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- Espacios vectoriales
(1.1) Operaciones binarias internas Una operaci´on binaria interna en un conjunto C es una ley que a cada par de elementos de C le asocia un ´unico elemento de C. Si x 6 = y, el par (x, y) es distinto del (y, x), luego puede ocurrir que el elemento de C asociado al par (x, y) no sea el mismo que el asociado al (y, x).
Por ejemplo, la suma de n´umeros enteros es una operaci´on binaria interna en el conjunto Z de los n´umeros enteros. Tambi´en lo es el producto de n´umeros enteros. Lo mismo ocurre si en vez de Z consideramos los conjuntos Q, R y C de los n´umeros racionales, reales y complejos. En el conjunto de todas las matrices racionales (matrices con elementos en Q), el producto de matrices no es una operaci´on binaria interna, pues el producto de dos matrices solo existe cuando el n´umero de columnas de la primera coincide con el n´umero de filas de la segunda. En cambio, si nos restringimos por ejemplo al conjunto de las matrices racionales 2 × 2, el producto es una operaci´on binaria interna.
Notar que
es distinta de
En general, llamando x ∗ y al elemento de C asociado al par (x, y), se dice que la operaci´on es conmutativa cuando x ∗ y = y ∗ x para todos x, y ∈ C.
Se dice que la operaci´on es asociativa cuando (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) para todos x, y, z ∈ C.
Se dice que un elemento e ∈ C es neutro para la operaci´on cuando x ∗ e = x = e ∗ x para todo x ∈ C. Si e 1 y e 2 son neutros, entonces e 1 = e 1 ∗ e 2 = e 2 , luego no puede haber dos elementos neutros distintos.
Supongamos que existe e neutro. Se dice que x′^ ∈ C es inverso de x ∈ C cuando x ∗ x′^ = e = x′^ ∗ x. Si la operaci´on es asociativa y x′^ y x′′^ son inversos de x, entonces x′′^ = e ∗ x′′^ = (x′^ ∗ x) ∗ x′′^ = x′^ ∗ (x ∗ x′′) = x′^ ∗ e = x′, luego x tiene a lo sumo un inverso.
Sean x 1 , x 2 ,... , xn ∈ C con n > 2. Como la operaci´on es binaria, en x 1 ∗ x 2 ∗ · · · ∗ xn es necesario en principio indicar con par´entesis c´omo se van agrupando los elementos. Si la operaci´on es asociativa, puede demostrarse (por inducci´on sobre n) que el resultado es el mismo con cualquier forma de colocar los par´entesis, por lo que estos no son necesarios.
Se suele emplear la misma notaci´on que la del producto usual entre n´umeros. As´ı, en vez de x ∗ y se escribe xy, si hay neutro se le representa por 1 y si x tiene inverso se le representa por x−^1. Si la operaci´on es conmutativa, tambi´en es usual emplear la notaci´on de la suma. Esto es, en vez de x ∗ y se escribe x + y, si hay neutro se le representa por 0 y si x tiene inverso se le representa por −x y se dice que −x es el opuesto de x.
No hay que olvidar que “tomar prestada”la notaci´on de la suma o el producto de n´umeros no significa que la operaci´on sea una de estas dos ni que los elementos de C sean n´umeros. M´as adelante aparecer´an expresiones que inicialmente pueden resultar algo sorprendentes, como que pueda ser 1 + 1 = 0, xyx−^1 6 = y o xy = 0 con x 6 = 0 6 = y.
(1.2) Definici´on Se llama cuerpo a un conjunto K con dos operaciones binarias internas en K, que representaremos con los s´ımbolos de la suma y el producto, que cumplen:
- La suma es asociativa y conmutativa, hay elemento neutro y todo elemento tiene opuesto.
- El producto es asociativo y conmutativo, existe elemento neutro y es distinto del neutro de la suma. Adem´as todo elemento distinto del neutro de la suma tiene inverso.
- Para todos x, y, z ∈ K, x(y + z) = xy + xz (propiedad distributiva).
Como hemos visto en (1.1) los elementos neutros de la suma y del producto son ´unicos y se representan por 0 y 1 respectivamente. Adem´as es ´unico el opuesto −x de x y el inverso x−^1 de x 6 = 0. Notar que en la definici´on se impone que 0 6 = 1.
Por ejemplo, los n´umeros racionales con la suma y el producto usuales (Q, +, · ) constituyen un cuerpo. Tambi´en son cuerpos (R, +, · ) y (C, +, · ). Pero (Z, +, · ) no es cuerpo.
(1.3) Consecuencias de la definici´on de cuerpo Sea (K, +, · ) un cuerpo, x, y ∈ K.
x0 = 0 = 0x.
Si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0.
x(−y) = −(xy) = (−x)y, escribiremos −xy. (−x)(−y) = xy.
