¡Descarga tema 3 y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!
- Rango y equivalencia de matrices
Recordar que en (2.27)-3) hemos probado que si A es matriz de f en alg´un par de bases, la dimensi´on del subespacio generado por las columnas de A es igual al rango de f. En particular, A es la matriz de hA respecto de las correspondientes bases can´onicas, luego la dimensi´on del subespacio generado por las columnas de A es igual al rango de hA.
(3.1) Definici´on Sea A matriz en un cuerpo.
Llamaremos rango de A al rango de la aplicaci´on lineal hA. Por lo anterior, dicho rango coincide con la dimensi´on del subespacio generado por las columnas de A.
Llamaremos rango de filas de A a la dimensi´on del subespacio generado por las filas de A.
(3.2) Nota Con la definici´on anterior, (2.27)-3) queda de la siguiente forma: Si A es matriz de f en alg´un par de bases, entonces rango f = rango A.
(3.3) Teorema Sea A matriz m×n en un cuerpo, r = rango A. Entonces A es equivalente
a
Ir O O O
m×n
, es decir, existen P, Q regulares tales que A = P
Ir O O O
m×n
Q.
Dem. A es la matriz de hA: Kn^ → Km^ respecto de las bases can´onicas, vamos a buscar otro par de bases con el que la matriz de hA sea la otra matriz del enunciado. r = rango A = rango hA = dim Im hA = dim Kn^ − dim Ker hA, luego dim Ker hA = n − r. Sabemos que en Kn^ todo subespacio tiene alg´un suplementario, por lo que podemos tomar un S tal que Kn^ = S ⊕ Ker hA. Observar que la dimensi´on de S tiene que ser n − dim Ker hA = r, sea a 1 ,... , ar una base de S (en el caso r = 0, A es nula y el resultado se cumple trivialmente). Al yuxtaponer esta base con una base de Ker hA se obtiene una base B 1 : a 1 ,... , ar,... , an de Kn. Por (2.8)-1) la aplicaci´on de S en Im hA que a cada a ∈ S le asocia hA(a) es lineal y biyectiva, luego por (2.5)-3) tenemos que hA(a 1 ),... , hA(ar) es base de Im hA. Podemos ampliar esta familia libre en Km^ hasta base de Km, llamamos a esta base B 2 : hA(a 1 ),... , hA(ar),... , bm. ¿Cu´al es la matriz M de hA respecto B 1 y B 2?
M ser´a m × n. Para i = 1,... , r, la columna i de M est´a formada por las coordenadas de hA(ai) respecto B 2 : hA(a 1 ),... , hA(ar),... , bm, luego la columna i de M es la m-tupla (0,... , 1 ,... , 0) con el 1 en el lugar i. En cambio, si i > r, ai ∈ Ker hA, luego hA(ai) = 0 que tiene coordenadas (0,... , 0) respecto B 2 y la columna i de M es la m-tupla nula.
As´ı, M =
m^ ×^ n, con^ r^ “unos”y el resto de elementos iguales a 0. Por
ser A y M matrices de hA respecto de distintos pares de bases, existen P y Q regulares tales que A = P M Q, es decir, A es equivalente a M.
Observar que se puede poner M =
Ir O O O
m×n
. Puede ocurrir que r = n, con lo que no
habr´ıa columnas nulas. Tambi´en puede ser r = m y en tal caso no habr´ıa filas nulas.
(3.4) Teorema Si A y B son matrices del mismo tama˜no en un cuerpo, se cumple:
A es equivalente a B si y solo si rango A = rango B.
Dem. Sean A y B m × n en K. Supongamos que A es equivalente a B, esto significa que existen P y Q regulares tales que A = P BQ. B es la matriz de hB : Kn^ → Km^ respecto de las bases can´onicas. Por (2.23) y (2.24), al ser P y Q regulares, existen bases B 1 de Kn^ y B 2 de Km^ de forma que los cambios de coordenadas con las correspondientes bases can´onicas sean los adecuados para que la matriz de hB respecto B 1 y B 2 sea P BQ = A. As´ı, A es matriz de hB en alg´un par de bases, luego por (3.2) se tiene rango A = rango hB = rango B.
