈ V tiene coordenadas (x 1 ,... , xn) respecto B 1 ¿cu´ales son las coordenadas (y 1 ,... , ym) de f (a) respecto B 2?
Para cada i = 1,... , n tenemos f (ai) ∈ W , consideremos sus coordenadas respecto B 2 : (ti 1 ,... , tim) = fB 2
f (ai)
. Como f y fB 2 son lineales, fB 2 ◦^ f es lineal, y por ser a =
x 1 a 1 + · · · + xnan se tiene (y 1 ,... , ym) = fB 2
f (a)
= x 1 fB 2
f (a 1 )
f (an)
que escrito en columnas queda
y 1 .. . ym
=^ x 1
t^11 .. . t^1 m
+^ x 2
t^21 .. . t^2 m
+^ · · ·^ +^ xn
tn 1 .. . tnm
, que es
lo mismo que
y 1 = t^11 x 1 + t^21 x 2 + · · · + tn 1 xn .. . ym = t^1 mx 1 + t^2 mx 2 + · · · + tnmxn
y se conoce como expresi´on coordenada
de f respecto B 1 y B 2. Notar que la matriz de coeficientes de este sistema es una matriz m×n cuyas columnas est´an formadas por las coordenadas respecto B 2 de f (a 1 ),... , f (an).
(2.11) Definici´on Sea f : V → W lineal, dim V = n, dim W = m, B 1 : a 1 ,... , an base de V y B 2 base de W. Llamaremos matriz de f respecto B 1 y B 2 a la matriz de coeficientes de la expresi´on coordenada de f respecto B 1 y B 2 , que es la matriz m × n cuya columna i-´esima (para i = 1,... , n) est´a formada por las coordenadas respecto B 2 de f (ai).
(2.12) Observaci´on Sean V y W como antes. Fijadas las bases B 1 : a 1 ,... , an de V y B 2 de W , la definici´on anterior asocia a cada f : V → W lineal una matriz m×n con elementos en K. Rec´ıprocamente, dada una matriz m × n en K, sus n columnas pertenecen a Km,
luego son las coordenadas respecto B 2 de n vectores c 1 ,... , cn de W. Por (2.9), existe una ´unica aplicaci´on lineal f : V → W tal que f (a 1 ) = c 1 ,... , f (an) = cn, es decir, una ´unica f : V → W lineal cuya matriz asociada es la dada. En resumen:
Fijadas bases B 1 y B 2 , hay una correspondencia biyectiva entre el conjunto de aplicaciones lineales de V en W y el conjunto de matrices m × n en K. Dada f , (2.11) le asocia la matriz. Dada la matriz, queda determinada f pues conocemos su expresi´on coordenada.
(2.13) Nota y definici´on Sea A =
a 11 a 12 · · · a 1 n .. .
am 1 am 2 · · · amn
(^) matriz m × n en K (con
elementos aij ∈ K). Llamar B 1 a la base can´onica de Kn^ y B 2 a la de Km. Por (2.12) existe una ´unica aplicaci´on lineal de Kn^ en Km^ cuya matriz respecto B 1 y B 2 es A, la llamaremos hA: Kn^ → Km. Por tanto, llamando e 1 ,... , en a B 1 , sabemos de hA que la columna j- ´esima de A est´a formada por las coordenadas respecto B 2 de hA(ej ), que en este caso coinciden con hA(ej ), es decir, (a 1 j ,... , amj) = hA(ej ). Tambi´en sabemos que la expresi´on coordenada de hA respecto B 1 y B 2 tiene a A como matriz de coeficientes, por lo que
queda
y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn .. . ym = am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn
siendo (x 1 ,... , xn) coordenadas respecto
B 1 de a ∈ Kn^ y (y 1 ,... , ym) coordenadas de hA(a) respecto B 2. Con las bases can´onicas coinciden los vectores con sus coordenadas, a = (x 1 ,... , xn) y hA(a) = (y 1 ,... , ym), luego hA(x 1 ,... , xn) = ( a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn ,...... , am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn ).