Dem. 1) Como 0 es el neutro de la suma, 0 = 0 + 0. Por tanto x0 = x(0 + 0) = x0 + x0 por la propiedad distributiva. Sumando el opuesto de x0 a los extremos izquierdo y derecho queda −(x0) + x0 = −(x0) + (x0 + x0) =
− (x0) + x 0
- x0 por la asociativa de la suma. Esto es, 0 = 0 + x0. Luego 0 = x0. Por la conmutativa del producto, 0x = x0 = 0.
Supongamos que xy = 0. Si x = 0 ya se cumple lo que hay que probar, luego solo tenemos que considerar el caso x 6 = 0. En tal caso existe x−^1 ∈ K y como xy = 0, tenemos que x−^1 (xy) = x−^1 0 = 0 por 1). Por otro lado, x−^1 (xy) = (x−^1 x)y = 1y = y. As´ı 0 = y.
Notar que lo primero que tenemos que demostrar es que x(−y) es el opuesto de xy. Como x(−y) + xy = x(−y + y) = x0 = 0 por 1) y adem´as la suma es conmutativa, tenemos que x(−y) + xy = 0 = xy + x(−y). As´ı x(−y) es el opuesto de xy, es decir, x(−y) = −(xy). De forma an´aloga se prueba que (−x)y = −(xy). De la definici´on de opuesto se deduce directamente que, para todo z ∈ K, z es el opuesto de −z, esto es −(−z) = z. Por esto y lo anterior, (−x)(−y) = −
(−x)y
− (xy)
= xy.
(1.4) Definici´on Se llama espacio vectorial sobre un cuerpo K a un conjunto V con una operaci´on binaria interna, que llamaremos suma, y una operaci´on externa que a cada t ∈ K y a ∈ V asocia un elemento ta ∈ V (producto por escalares) cumpliendo lo siguiente:
- Suma en V : asociativa, conmutativa, existe neutro y todo elemento tiene opuesto.
- t(a + b) = ta + tb para todos t ∈ K, a, b ∈ V.
- (t + s)a = ta + sa para todos t, s ∈ K, a ∈ V.
- (ts)a = t(sa) para todos t, s ∈ K, a ∈ V.
- 1a = a para todo a ∈ V.
Notar que empleamos la misma notaci´on para las sumas en V y en K. Usaremos 0 para representar al neutro de la suma en V. As´ı, 0 ∈^ V^ y 0^ ∈^ K. Adem´as^ a^ −^ b^ representa a a + (−b). Llamaremos vectores a los elementos de V y escalares a los elementos de K.
Lo que hemos hecho con [0, 1] y R es v´alido con cualquier conjunto C no vac´ıo y cualquier cuerpo K, de forma que KC^ = { f | f : C → K } es espacio vectorial sobre K.
Sea K un cuerpo. Se llama K[X] al conjunto de los polinomios con coeficientes en K e indeterminada X. Los elementos de K pueden considerarse como polinomios constantes. Se comprueba que K[X] con la suma de polinomios y el producto de constantes por polinomios es espacio vectorial sobre el cuerpo K. Sea n entero positivo. Llamaremos Kn[X] = { to + t 1 X + · · · + tnXn^ | t 0 , t 1 ,... , tn ∈ K }. As´ı, los elementos de Kn[X] pertenecen a K[X]. Las operaciones anteriores se pueden restrigir a Kn[X] y con ellas Kn[X] es espacio vectorial sobre K.
Sea S el conjunto formado por las ternas (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3 que sean soluciones del
sistema
x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2x 3 = 0
. Las operaciones del espacio vectorial R^3 se pueden restrigir
a los elementos de S y con ellas S es espacio vectorial sobre R.
- Sea T el conjunto formado por las ternas (t 1 , t 2 , t 3 ) ∈ R^3 tales que el sistema
x 1 + x 2 = t 1 x 1 − x 2 = t 2 x 1 + 2x 2 = t 3
es compatible (con inc´ognitas x 1 , x 2 ∈ R).
Notar que el que (t 1 , t 2 , t 3 ) pertenezca a T equivale a que existan x 1 , x 2 ∈ R tales que (t 1 , t 2 , t 3 ) = (x 1 + x 2 , x 1 − x 2 , x 1 + 2x 2 ), escribiendo en vertical para verlo m´as claro:
t 1 t 2 t 3
x 1 + x 2 x 1 − x 2 x 1 + 2x 2
x 1 x 1 x 1
x 2 −x 2 2 x 2
(^) = x 1
(^) + x 2
Luego T = { x 1 (1, 1 , 1) + x 2 (1, − 1 , 2) | x 1 , x 2 ∈ R }, que es el conjunto de todas las com- binaciones lineales de las ternas (1, 1 , 1) y (1, − 1 , 2). Las operaciones del espacio vectorial R^3 se pueden restrigir a los elementos de T y con ellas T es espacio vectorial sobre R.