Suponer ahora que rango A = rango B. Llamando r = rango A = rango B, se tiene por
(3.3) que A es equivalente a
Ir O O O
m×n
y B es equivalente a
Ir O O O
m×n
. Como la relaci´on
“ser equivalente a”entre matrices m × n es sim´etrica y transitiva, A es equivalente a B.
(3.5) Definici´on Sea A m × n. Se llama matriz traspuesta de A a la matriz n × m cuyas columnas son las filas de A. La denotaremos A t. Es decir, si A = ( aij ) y A t^ = ( a′ ij ), se tiene a′ ij = aji.
(3.6) Proposici´on
(AB) t^ = B tA t.
Si A es regular, entonces A t^ es regular y (A t)−^1 = (A−^1 ) t.
Dem. 1) Sea A m × n y B n × q. Entonces AB es m × q, A t^ n × m, B t^ q × n, (AB) t q × m y B tA t^ q × m. Llamar A = ( aij ) , A t^ = ( a′ ij ), B = ( bij ) , B t^ = ( b′ ij ). El elemento i, j de (AB) t^ es el j, i de AB que es
∑n k=1 ajkbki. El elemento i, j de B tA t^ es
∑n k=1 b
′ ika ′ kj =^
∑n k=1 bkiajk.^ Luego (AB)^
t (^) = B tA t.
- Si A es regular, A es cuadrada n × n y existe A−^1 n × n, luego (A−^1 ) t^ es n × n. Por 1): At(A−^1 ) t^ = (A−^1 A) t^ = In t^ = In y (A−^1 ) tAt^ = (AA−^1 ) t^ = In t^ = In, luego por (2.19)-2), A t^ es regular y (A t)−^1 = (A−^1 ) t.
(3.7) Teorema rango de filas de A = rango A t^ = rango A
Observaci´ on La igualdad AX = b, A m × n, equivale al sistema de ecuaciones lineales
a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn = b 1 .. . am 1 x 1 + · · · + amnxn = bm
con X =
x 1 .. . xn
, b =
b 1 .. . bm
(^) y A la matriz de coeficientes
del sistema. Recordar que hA: Kn^ → Km^ y hA(X) = AX para todo X ∈ Kn. Luego el conjunto de soluciones (en el cuerpo K) es { X ∈ Kn^ | AX = b } = { X ∈ Kn^ | hA(X) = b } = h− A^1 ( {b} ), conjunto de antiim´agenes de b por la aplicaci´on lineal hA.
(3.10) Teorema Considerar el sistema AX = b de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas en un cuerpo. (A m × n, X n × 1, b m × 1.)
Si rango A 6 = rango ( A b ), entonces el sistema no tiene soluciones (incompatible).
Si rango A = rango ( A b ), entonces el sistema tiene alguna soluci´on. En este caso, si rango A = n, hay una ´unica soluci´on (compatible determinado), si rango A 6 = n, hay m´as de una soluci´on (compatible indeterminado).
Dem. Tenemos b ∈ Km, hA: Kn^ → Km^ lineal, hA(X) = AX para todo X ∈ Kn, luego el conjunto de soluciones del sistema es h− A^1 ( {b} ). Llamando e 1 ,... , en a la base can´onica de Kn, Kn^ = K〈e 1 ,... , en〉 y la columna i de A es hA(ei) ≡ Xi. Por ser hA lineal se tiene: Im hA = hA(Kn) = K〈hA(e 1 ),... , hA(en)〉 = K〈X 1 ,... , Xn〉. Adem´as, rango A = dim K〈X 1 ,... , Xn〉 y rango ( A b ) = dim K〈X 1 ,... , Xn, b〉 por ser Xi la columna i de A. Recordar que el apartado 3) del lema (1.14) nos dice que (∗): b ∈ K〈X 1 ,... , Xn〉 si y solo si K〈X 1 ,... , Xn〉 = K〈X 1 ,... , Xn, b〉.