A partir de ahora, si no se mencionan bases, se entender´a que se trata de las can´onicas. La notaci´on A = ( aij ) indicar´a que llamamos aij al elemento de la fila i y columna j de A.
(2.14) Definiciones f, g: V → W lineales, t ∈ K, A, B m × n y C n × q matrices en K Llamaremos f + g a la aplicaci´on f + g: V → W dada por (f + g)(a) = f (a) + g(a). Llamaremos tf a la aplicaci´on tf : V → W dada por (tf )(a) = tf (a). Es f´acil comprobar que f + g y tf tambi´en son lineales. Recordar que la composici´on de aplicaciones lineales es lineal.
Llamaremos A + B a la matriz de hA + hB : Kn^ → Km. Llamaremos tA a la matriz de thA : Kn^ → Km. Llamaremos AC a la matriz de hA◦ hC : Kq^ → Kn^ → Km. Se tiene as´ı que hA + hB = hA+B , thA = htA, hA◦^ hC = hAC.
(2.15) Proposici´on Sean A = ( aij ) y B = ( bij ) m × n, C = ( cij ) n × q, t ∈ K.
A + B es m × n y A + B = ( aij + bij ).
tA es m × n y tA = ( taij ).
AC es m × q y AC = ( dij ) con dij =
∑^ n
k=
aikckj.
- Suponer que A es m × n, y B 1 , B 2 son n × q. hA : Kn^ → Km, hB 1 , hB 2 : Kq^ → Kn. A(B 1 + B 2 ) es la matriz de hA◦ hB 1 +B 2 = hA◦ (hB 1 + hB 2 ) : Kq^ → Km. AB 1 + AB 2 es la matriz de hAB 1 + hAB 2 = (hA◦^ hB 1 ) + (hA◦^ hB 2 ) : Kq^ → Km. Luego es suficiente probar que dichas aplicaciones son iguales; ambas van de Kq^ en Km, falta comprobar que asocian lo mismo a cada a ∈ Kq^ : La imagen de a por la primera es hA
(hB 1 + hB 2 )(a)
= hA
hB 1 (a) + hB 2 (a)
= hA
hB 1 (a)
hB 2 (a)
pues hA es lineal. La imagen de a por la segunda es (hA◦ hB 1 )(a) + (hA◦ hB 2 )(a) = hA
hB 1 (a)
hB 2 (a)
luego las aplicaciones son iguales y A(B 1 + B 2 ) = AB 1 + AB 2. Comprobar el resto de 3).
(2.17) Consecuencia Si K es cuerpo, Mm×n(K) ≡ { matrices m × n en K } es espacio vectorial sobre K con la suma de matrices y el producto de escalares por matrices.
Para m = n, Mn×n(K) con la suma y el producto de matrices tiene las propiedades de anillo con identidad. Dichas propiedades son las de la definici´on de cuerpo excepto que al producto no se le exige que sea conmutativo, ni que los elementos no nulos tengan inverso (y en la distributiva hay que imponer x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz ).
Sea V espacio vectorial sobre K. El conjunto de las aplicaciones lineales de V en V , con la suma y la composici´on de aplicaciones, es tambi´en anillo con identidad. Las propiedades correspondientes tienen demostraciones an´alogas a los argumentos empleados en (2.16) (en dimensi´on finita tambi´en pueden deducirse de las propiedades para matrices por (2.27)).
(2.18) Definici´on Se dice que una matriz A en un cuerpo es regular o invertible cuando la aplicaci´on lineal hA es biyectiva. En tal caso (hA)−^1 tambi´en es lineal por (2.6) y a su matriz se le llama matriz inversa de A y se escribe A−^1. As´ı, (hA)−^1 = hA− 1.
Ejercicio (Sobre aplicaciones en general.) Sean C y D conjuntos y f : C → D. Si existe g: D → C tal que f ◦^ g = IdD y g◦^ f = IdC , entonces f es biyectiva y f −^1 = g.