(1.7) Definiciones Sea V espacio vectorial sobre K. Sea S un conjunto cuyos elementos son vectores, es decir, S ⊆ V. Se dice que S es estable para la suma cuando cumple: Si a ∈ S y b ∈ S, entonces a + b ∈ S. Se dice que S es estable para el producto por escalares cuando cumple: Si a ∈ S y t ∈ K, entonces ta ∈ S. Se dice que S es subespacio de V y se escribe S ≤ V , cuando S es espacio vectorial sobre K con la restricci´on a S de las operaciones en V.
(1.8) Proposici´on Sea V espacio vectorial sobre K y S ⊆ V. Son equivalentes:
- S es subespacio de V.
- S no es vac´ıo y cumple que si a, b ∈ S, r, t ∈ K, entonces ra + tb ∈ S.
- S no es vac´ıo y es estable para la suma y para el producto por escalares.
Dem. 1) implica 2): Suponer que S es subespacio de V , ¿se cumple 2)? S es espacio vectorial sobre K con la restricci´on a S de las operaciones en V. En particular la restricci´on
a S de la suma en V es una operaci´on binaria interna en S con elemento neutro. Luego en S existe al menos un elemento, S no es vac´ıo. Sean a, b ∈ S, r, t ∈ K. Para ver que se cumple 2), lo que nos falta por comprobar es ¿ra + tb ∈ S? La restricci´on del producto por escalares a los vectores de S es un producto por escalares para S, luego al ser r ∈ K y a ∈ S, tiene que ser ra ∈ S. An´alogamente tb ∈ S. Ya hemos dicho que la restricci´on de la suma a S es una operaci´on interna en S, por lo que ra + tb ∈ S.
implica 3): Suponer que se cumple 2), ¿se cumple 3)? Por 2), S no es vac´ıo. Para ver que S es estable para la suma y para el producto por escalares, sean a ∈ S, b ∈ S, t ∈ K, ¿a + b ∈ S y ta ∈ S? Por definici´on de espacio vectorial, a + b = 1a + 1b con a, b ∈ S, 1 ∈ K. Como se cumple 2), se tiene que a + b = 1a + 1b ∈ S. Por (1.5), ta = ta + 0 = ta + 0a con a ∈ S, t, 0 ∈ K. Como se cumple 2), se tiene que ta = ta + 0a ∈ S.
implica 1): Suponer que se cumple 3), ¿es S subespacio de V? Tenemos que S ⊆ V. Por ser S estable para la suma, la restricci´on a S de la suma en V es una operaci´on binaria interna en S. Por ser S estable para el producto por escalares, la restricci´on es un producto de escalares de K por vectores de S que toma valores en S. Lo que hay que comprobar es que estas operaciones (las restricciones) cumplen las condiciones de la definici´on de espacio vectorial.
- Conmutativa: Por ser V espacio vectorial, la suma en V es conmutativa, a + b = b + a para todos a, b ∈ V. Como la suma en S no es m´as que la restricci´on a los vectores de S, tambi´en es conmutativa.
- Asociativa y propiedades del producto por escalares: Es an´alogo a lo anterior.
- Neutro: Como S no es vac´ıo, existe alg´un a ∈ S. Por ser S estable para el producto por escalares, 0a ∈ S. Por (1.5) 0 = 0a, luego 0 ∈ S. Ahora es claro como antes que 0 es neutro para la suma en S.
- Opuesto: Sea a ∈ S. Por (1.5) se tiene que −a = (−1)a, luego −a ∈ S pues S es estable para el producto por escalares. Es claro que −a es opuesto de a con la suma en S.
(1.9) Observaciones
- Con la demostraci´on anterior, tambi´en hemos probado que el vector nulo 0 de V pertenece a todos los subespacios de V.
- El conjunto { 0 } es estable para la suma y para el producto por escalares porque 0+0 = 0 y t 0 = 0 para todo t ∈ K. Luego por (1.8), { 0 } es subespacio de V.
- En resumen, { 0 } es un subespacio que est´a contenido en todos los subespacios de V. Es claro que V es subespacio de V y que contiene a todos los subespacios de V.
Ejemplo Comprobar que el conjunto S del apartado 5) de (1.6) es subespacio de R^3. Si
cambiamos el sistema del apartado 5) por
x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2x 3 = 1
, ¿es subespacio el conjunto
de soluciones?
(1.12) Definici´on
- Se dice que la familia a 1 ,... , an de vectores de V es linealmente dependiente cuando existen t 1 ,... , tn ∈ K tales que t 1 a 1 + · · · + tnan = 0 y ti 6 = 0 para alg´un i. Se dice que la familia es linealmente independiente o libre en caso contrario, esto es, cuando cumple: si t 1 a 1 + · · · + tnan = 0, entonces ti = 0 para i = 1,... , n.