Si rango A 6 = rango ( A b ), entonces K〈X 1 ,... , Xn〉 6 = K〈X 1 ,... , Xn, b〉 por tener distinta dimensi´on, luego por (∗) se tiene que b /∈ K〈X 1 ,... , Xn〉 = Im hA. As´ı, b no tiene antiim´agenes, es decir, h− A 1 ( {b} ) = ∅ y el sistema no tiene soluciones.
Si rango A = rango ( A b ), entonces los subespacios K〈X 1 ,... , Xn〉 y K〈X 1 ,... , Xn, b〉 tienen la misma dimensi´on. Como el primero est´a contenido en el segundo, tienen que ser iguales, por lo que se deduce de (∗) que b ∈ K〈X 1 ,... , Xn〉 = Im hA. As´ı, existe a ∈ Kn tal que b = hA(a), es decir, a ∈ h− A^1 ( {b} ). Por ser hA lineal, (3.9) nos dice que el conjunto de soluciones es h− A^1 ( {b} ) = { a + c | c ∈ Ker hA }. Se tiene que dim Ker hA = dim Kn^ − dim Im hA = n − rango A, por tanto:
- Si rango A = n, entonces dim Ker hA = 0 y Ker hA = { 0 }. Luego h− A^1 ( {b} ) = { a }, el conjunto de soluciones tiene un ´unico elemento.
- Si rango A 6 = n, entonces dim Ker hA 6 = 0 y Ker hA 6 = { 0 }. Ya que 0 ∈ Ker hA, en Ker hA hay al menos otro vector m´as. Luego en Ker hA hay m´as de un vector y lo mismo le ocurrir´a a { a + c | c ∈ Ker hA } = h− A^1 ( {b} ), que es el conjunto de soluciones.
(3.11) Nota Un sistema de la forma AX = 0 se llama homog´eneo. Siendo A m × n (m ecuaciones y n inc´ognitas), es claro que el sistema es compatible pues al menos tiene como soluci´on a la n-tupla nula. Por (3.10), tendr´a m´as soluciones si y solo si rango A 6 = n. Notar que en un sistema homog´eneo el conjunto de soluciones es Ker hA, que es subespacio de dimensi´on dim Kn^ − dim Im hA = n − rango A. El conjunto de soluciones de AX = b con b 6 = 0 no es subespacio ya que no contiene a la n-tupla nula.
(3.12) Proposici´on Sea A cuadrada n × n.
Si existe B tal que AB = In, entonces A es regular y A−^1 = B.
Si existe B tal que BA = In, entonces A es regular y A−^1 = B.
Dem. 1) Para probar que A es regular es suficiente ver que ¿rango A = n? Notar que B tiene que ser n × n, con lo que tenemos hA, hB : Kn^ → Kn. La matriz en la base can´onica de hA◦ hB es AB = In. Por ser In la matriz en la base can´onica de IdKn , tiene que ser hA◦^ hB = IdKn^ , luego hA
hB (Kn)
= IdKn^ (Kn) = Kn. Como Kn^ ⊇ hB (Kn), se tiene hA(Kn) ⊇ hA
hB (Kn)
= Kn. El otro contenido hA(Kn) ⊆ Kn^ es claro, luego hA(Kn) = Kn^ y as´ı, rango A = rango hA = dim hA(Kn) = dim Kn^ = n. Por (3.8), A es regular, luego existe A−^1 n×n. Como AB = In, A−^1 (AB) = A−^1 In = A−^1. Por otro lado, A−^1 (AB) = (A−^1 A)B = InB = B, luego A−^1 = B.
- Ejercicio. (Ver hA inyectiva. Otras formas: usando 1) y (3.6) o usando 1) y (2.20)-1).)