(2.19) Proposici´on Sea A matriz m × n en un cuerpo.
Si A es regular, entonces A es cuadrada n × n, A−^1 es n × n y AA−^1 = In = A−^1 A.
Si existe B tal que AB = Im y BA = In, entonces A regular (luego m = n) y A−^1 = B.
Dem. 1) Por ser A regular, hA es biyectiva. Tenemos hA: Kn^ → Km^ lineal y biyectiva, luego por (2.6), dim Km^ = dim Kn^ y m = n. As´ı adem´as (hA)−^1 : Kn^ → Kn, luego su matriz, que es A−^1 , es n × n. AA−^1 es la matriz correspondiente a hA◦ hA− 1 = hA◦ (hA)−^1 = IdKn , que es In. A−^1 A es la matriz correspondiente a hA−^1 ◦^ hA = (hA)−^1 ◦^ hA = IdKn^ , que es In.
- Notar que B tiene que ser n × m. hA: Kn^ → Km, hB : Km^ → Kn. La matriz corres- pondiente a hA◦ hB es AB = Im, que tambi´en es la de IdKm , luego hA◦ hB = IdKm. An´alogamente hB ◦^ hA = IdKn^ , luego hA es biyectiva y (hA)−^1 = hB. Es decir, A es regular y A−^1 , que es la matriz de (hA)−^1 = hB , es B.
(2.20) Consecuencias
Si A es regular, entonces A−^1 es regular y (A−^1 )−^1 = A.
Si A y B son regulares n × n, entonces AB es regular y (AB)−^1 = B−^1 A−^1.
Dem. 1) Por (2.19)-1), A−^1 A = In = AA−^1. Luego por (2.19)-2) A−^1 es regular y (A−^1 )−^1 = A.
- Notar que A, B, A−^1 y B−^1 son n × n,
(AB)(B−^1 A−^1 ) = A(BB−^1 )A−^1 = AInA−^1 = AA−^1 = In, (B−^1 A−^1 )(AB) = B−^1 (AA−^1 )B = B−^1 InB = B−^1 B = In,
luego AB es regular y (AB)−^1 = B−^1 A−^1.
(2.21) Observaciones sobre el producto de matrices
Notar que la igualdad entre matrices
a 11 · · · a 1 n .. .
am 1 · · · amn
m×n
x 1 .. . xn
y 1 .. . ym
n× 1 m× 1
es equivalente
a
y 1 = a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn .. . ym = am 1 x 1 + · · · + amnxn
y tambi´en a
y 1 .. . ym
=^ x 1
a 11 .. . am 1
(^) + · · · + xn
a 1 n .. . amn
As´ı, al multiplicar una matriz m × n por una columna n × 1 formada por x 1 ,... , xn, se obtiene la combinaci´on lineal de las n columnas de la matriz con los escalares x 1 ,... , xn. Sean ahora A m × n y B n × q. Los elementos de la columna i-´esima de AB se obtienen a partir de las filas de A y la columna i-´esima de B. Es decir, llamando b 1 ,... , bq a las columnas de B, la columna i-´esima de AB es igual a Abi (producto de A m × n y bi n × 1) para i = 1,... , q. Luego por lo que acabamos de ver, toda columna de AB es combinaci´on lineal de las columnas de A.
An´alogamente ( x 1 · · · xn ) B = ( y 1 · · · yq ) es combinaci´on lineal de las n filas de B con los escalares x 1 ,... , xn, y siendo a 1 ,... , am las filas de A, la fila i de AB es aiB, (ai es 1 × n y B n × q) por lo que toda fila de AB es combinaci´on lineal de las filas de B.
(2.22) Expresiones matriciales
- Sea f : V → W lineal, dim V = n, dim W = m, B 1 base de V y B 2 base de W. El sistema de ecuaciones de la expresi´ on coordenada de f respecto B 1 y B 2 se puede expresar como
y 1 .. . ym
a 11 · · · a 1 n .. .
am 1 · · · amn
x 1 .. . xn
. Se suele denotar
x 1 .. . xn
(^) ≡ X y
y 1 .. . ym
≡^ Y^ , y
queda Y = AX, donde A es la matriz de coeficientes, es decir, la matriz de f respecto B 1 y B 2 , X son las coordenadas de a ∈ V respecto B 1 e Y las de f (a) respecto B 2.