- Se entiende que la familia vac´ıa es linealmente independiente.
- Se dice que una familia infinita es linealmente dependiente cuando tiene alguna subfamilia finita linealmente dependiente. Se dice linealmente independiente o libre en caso contrario.
Nota Sobre el significado que daremos a la palabra familia: La familia F : (1, 0), (1, 1), (1, 0) es una familia de 3 vectores. Pero el conjunto formado por esos vectores es un conjunto de 2 elementos. La familia (1, 0), (1, 1) es distinta de F. Adem´as, tambi´en la familia (1, 0), (1, 0), (1, 1) es distinta de la familia F. Es decir, en una familia importa el orden de los vectores y si estos aparecen repetidos, importa el n´umero de veces que aparecen. Las subfamilias de una familia dada son las que pueden obtenerse suprimiendo vectores en la familia (un vector repetido puede eliminarse una o varias veces).
Ejemplos En R^3 , la familia (1, 0 , −1), (0, 1 , 0), (2, 0 , −2) es linealmente dependiente. En R^2 , la familia (1, 1), (0, −2) es libre.
(1.13) Observaciones
- Al cambiar el orden de los vectores, la nueva familia es libre si y solo si lo era la inicial.
- Toda familia con una subfamilia linealmente dependiente es linealmente dependiente (considerar el primero de los ejemplos anteriores).
- Toda subfamilia de una familia libre es libre (notar que esto dice lo mismo que la observaci´on anterior).
- En una familia libre no puede estar el vector 0 ni puede haber vectores repetidos. En efecto, se tiene 1 0 = 0 con 1 6 = 0 y tambi´en 1 a + (−1)a = 0 con 1 6 = 0. Luego toda familia que contenga al 0 o que contenga vectores repetidos es linealmente dependiente.
- Las familias de un solo vector son libres si el vector no es 0, como consecuencia de (1.5)-4).
(1.14) Lema
La familia a 1 ,... , an es linealmente dependiente si y solo si existe alg´un i tal que ai es combinaci´on lineal de los dem´as aj con j 6 = i.
Si a 1 ,... , an es libre y b /∈ K〈a 1 ,... , an〉, entonces a 1 ,... , an, b es libre.
b ∈ K〈a 1 ,... , an〉 si y solo si K〈a 1 ,... , an, b〉 = K〈a 1 ,... , an〉.
K〈a, b, c 1 ,... , cn〉 = K〈a, b + ta, c 1 ,... , cn〉 siendo t ∈ K. K〈a, b, c 1 ,... , cn〉 = K〈a, tb, c 1 ,... , cn〉 si t 6 = 0. (Tampoco cambia el subespacio generado si se cambia el orden de los vectores.)
Dem. 1) Ejercicio.
Supongamos que a 1 ,... , an es libre y b /∈ K〈a 1 ,... , an〉. ¿ a 1 ,... , an, b es libre? Sean t 1 ,... , tn, r ∈ K tales que t 1 a 1 + · · · + tnan + rb = 0, ¿es 0 = t 1 =... = tn = r? Si fuera r 6 = 0, existir´ıa r−^1 ∈ K y ser´ıa b = r−^1 rb = r−^1 (−t 1 a 1 − · · · − tnan) ∈ K〈a 1 ,... , an〉, contradicci´on. Luego tiene que ser r = 0 y por tanto t 1 a 1 + · · · + tnan = 0. Como a 1 ,... , an es libre, tambi´en t 1 =... = tn = 0.
Ejercicio.
Tenemos a, c 1 ,... , cn ∈ K〈a, b + ta, c 1 ,... , cn〉 y tambi´en b = (b + ta) − ta ∈ K〈a, b + ta, c 1 ,... , cn〉, que es subespacio, luego K〈a, b, c 1 ,... , cn〉 ⊆ K〈a, b + ta, c 1 ,... , cn〉. Por otro lado tenemos a, c 1 ,... , cn ∈ K〈a, b, c 1 ,... , cn〉 y tambi´en b + ta ∈ K〈a, b, c 1 ,... , cn〉, que es subespacio, luego
K〈a, b + ta, c 1 ,... , cn〉 ⊆ K〈a, b, c 1 ,... , cn〉. Los “dos contenidos”nos dicen que K〈a, b, c 1 ,... , cn〉 = K〈a, b + ta, c 1 ,... , cn〉. Ejercicio: terminar la demostraci´on.
(1.15) Teorema Sea V espacio vectorial sobre K tal que V = K〈b 1 ,... , bq〉. Si a 1 ,... , am es una familia libre en V , entonces m ≤ q. Es decir, en V no puede haber familias libres de m´as de q vectores.