(3.13) Definici´on Las operaciones elementales en matrices son las de los tipos siguientes:
F1) Sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar Fi → Fi + tFj , i 6 = j, t ∈ K
F2) Multiplicar una fila por un escalar no nulo Fi → sFi, 0 6 = s ∈ K
F3) Intercambiar dos filas Fi ⇀↽ Fj
C1), C2) y C3) cambiando la palabra “fila”por “columna”en las anteriores.
Llamaremos matriz elemental n×n correspondiente a una operaci´on elemental, al resultado de efectuar dicha operaci´on en la matriz In.
(3.14) Proposici´on Sea A m × n.
Si B resulta al efectuar en A una operaci´on elemental, entonces rango A = rango B.
Si B resulta al efectuar en A una operaci´on elemental de filas, entonces B = EA, siendo E la matriz elemental m × m correspondiente a la operaci´on.
Si B resulta al efectuar en A una operaci´on elemental de columnas, entonces B = AE, siendo E la matriz elemental n × n correspondiente a la operaci´on.
Dem. 1) Recordar que por el lema (1.14)-4), K〈a, b, c 1 ,... , cn〉 = K〈a, b + ta, c 1 ,... , cn〉, si s 6 = 0 K〈a, c 1 ,... , cn〉 = K〈sa, c 1 ,... , cn〉 y tampoco cambia el subespacio generado al cambiar el orden de los vectores. Por otro lado, el rango de una matriz coincide con la dimensi´on del subespacio generado por sus filas y tambi´en con la dimensi´on del subespacio generado por sus columnas. Luego si en lo anterior consideramos como vectores las filas (si la operaci´on es de filas) o las columnas (si es de columnas) de A, se obtiene que rango A = rango B.
- y 3) Veamos el tipo Fi → Fi + tFj : Llamar B al resultado de efectuar esta operaci´on en A, A y B son m × n. La matriz elemental E m × m correspondiente a la operaci´on se obtiene al efectuar la operaci´on en Im. Sean e 1 ,... , em las filas de Im, cada ei es 1 × m. ¿EA = B? Ambas son m × n. Si k 6 = i, la fila k de E es ek , luego la fila k de EA es el producto de ek por A, ekA, que es la fila k de ImA = A, que coincide con la fila k de B.
Nota En general, si partimos de A m×n y efectuamos operaciones de filas y de columnas,
podemos poner
A Im In
→ filas
E 1 A E 1 Im In
→ columnas
E 1 A E˜ 1 E 1 Im In E˜ 1
Ek... E 1 A E˜ 1... E˜l Ek... E 1 E^ ˜ 1... E˜l
por lo que si el final es
B P
Q
, se tiene B = P AQ.
(3.17) Proposici´on
Sea A m × n en un cuerpo. Efectuando sucesivamente a partir de A operaciones elementales de los tipos Fi → Fi + tFj con i > j, y Fi ⇀↽ Fj , puede obtenerse una matriz cuyas primeras filas son una familia escalonada y, posiblemente, sus ´ultimas filas son nulas.
Toda matriz regular es producto de matrices elementales.
Dem. 1) Si A es nula, ya es de la forma que buscamos. Si A no es nula, sea la columna k
la primera no nula de A, as´ı A =
0 · · · 0 a 1 k a 1 n .. .
0 · · · 0 amk amn
. Distinguimos dos casos.
- Caso 1): a 1 k = 0. Existir´a i 6 = 1 tal que aik 6 = 0. Con la operaci´on F 1 ⇀↽ Fi, el nuevo elemento 1, k es aik 6 = 0 y estamos en el caso 2).
- Caso 2): a 1 k 6 = 0. Existir´a a− 1 k^1 ∈ K y con las operaciones F 2 → F 2 − a 2 ka− 1 k^1 F 1 ,... ,
Fm → Fm − amka− 1 k^1 F 1 llegamos a una matriz
0 · · · 0 a 1 k · · · a 1 n
Om− 1 ×k B
- Ahora se repite el proceso anterior en la matriz formada por las m − 1 ´ultimas filas. Notar que las operaciones de filas no cambian los ceros de las primeras columnas. El proceso termina cuando llegamos a una matriz nula o se acaban las filas, obteni´endose una matriz del tipo indicado en el enunciado.
