DETERMINANTES Y EJERCICIOS, Apuntes de Álgebra Lineal

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DETERMINANTES En este Capítulo se considerará el determinante de una matriz cuadrada, como un número importante asociado con la matriz, esto es, el determinante es una función que transforma una matriz en un número real. Daremos una definición de determinante en términos de expansión por menores, lo cual faci- lita su cálculo. Diferiremos la definición de determinantes usando permutacio- nes para el Capítulo 8; de esta definición posterior se derivan con mayor faci- lidad los teoremas básicos que conciemen a las propiedades de los determi- nantes. Repaso de Determinantes de Orden 2 y 3 dy dy a a | el determinante de A es el número Si tenemos una matriz A = [ it a a der(4) = | A|= ap1022 - 0902. El determinante de una matriz de 2 X 2 es un determinante de segundo orden. Un determinante de tercer orden, esto es, el determinante de una ma- triz de 3X 3, puede definirse en términos de determinantes de segundo orden tal y como se indica a continuación. Consideremos la matriz 1 E A Áz[d2 02 030, 031 2 %3j los menores A de2X2 de la matriz A, son las matrices que se abtienen por eliminación de la i-ésima fila y la ¡-ésima columna de A. Asi a a 1 Y ÁAn= | ze a As | ñ etc. Ba 03 aj A —. — Álgebra Lineal paro Estudiantes de Ingenieria 6.Pizzella El determinante de A 56 define como 0) det A) = andetíAr) - asadet(Arz) + aradet(A13)- a] Pa -3-2 Ejemplo 4.1 "Para A=/3 2 1puna matriz de 3 X3 tenemos que 21.2 5] la. -3 ñ , 21 3 l Í3 detra)= 13 2 Ulea a) +(2 tó) Lala lat, 3 Lt. 2 5 ! ActíA)=2(10-2)+3(15+ 1) -U6+ 2)=48. El cofactor 4"; de la entrada a en la matriz Á = (0) de tamaño 3 X 3 $e, define como ais (DD uedA), usando cofactores, la ecuación (1) se escribe 3 : det(A) = 010 + M2 + a Y aja Yi- (2) 71 de la ecuación (2) representan la primera s conocida como una expansión de Jos Se puede verificar, por cálculo directo que ente por la expansión por los Puesto que los factores ay de la matriz A, esta expresión €: nores en la primera fila de A. determinante de A puede obtenerse igualm nores de cualquier fila de A; esto £s, 3 Y as y para r=1,25. ja (3) det(A)= QA er Ara + Ol Similarmente, el lector puede verificar que 3 4) det(A) = 015015 + zas + 0335 Y a,di para s=123. je enores en la r-ésima fila de A, La ecuación (3) es una expansión por JT en la s-ésima columna de Á. ecuación (4) es una expansión por menores En la práctica, el cálculo del determinante de UNA matriz se hace ta tlla o columna que conti mente por expansión por los menores en mayor cantidad de entradas iguales a cero, a fin de minimizar los cómp . Álgebra Lineal para Estudiantes de Ingeniería 6. Pizzella ay = 1)" det(Ap). es el cofactor de la entrada 0, | vamos a calcular el ¡determinante de la matriz Á = | i 5 2 sera) - BED 0 deceo] 1 li 1 1 L3 ¡a 1.8 + 2 0 La 1-4 Calculando los determinantes de orcien tres, por separado. tenemos: ll 5 2 o 1 va 0 12 1 1, a ¡Ñ IN 1 Y 1 o] Ss (4) + 2-1) = 22 1 2 ls 2 10 1 12 +5, 2 = (19950 = 36. De donde el detíA) = 5(-8) + 2-22) = 4(10) +36 = -8. En el Capitulo 8 veremos, Mas figurosamente, como el determinante una matiz de »1 X n puede obtenerse. por expansión por jus menores de cu quier fila o coluana; este. es. El , 4 . Wad. (6) detA) = Quay: + 0,20 p2 * Argllra ++ Om 2, . ¡al para r= 1,2,3, Na 4, Determinantes s ”n Ps , ) dE) = O1galg + Calas + Mggblgs o + lo Djs, para 521,2,3,>-,m La ecuación (6) es una expansión por menores en la r-ésima fila de la ma- triz A, y la ecuación (7) es una expansión por menores en la s-ésima columna de A. 3 2. 0.1 E . -2. 4 1 2 1 Ejemplo 4.4 Computemos el determinante de la matriz A=| 0 1 0 1 -5l -1 2.0 -1 2 9. 0.0 0 2] Calcularemos el det(A) por una expansión par menores en la fila o columna que contenga la mayor cantidad de ceros. Tenemos, por expansión en la quin- ta fila: 3.201 del(A)==as5a%,+a,08, aya, +95 Haji 2 RA IA y -1 2 0 —] 3 2 1 der(A) =2XDCIFP [O —1 1| (Porexpansión en la tercera columna) pl 2 —I deta) = dao uc 2 | -1 1 (Por expansión en la primera columna) det[A) = 21361) - 13) =-26 3 -3)=12. 