Dem. Supongamos que m > q y veamos que se llega a una contradicci´on. Como a 1 ∈ V = K〈b 1 ,... , bq〉, existen t 1 ,... , tq ∈ K tales que a 1 = t 1 b 1 + · · · + tq bq. Por formar parte de una familia libre, tiene que ser a 1 6 = 0, luego ti 6 = 0 para alg´un i. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que t 1 6 = 0 (reordenando los bi si fuera necesario). Por tanto t− 1 1 ∈ K y b 1 = t− 1 1 a 1 −t− 1 1 t 2 b 2 −.. .−t− 1 1 tq bq ∈ K〈a 1 , b 2 ,... , bq〉. As´ı, este subespacio contiene a los vectores b 1 , b 2... , bq, luego K〈a 1 , b 2 ,... , bq〉 ⊇ K〈b 1 ,... , bq〉 = V. El otro contenido es inmediato, por lo que K〈a 1 , b 2 ,... , bq〉 = V. Partiendo de los vectores b 1 ,... , bq, hemos reemplazado un vector b 1 por a 1 obteniendo otros vectores que tambi´en generan V. La idea es ir sustituyendo paso a paso b 2 , b 3 ,... por a 2 , a 3 ,... hasta que no queden vectores bi. Notar que hay suficientes ai porque estamos suponiendo m > q. Veamos ahora que se puede efectuar cada paso: Supongamos que ya hemos sustituido r vectores bi, 1 ≤ r < q, esto es, que tenemos K〈a 1 ,... ar, br+1,... , bq〉 = V. Como ar+1 ∈ V , existen s 1 ,... sq ∈ K tales que ar+1 = s 1 a 1 + · · · + srar + sr+1br+1 + · · · + sq bq. Por ser a 1 ,... , am familia libre, ar+1 no es combinaci´on lineal de a 1 ,... , ar, luego no puede ser que para todos los i = r + 1,... , q sea si = 0. Igual que antes podemos suponer sr+1 6 = 0 (reordenando los bi que quedan) y “despejar”br+1 como combinaci´on lineal de a 1 ,... ar, ar+1, br+2,... , bq. As´ı el subespacio K〈a 1 ,... ar, ar+1, br+2,... , bq〉 contiene a los vectores br+1, br+2,... , bq, a 1 ,... ar y por tanto contiene al subespacio que generan, que es V. El otro contenido es inmediato, por lo que K〈a 1 ,... ar, ar+1, br+2,... , bq〉 = V y hemos sustituido r + 1 vectores bi. As´ı, paso a paso, llegamos a K〈a 1 ,... , aq〉 = V. Como m > q, tenemos aq+1 ∈ V = K〈a 1 ,... , aq〉, lo que contradice que a 1 ,... , am es libre.
(1.20) Ejemplos
En Kn, la familia (1, 0 ,... , 0), (0, 1 , 0 ,... , 0), (0,... , 0 , 1)) es una base de Kn. Se le llama la base can´onica de Kn. Por tanto, dim Kn^ = n.
Recordar (1.6)-4). La familia 1, X,... , Xn^ es base de Kn[X], luego dim Kn[X] = n + 1.
La familia vac´ıa es libre y K〈 ∅ 〉 = { 0 }, luego es base de { 0 }. Por tanto, dim { 0 } = 0. Notar que si dim V = 0, V tiene base vac´ıa luego V = K〈 ∅ 〉 = { 0 }.
(1.21) Proposici´on Sea V de dimensi´on finita.
Toda familia libre en V puede ampliarse hasta base de V (o ya lo es).
Todo conjunto que genera V contiene a alguna base de V.
Si dim V = n y a 1 ,... , an es libre en V , entonces a 1 ,... , an es base de V.
Si dim V = n y K〈a 1 ,... , an〉 = V , entonces a 1 ,... , an es base de V.
Si dim V = n y S es subespacio de V , entonces tambi´en S es de dimensi´on finita y dim S ≤ n. Adem´as se cumple dim S = n si y solo si S = V.
Dem. 1) y 2) se deducen de (1.17) pues se puede tomar C = V , F = ∅. 3) y 4) se deducen de 1) y 2). 5) Toda familia libre en S es familia libre en V , luego S es de dimensi´on finita por (1.18) y sus bases tienen a lo sumo n vectores por (1.15). El resto se deduce de 3).