(2.24) Matrices en distintos pares de bases
Sea f : V → W lineal, dim V = n, dim W = m. Siendo B 1 base de V y B 2 base de W , f tiene una matriz A respecto de dicho par de bases. Podemos tomar otras bases B˜ 1 de V y B^ ˜ 2 de W , con las que f tendr´a otra matriz B. Veamos la relaci´on que hay entre A y B: Para cualquier n-tupla X ∈ Kn, X son las coordenadas de un a ∈ V respecto B 1 , llamar X^ ˜ a las coordenadas de a respecto B˜ 1 , Y e Y˜ a las coordenadas de f (a) respecto B 2 y B˜ 2.
Se tiene entonces que Y = AX y que Y˜ = B X˜. Por otro lado Y e Y˜ estar´an relacionadas mediante una matriz de cambio entre las bases B 2 y B˜ 2 de W. Llamando P a dicha matriz,
AX = Y = P Y˜ = P B X˜ = P BQX
siendo Q la matriz del cambio X˜ = QX en V. Como la igualdad anterior se cumple para todo X ∈ Kn, por (2.22)-4) tiene que ser A = P BQ. Adem´as, sabemos que P y Q son matrices regulares por ser matrices de cambios de coordenadas.
Caso particular: Considerar el caso V = W , con lo que f : V → V lineal. Se dice entonces que f es un endomorfismo de V. Suponer adem´as que en cada par de bases (de
V ) no distinguimos entre “llegada”y “salida”, es decir, tomamos B 1 = B 2 y B˜ 1 = B˜ 2. En tal caso, Q es la matriz del cambio entre las dos mismas bases del cambio de matriz P , salvo que expresado en sentido inverso. Luego Q = P −^1 y queda A = P BP −^1 con P regular.
(2.25) Definiciones
Sean A, B matrices m×n en un cuerpo. Se dice que A es equivalente a B cuando existen P, Q regulares tales que A = P BQ.
Sean A, B matrices n × n en un cuerpo. Se dice que A es semejante a B cuando existe P regular tal que A = P BP −^1.
Por (2.24) y (2.23), la relaci´on 1) se da cuando A y B son matrices de una misma aplicaci´on lineal respecto de diferentes pares de bases, mientras que la relaci´on 2) se da cuando A y B son matrices de un mismo endomorfismo, imponiendo “base de salida”=“base de llegada”.
(2.26) Proposici´on
La relaci´on “ser equivalente a”entre matrices m × n es reflexiva, sim´etrica y transitiva.
La relaci´on “ser semejante a”entre matrices n × n es reflexiva, sim´etrica y transitiva.
Dem. Notar que InIn = In, luego In es regular y (In)−^1 = In. 1) Ejercicio.
- Sea A n × n. Como A = InAIn = InA(In)−^1 , A es semejante a A y la relaci´on es reflexiva. Suponer ahora que A es semejante a B. Existe P regular tal que A = P BP −^1. Sabemos que P −^1 es regular, (P −^1 )−^1 = P y todas estas matrices son n × n. Como P −^1 A(P −^1 )−^1 = P −^1 AP = P −^1 P BP −^1 P = B, B es semejante a A y la relaci´on es sim´etrica. Por ´ultimo, suponer que A es semejante a B y B es semejante a C. Existen P y Q regulares tales que A = P BP −^1 y B = QCQ−^1. Todas estas matrices son n × n y A = P QCQ−^1 P −^1. Por (2.20)-2) sabemos que P Q es regular y que (P Q)−^1 = Q−^1 P −^1 , por lo que A = (P Q)C(P Q)−^1. Luego A es semejante a C y la relaci´on es transitiva.