4.3 Propiedades de los Determinantes Listaremos tres propiedades básicas, las cuales son de gran ayuda para el - cálculo de determinantes. Sean A y B dos matrices cuadradas: entonces: Corolario 2 Teorema 4.3 Definición 4.2 Teorema 4.4 la de A al multiplicar la x-ésima fila por 1 , entonces det(B) = i det(A) pero la a a matríz quedaria con dos filas iguales y el determinante es cero. Sea Á una matriz de » X » y sea a e R, El det(a4) = o'det(A). Demostración: Multiplicar un escalar a, por una matriz Á de » X ”, es COMO - multiplicar cada una de las » filas de A por el escalar, así el determinante de la matriz que resulta de hacer esta operación, el escalar por la fila 7 veces, es igual a, según el Teorema 4.2. u det(A) n veces, esto es, a"det(A). Sea A una matriz de n X n. Si sumamos un múltiplo de.una fila de A a otra fila de A, entonces el determinante de la matriz que resulta es igual al det(A). Demostración: Sea a, = ICO 9,,) la ¡ésimadila de A, Supongamos que o-a; se la sumamos a la k-ésima fila a, de A, donde a es un escalar cuall- quiera, no nulo. Entonces nosotros hemos obtenido una matriz B con las mis- mas filas de la matriz A, excepto por la k-ésima fila, la cual es: by 5 (007 + Qja, 10,2 + Oy2, 110,5 + Oya, *", Cin + Oj). Claramente los menores Ay Y By san iguales para cada j. Luego, ay; calculando el det(B) por expansión por menores en la fla k, se tiene: det(B) =Dbla+ rabia + Diga + Dr = (00 +a)a tarada ao t0y last (Arta kn A O y ARA A ARA = adet(C) + det(A), donde € es una matriz que se obtuvo al sustituir la k-ásima fila con la ¡-ésima fila en la matriz A. Así, como € tiene dos filas iguales, la fila ¡ y la'fila k tienen las mismas entradas, las de ¡, su determinante es cero, luego det(B)= det(A). Igualmente, este teorema es aplicable si se plantea por columna, Una matriz A de n X » es singular si el det(A) =0 y es no singular o regular siel det(A)>0. Si una matriz A de » X 1 es invertible, entonces A es na singular y det(A*)= ll . del(A) . 60 4.4 Ejemplo 4.5 Álgebra Lineal paro Estudiantes de Ingeniería 6. Pizzella Demostración: Por ser A invertible. A- A" = L Claramente el det(I) = 1, luego por la propiedad iii) del Articulo 4.3 de AA") = det A) -der(A”) =det(l) = 1. como detíA) + 0, entonces det(A”*)= . letíA) + ettA7) TA) Es de hacer notar que, el recíproco gel Teorema 4.4 también es valido: «es decir, sí det(A) + 0, entonces Á es invertibie. Cálculo de Determinantes de Orden Superior Hemos podido observar que el determinante de una matriz A de X 1 se afec- ta si empleamos operaciones elementales en filas o columnas en A. Esto Su- giere una técnica para calcular el det(A). Sí nosotros hacemos la reducción Je la matriz A, a una matriz con una fila o columna que tenga únicamente una en- trada no nula y si hacemos la expansión por menores en esa fía o columna, se reduce el cálculo a encontrar un determinante de orden (n-1). Esta reduc-. ción se repite hasta que nos convenga, € decir, hasta que la matriz sea de un tamaño manejable. En el procesa de reducción de A, debemos recordar que si dos filas o dos columnas se intercambian, el signo del determinante cambia, para compensar este efecto debemos multiplicar pas -1. Igualmente, si una filar o una columna se multiplica por un escalar no nulo, debemos multiplicar por el recíproco para compensar. Sin embargo, como sabemos, si a una fila cual- quiera le sumamos un múltiplo de otra fila, el determinante no se altera. Como ilustración a lo dicho, se calculará el determinante de la matriz de 5X 3 13 1-24 2] 1104-32 1 |. Veamos: -2.4 1.3 45 02-24 2 2.6 1 7-6 31-24 2 Jo 7 2 5B! (Haciendo los ceros en la primera calurma, utilizando 114-324 1104 -3 2 1 la segunda fila coma eleman- Lo 4 1 3 4|=-10 12 5 7 2 to reductor. Luego desaro-' tamos los cofactores de la 02-24 2lpp.2-24 2 primera columna.) p2.6 17 -6 0 14 -7. 11 -8| 54 Álgebra Lineal para Estudiantes de Ingeniería 6. Pizzella 24. Demuestre que det(o.T) = 0”, siendo 1 de n Xn 25, SIA es una matriz de n X 7 idempotente, esto es, AZ=A conáz O, de- muestre que detr(A) es 10 0. 26. Si A? = Lentonces Á se llama involutorla. Demuestre que Si Aes involu- . toria el det(A) == 1. Ñ 27. Demuestre que el determinante de una matciz nilpotente es cero. 28. Una matriz es antisimétrica si A? = -4 Si A es una matriz antisimétrica de n X », demuestre que det(A) = (-1 'detA). ¿Puede ser A una matriz no singular? 