Familias escalonadas Hay familias de vectores de Kn^ para las que “se ve”directamente que son libres, como las escalonadas: familias de n-tuplas no nulas en las que la primera componente no nula de cada n-tupla est´a cada vez m´as a la derecha. Por ejemplo, en C^4 , para comprobar que (2, 1 , 2 , 1), (0, 0 , 1 , 1), (0, 0 , 0 , 2) es libre, supongamos que la combinaci´on lineal de estos vectores con escalares t 1 , t 2 , t 3 ∈ C es el vector nulo ¿0 = t 1 = t 2 = t 3? Tenemos t 1 (2, 1 , 2 , 1)
- t 2 (0, 0 , 1 , 1)
- t 3 (0, 0 , 0 , 2) = (0, 0 , 0 , 0) Vemos que la primera componente es 2t 1 = 0, luego t 1 = 0. As´ı, podemos ‘’tachar”el primer sumando y entonces la tercera componente nos dice que t 2 = 0. Luego eliminamos el segundo sumando y con la cuarta componente queda 2t 3 = 0 y t 3 = 0. Por supuesto, un razonamiento an´alogo servir´ıa si fuera la ´ultima componente no nula de cada n-tupla la que est´a cada vez m´as a la izquierda. Hemos visto en (1.14) que con ciertas operaciones podemos pasar de una familia de vectores a otra sin que cambie el subespacio generado. Tampoco cambia eliminando un vector que sea combinaci´on lineal de los dem´as. Si efectuando sucesivamente tales operaciones a una familia de n-tuplas llegamos a una familia escalonada, esta familia ser´a base del subespacio generado por los vectores iniciales. En particular, conoceremos la dimensi´on q de dicho subespacio. Si la familia inicial es de q vectores, (1.21)-4) asegura que la familia inicial es libre. Si la familia inicial es de m´as de q vectores, la familia inicial no es libre por (1.15).
Ejemplo En C^3 , considerar los subespacios S 1 = C〈(0, 1 , −1)〉, S 2 = C〈(1, 0 , 2)〉 y S 3 = C〈(1, 2 , 0)〉. ¿Pertenece (3, 3 , 3) a S 1 +S 2 +S 3? Como (3, 3 , 3) = (0, 3 , −3)+(3, 0 , 6)+(0, 0 , 0) con (0, 3 , −3) ∈ S 1 , (3, 0 , 6) ∈ S 2 y (0, 0 , 0) ∈ S 3 , se tiene que (3, 3 , 3) ∈ S 1 + S 2 + S 3. Los sumandos en los Si, ¿son los ´unicos posibles para (3, 3 , 3)? No, (3, 3 , 3) = (0, 1 , −1)+(2, 0 , 4)+(1, 2 , 0) con (0, 1 , −1) ∈ S 1 , (2, 0 , 4) ∈ S 2 y (1, 2 , 0) ∈ S 3.
(1.22) Definici´on Se dice que los subespacios S 1 ,... , Sn tienen suma directa cuando todo vector de S 1 +· · ·+Sn se puede expresar de una ´unica forma como suma de n vectores con cada sumando en un Si. Es decir, cuando cumplen que: Si a 1 + · · · + an = b 1 + · · · + bn y ai, bi ∈ Si para i = 1,... n, entonces ai = bi para i = 1,... n.
S 1 ⊕ · · · ⊕ Sn representa a S 1 + · · · + Sn e indica que S 1 ,... , Sn tienen suma directa.
(1.23) Proposici´on Los subespacios S 1 ,... , Sn tienen suma directa si y solo si 0 se puede expresar de una ´unica forma como suma de n vectores con cada sumando en un Si. Es decir, si y solo si se cumple la siguiente implicaci´on: Si 0 = a 1 + · · · + an y ai ∈ Si para i = 1,... n, entonces ai = 0 para i = 1,... n.
Dem. Suponer que S 1 ,... , Sn tienen suma directa. Partiendo de que 0 = a 1 + · · · + an y ai ∈ Si para i = 1,... n hay que llegar a ver que ¿ ai = 0 para i = 1,... n? Como los Si son subespacios, 0 ∈ Si, por lo que se tiene a 1 + · · · + an = 0 + · · · + 0 y ai, 0 ∈ Si para i = 1,... n. Luego tiene que ser ai = 0 para i = 1,... n por tener S 1 ,... , Sn suma directa. Ahora suponer que se cumple la implicaci´on, ¿tienen S 1 ,... , Sn suma directa? Para probar esto, suponiendo que a 1 + · · · + an = b 1 + · · · + bn y ai, bi ∈ Si para i = 1,... n hay que llegar a ver que ¿ ai = bi para i = 1,... n? Notar que (a 1 − b 1 ) + · · · + (an − bn) = 0 y que por ser Si subespacio y ai, bi ∈ Si, se tiene ai − bi ∈ Si para i = 1,... n. Luego, por la implicaci´on que estamos suponiendo que se cumple, tiene que ser ai − bi = 0 para i = 1,... n y por tanto ai = bi para i = 1,... n.
(1.24) Proposici´on Sean S 1 ,... , Sn subespacios de dimensi´on finita de V.
Al yuxtaponer una base de cada Si se obtiene una familia que genera S 1 + · · · + Sn.
Si la familia obtenida en 1) es libre, entonces S 1 ,... , Sn tienen suma directa.