- Si A es regular, A es cuadrada n × n y su rango es n. Aplicando a A el proceso anterior, como las operaciones elementales no cambian el rango, se llega a una matriz escalonada n × n de rango n. Al tener solo n filas, no puede tener filas nulas, y como solo tiene n columnas, los “escalones”tienen que ser de “anchura 1”. Es decir, se llega a una
matriz
p 1 ∗ · · · · · · ∗ 0 p 2 ∗ .. .
0 · · · · · · 0 pn
con los pi 6 = 0 y de aqu´ı se pasa a
p 1 0 · · · 0 0 p 2 0 .. .
0 0 · · · pn
con operaciones del tipo Fi → Fi + tFj (obviamente ahora i < j). Por ´ultimo, con n operaciones Fi → p− i 1 Fi se llega a In. Todas las operaciones efectuadas son de filas, luego se tiene Ek... E 1 A = In siendo las Ei matrices elementales. Por (3.15)-2) sabemos que las Ei son regulares y que las E i− 1 son matrices elementales, por lo que tenemos A = E 1 − 1 · · · E k− 1 In = E 1 − 1 · · · E k− 1 producto de matrices elementales.
Nota En el proceso de la demostraci´on de (3.17)-1), para obtener un “pivote”no nulo (a 1 k 6 = 0) se ha empleado una operaci´on del tipo Fi ⇀↽ Fj , pero tambi´en podr´ıa emplearse Fi → Fi + Fj , i < j. Por tanto, utilizando solamente operaciones del tipo Fi → Fi + tFj , i 6 = j , puede llegarse a una matriz escalonada. Si la matriz de partida es regular, con operaciones de este tipo se puede llegar a una matriz diagonal con elementos 1,... , 1 , s en la diagonal, s 6 = 0. As´ı, razonando como en el final de la demostraci´on anterior, se deduce que toda matriz regular puede ponerse como producto de varias matrices elementales de
las correspondientes al tipo Fi → Fi + tFj , i 6 = j y una matriz
0 · · · 0 s
,^ s^6 = 0.
(3.18) Observaciones Considerar dos cuerpos K ⊂ F (por ejemplo Q ⊂ R o R ⊂ C).
Notar que toda matriz A en K tambi´en es matriz en F y que el cuerpo interviene en la definici´on de rango, ¿ser´a distinto el rango de A seg´un consideremos como cuerpo K o F? Sabemos por (3.17)-1) que pueden efectuarse a partir de A operaciones elementales con escalares del cuerpo K hasta obtener una matriz escalonada B en K. Como las operaciones elementales no cambian el rango y B est´a escalonada se tiene que rangoK A = rangoK B = n´umero de filas no nulas de B. Pero las operaciones elementales con el cuerpo K tambi´en lo son con el cuerpo F , por lo que se tiene rangoF A = rangoF B = n´umero de filas no nulas de B. Es decir, rangoK A = rangoF A, es el mismo si consideramos como cuerpo K o F.
Sea ahora AX = b un sistema de ecuaciones lineales en el cuerpo K. Tambi´en podemos plantearlo en el cuerpo m´as grande F. ¿Puede haber soluciones en F y no haberlas en K? ¿Ser´an los dos sistemas del mismo tipo? Como los rangos de A y ( A b ) no dependen de que el cuerpo considerado sea K o F , (3.10) asegura que los dos sistemas son del mismo tipo. Si el sistema es incompatible en K, tambi´en lo ser´a en F. Si hay una ´unica soluci´on en K, no hay m´as soluciones en F. Lo ´unico que cambia es que en el caso compatible indeterminado los par´ametros var´ıan solamente en K o en todo F.
No hay que olvidar que (3.10) y lo anterior se cumple para cuerpos pero, por ejemplo, no es v´alido en Z.