(2.27) Proposici´on Sean f : V → W lineal con matriz A respecto B 1 y B 2 , g: V → W lineal con matriz B respecto B 1 y B 2 , h: W → U lineal con matriz C respecto B 2 y B 3 , t un escalar. Entonces:
- La matriz de f + g respecto B 1 y B 2 es A + B.
La matriz de tf respecto B 1 y B 2 es tA. La matriz de h◦ f respecto B 1 y B 3 es CA. La matriz de IdV respecto B 1 y B 1 es In (con n = dim V ).
f biyectiva si y solo si A regular. En tal caso la matriz de f −^1 respecto B 2 y B 1 es A−^1.
El rango de f es igual a la dimensi´on del subespacio generado por las columnas de A.
Dem. Sea dim V = n, dim W = m y dim U = q, A y B son m × n, C es q × m.
- Veamos el caso de la composici´on (completar el resto como ejercicio): Llamar M a la matriz de h◦ f respecto B 1 y B 3 , ¿M = CA? M es q × n y CA es q × n. Para cada n-tupla X ∈ Kn, hay un a ∈ V con coordenadas X respecto B 1 , luego M X son las coordenadas de (h◦^ f )(a) respecto B 3. Adem´as AX son las coordenadas de f (a) respecto B 2 , luego C(AX) son las coordenadas de h
f (a)
respecto
B 3. Como (h◦^ f )(a) = h
f (a)
, se tiene M X = CAX para todo X ∈ Kn, luego M = CA.
Primero supongamos que f es biyectiva y veamos que A es regular y que la matriz de f −^1 respecto B 2 y B 1 es A−^1 : Por ser f : V → W lineal y biyectiva, tenemos m = n y f −^1 : W → V lineal, llamar M a su matriz respecto B 2 y B 1. Por el apartado 1) M A es la matriz respecto B 1 y B 1 , de f −^1 ◦^ f = IdV , que es In, luego M A = In. Adem´as, AM es la matriz respecto B 2 y B 2 , de f ◦^ f −^1 = IdW , que es In, luego AM = In. Por tanto A es regular y A−^1 = M matriz de f −^1 respecto B 2 y B 1. Para terminar este apartado falta probar que f es biyectiva suponiendo que A es regular: Por ser A regular, existe A−^1 , m = n y A , A−^1 son n × n. Por ser dim V = n = dim W , (2.12) asegura que existe una ´unica f 1 : W → V lineal cuya matriz de respecto B 2 y B 1 es A−^1. Por 1), la matriz de f 1 ◦^ f respecto B 1 y B 1 es A−^1 A = In. Pero hay una ´unica aplicaci´on lineal de V en V cuya matriz respecto B 1 y B 1 es In y tal aplicaci´on es IdV , luego f 1 ◦^ f = IdV. Es claro que con un argumento an´alogo se obtiene que f ◦^ f 1 = IdW , luego f es biyectiva (y f −^1 = f 1 , seg´un un ejercicio sobre aplicaciones).
Por definici´on, el rango de f es la dimensi´on de Im f = f (V ). Llamar B 1 : a 1 ,... , an. Como V = K〈a 1 ,... , an〉 y f es lineal, f (V ) = K〈 f (a 1 ),... , f (an) 〉. Por otra parte, sean X 1 ,... , Xn las columnas de A, Xi ∈ Km. Para cada i = 1,... , n, Xi son las coordenadas de f (ai) respecto B 2. La aplicaci´on fB 2 : W → Km^ que asocia a cada vector de W sus coordenadas respecto B 2 es lineal y biyectiva. Tenemos Xi = fB 2
f (ai)
luego por ser fB 2 lineal, K〈X 1 ,... , Xn〉 = fB 2
K〈 f (a 1 ),... , f (an) 〉
= fB 2 (Im f ). Como fB 2 es lineal y biyectiva, (2.6)-2) asegura que fB 2 “conserva dimensiones”, luego dim K〈X 1 ,... , Xn〉 = dim Im f = rango de f.