Si S 1 ,... , Sn tienen suma directa, entonces al yuxtaponer una base de cada Si se obtiene una familia libre (que por el primer apartado ser´a base de S 1 + · · · + Sn).
En particular, se deduce de 3) que dim (S 1 ⊕ · · · ⊕ Sn) = dim S 1 + · · · + dim Sn.
Dem. Por simplificar la notaci´on consideraremos el caso n = 3, pero veremos que los razonamientos son validos para cualquier n.
- Sea a 1 ,... , ak base de S 1 , b 1 ,... , bl base de S 2 y c 1 ,... , cm base de S 3 , ¿S 1 + S 2 + S 3 = K〈a 1 ,... , ak, b 1 ,... , bl, c 1 ,... , cm〉? Como dijimos en (1.11), S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 ⊆ S 1 + S 2 + S 3 , luego los ai, los bi y los ci pertenecen a S 1 + S 2 + S 3 que es subespacio y por tanto
(1.26) Proposici´on Sean S y T subespacios de dimensi´on finita. Entonces S + T tambi´en lo es y dim (S + T ) + dim (S ∩ T ) = dim S + dim T.
Dem. Sea m = dim S y n = dim T. Como S ∩ T es subespacio de S, se puede tomar una base de S ∩ T : a 1 ,... , ak, k ≥ 0, y ampliarla hasta base de S : a 1 ,... , ak, b 1 ,... , bm−k, con m − k ≥ 0. Tambi´en se puede ampliar hasta base de T : a 1 ,... , ak, c 1 ,... , cn−k, n − k ≥ 0. Por (1.24)-1), S + T = K〈a 1 ,... , ak, b 1 ,... , bm−k, a 1 ,... , ak, c 1 ,... , cn−k〉 = K〈a 1 ,... , ak, b 1 ,... , bm−k, c 1 ,... , cn−k〉. ¿Es a 1 ,... , ak, b 1 ,... , bm−k, c 1 ,... , cn−k libre? Suponiendo que x 1 a 1 + · · · + xkak + y 1 b 1 + · · · + ym−kbm−k + z 1 c 1 + · · · + zn−kcn−k = 0 con los xi los yi y los zi en K, hay que llegar a ver que ¿todos los xi, los yi y los zi son 0? Notar que x 1 a 1 + · · · + xkak + y 1 b 1 + · · · + ym−kbm−k = −z 1 c 1 − · · · − zn−k cn−k ∈ S ∩ T por lo que existen t 1 ,... , tk ∈ K tales que −z 1 c 1 − · · · − zn−k cn−k = t 1 a 1 + · · · + tkak. Por tanto t 1 a 1 + · · · + tkak + z 1 c 1 + · · · + zn−k cn−k = 0, y como a 1 ,... , ak, c 1 ,... , cn−k es libre por ser base de T , tiene que ser zi = 0 para i = 1,... , n − k. Por consiguiente, se tiene x 1 a 1 + · · · + xkak + y 1 b 1 + · · · + ym−kbm−k = 0, y como a 1 ,... , ak, b 1 ,... , bm−k es libre, tiene que ser xi = 0 para i = 1,... , k , yi = 0 para i = 1,... , m − k. Esto prueba que la familia a 1 ,... , ak, b 1 ,... , bm−k, c 1 ,... , cn−k es libre y antes hemos visto que genera S + T , luego esta familia es base de S + T y dim (S + T ) = k + (m − k) + (n − k) = m + n − k = dim S + dim T − dim (S ∩ T ).
(1.27) Proposici´on y definici´on B : a 1 ,... , an base de V espacio vectorial sobre K. Para cada a ∈ V existe una ´unica n-tupla (x 1 ,... , xn) ∈ Kn^ tal que a = x 1 a 1 + · · · + xnan. Se dice que (x 1 ,... , xn) es la n-tupla de las coordenadas de a respecto B.
Notar que si reordenamos los vectores de la base B se obtiene una base distinta y no es lo mismo tomar coordenadas en una u otra base.
Dem. Como a ∈ V = K〈a 1 ,... , an〉, a = x 1 a 1 + · · · + xnan con x 1 ,... , xn ∈ K. Si a = y 1 a 1 + · · · + ynan con y 1 ,... , yn ∈ K, entonces (x 1 − y 1 )a 1 + · · · + (xn − yn)an = 0 y es xi − yi = 0 para i = 1,... , n por ser a 1 ,... , an libre. Luego xi = yi para i = 1,... , n.
(1.28) Ejemplos
Si en Kn^ consieramos la base can´onica, las coordenadas coinciden con el vector, pues x 1 (1, 0 ,... , 0) + · · · + xn(0,... , 0 , 1) = (x 1 ,... , xn).
Se tiene que S = { (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ C^3 | x 1 + x 2 + x 3 = 0 } es subespacio de C^3 y que B : (− 1 , 0 , 1), (0, − 1 , 1) es una base de S. Notar que (1, − 2 , 1) ∈ S. Como (1, − 2 , 1) = (−1)(− 1 , 0 , 1) + 2(0, − 1 , 1), las coordenadas de (1, − 2 , 1) respecto B son (− 1 , 2). Tambi´en (1, − 2 , 1) ∈ C^3. Las coordenadas de (1, − 2 , 1) respecto de la base can´onica de C^3 son (1, − 2 , 1). Notar que (1, 0 , 0), (0, 0 , 1), (0, 1 , 0) es una base de C^3 que no es la can´onica y las coorde- nadas de (1, − 2 , 1) en esta nueva base son (1, 1 , −2).
(1.29) Proposici´on Sea V espacio vectorial sobre K de dimensi´on n y B base de V. La aplicaci´on fB: V → Kn^ que a cada vector de V le asocia la n-tupla de sus coordenadas respecto B es biyectiva. Para todos a, b ∈ V, t ∈ K se cumple fB(a + b) = fB(a) + fB(b) y fB(ta) = t fB(a).
Dem. Tenemos dim V = n, llamar B : a 1 ,... , an. Para ver que fB es inyectiva, sean a, b ∈ V tales que fB(a) = fB(b), ¿es a = b? Como fB(a) son las coordenadas de a respecto B, llamando (x 1 ,... , xn) = fB(a) se tiene que a = x 1 a 1 + · · · + xnan. Estamos suponiendo que fB(a) = fB(b), luego (x 1 ,... , xn) son las coordenadas de b respecto B y por tanto b = x 1 a 1 + · · · + xnan = a. Esto prueba que fB es inyectiva. Para ver que fB es suprayectiva, sea (x 1 ,... , xn) ∈ Kn, ¿es (x 1 ,... , xn) la imagen por fB de alg´un elemento de V? Es claro que x 1 a 1 + · · · + xnan ∈ V y que sus coordenadas respecto B son (x 1 ,... , xn), es decir, (x 1 ,... , xn) = fB(x 1 a 1 + · · · + xnan). Hemos visto que fB es biyectiva. Sean ahora a, b ∈ V, t ∈ K. Llamar (x 1 ,... , xn) a las coordenadas de a respecto B, (y 1 ,... , yn) a las de b. As´ı a = x 1 a 1 + · · · + xnan, b = y 1 a 1 + · · · + ynan, a + b = (x 1 + y 1 )a 1 + · · · + (xn + yn)an y ta = tx 1 a 1 + · · · + txnan. Por tanto fB(a + b) = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn) = (x 1 ,... , xn) + (y 1 ,... , yn) = fB(a) + fB(b), fB(ta) = (tx 1 ,... , txn) = t(x 1 ,... , xn) = tfB(a).
(1.30) Cambio de coordenadas Sean B : a 1 ,... , an y B˜ : b 1 ,... , bn dos bases de V.
Cada vector de V tiene unas coordenadas respecto B y otras respecto B˜. Veamos que ambas estan relacionadas mediante un sistema de ecuaciones lineales cuyos coeficientes solo dependen de B y B˜, esto es, sirven para todos los vectores de V. Para cada i = 1,... , n, llamar (ti 1 ,... , tin) a las coordenadas de bi respecto B. Sea a ∈ V y sean (x 1 ,... , xn) las coordenadas de a respecto B y (x˜ 1 ,... , x˜n) las coorde- nadas de a respecto B˜. ¿Qu´e relaci´on hay entre (x 1 ,... , xn) y (x˜ 1 ,... , ˜xn)? Con la notaci´on de (1.29), (x 1 ,... , xn) = fB(a). Por otro lado, a = x˜ 1 b 1 + · · · + ˜xnbn. Aplicando (1.29) reiteradamente, tenemos que (x 1 ,... , xn) = fB(a) = fB(˜x 1 b 1 ) + · · · + fB(˜xnbn) = x˜ 1 fB(b 1 ) + · · · + x˜nfB(bn). Como fB(bi) = (ti 1 ,... , tin), escribiendo las n-tuplas en vertical queda:
x 1 .. . xn
(^) = x˜ 1
t^11 .. . t^1 n
+x˜ 2
t^21 .. . t^2 n
+· · ·+x˜n
tn 1 .. . tnn
, esto es,
x 1 = t^11 x˜ 1 + t^21 ˜x 2 + · · · + tn 1 ˜xn .. . xn = t^1 n x˜ 1 + t^2 n ˜x 2 + · · · + tnn x˜n que son las ecuaciones del cambio de coordenadas. Observar que la columna i-´esima de coeficientes est´a formada por las coordenadas respecto B del vector i-´esimo de la base B˜.