29. Si Aden XX», con n impar, es antisimétrica, demuestre que detí(A) = 0. 30; Una matriz A se llama ortogonal si A es invertible y AT = A? Demuestre que el determinante de una matriz ortogonal es igual a 4 1. En los ejercicios 31 al 35, determine el determinante de la matriz dada su- poniendo que a 1 deba 2 ma3|="6 Pag 2 %3 [a31 02 053) [ou 203 We ¡304 3017 3013 34.021 Gz2 0 32. ¡01 2023 02 33. 209 20 20 | LO a 02] E 2033 032) Lon 592 5063 ] ES 32 3 , (2041 302 2012 Maz 209 a 2092 2003 gl %1 U2 ml a El 3 51] 022 03 ] A 4-1d+1] 36, ¿Para que valores de 4 la matriz 1 2 3 | notiene inversa? . : 2-2 4-3 4+ ,| 37. Sean A y P dos matrices de » X »n y supóngase que P es invertible pero A no lo es. Determine el det(P"*A P). 38. Sea. A una matriz de tamaño Xn, si AA! = 1, demuestre que det(A) = 11. 39. Sean A y B matrices 4 X + tales que el det(A) = 2 y el de(B) = 5. Determi- ne cada uno de los valores siguientes: ¡y det AB) 11) dex(A7!) ii) det(A7?) iv) dera v) de AB”) — vi) der(ABA") vi) der(A3B) — vil) der(SAB) 40. Demuestre que der(AJ', puede escribirse como ef determinante de una ma- triz simétrica. a 4.6 4. Determinantes 65 Dos Aplicaciones Clásicas de los Determinantes La Inversa de una Matriz Invertible En esta sección déscribiremos otro método para calcular la inversa de una matriz invertible utilizando el teorema que se demuestra a continuación. Sea A = (0) una matriz no singular de M.. Entonces A es invertible y 40 AY detíA)' donde A' = (a') es-la-matriz de cofactores de la matriz A. La matriz y es llamada matriz adjunta de A, y se escribe Adj(A). Demostración: Sea Á = (a) una matriz de M.. Si consideramos la matriz B coma la matriz que resulta de reemplazar la ¡sima fila de A por la i-ésima fi- la. Entonces o (dera) si ij det): o sio iaj' si calculamos el determinante de la matriz B por expansión de los menores de la ¡-£sima fila, tenemos que det(B) = Yao. con la relación s=1 A E = 0 si ixp El término de la izquierda en la ecuación (8) representa las entradas de la i-ésima fila y la j-ósima columná del producto A(A')', donde A” = (a) es la matriz de tamaño » X » cuyas entradas son los cofactores de la matriz A. Así _ la ecuación (8) puede escribirse como A(A'Y' = det(A)L, donde I es la matriz identidad de » X n. En consecuencia cuando det(A) = 0, tenemos que o aa») De manera similar si reemplazamos la j-ésima columna de A por la i-ésima columna, tendremos 4. Determinantes Encontremos la inversa de una matriz de tamaño 2 X 2. Oy a Si A >| 4 »] Y del A) = 9,,0,7 — 41707, =h 0, entonces: da Ma do r a | l y adica)= 702 %y 7 a 22 dedonde A-| A 1 h La Regla de Cramer En este artículo se describe un método para resolver los sistemas de ” ecua- ciones lineales con » incógnitas que tengan una sola solución. El método des- crita en el Capítulo 2 es preferido mucho más a menudo, pero la Regla de Cramer tiene aplicaciones, incluso en el análisis de las soluciones del sistema. Considere el sistema de ecuaciones AX = B, donde A = (a) es una matriz o De cuadrada de tamaño », X= xx] es el vector columna 2-dimensional de las *n incógnitas y 8 es el vector columna »-dimensianal de los términos indepen- a br] bz dientes de la forma B=|bz |. Si A es no singulat, entonces el sistema tiene ls, * solución única, y esta solución viene dada por la relación: - AB) = arak=1.2,3,00m sea) P Pon 68 donde, A' = (a';;) es la matriz de cofactores. Si desarrollamos el producto en Álgebra Lineal para Estudiantes de Ingenieria 6. Pizzella donde B, es la matriz que se obtiene de A, reemplazando la k-ésima colu de A por el vector columna B Demostración: Si A es no singular, la única solución del sistema A-X.= es (3) X=4"(b)= 1 detíA) aya. término de la derecha obtenemos el vector columna 4) ay) a E Sea TO bo: 05] 023 Ga 03 Da o a BF 0 az 03 boo | IC bo Am la matriz que se obtiene de A reemplazando la k-ésima columna por el y (b), esto es, reemplazando a, por b,, Desarrollando el det(B,) por los me de la k-ésima columna, tenemos, nm (5) det(B,) = Y a'xb; al como quiera que el contador k puede seri ó lo que sea, sustituimos la en ción (5) en la ecuación (4) y se tiene (AYb) = det(Bi) de tal forma que ecuación (3) se convierte en x det(B) xz 1 det(B,) ro An. deta.) det8,,) esto es, Xy = para k=1.2,3,=",n. det(A) 70 Ñ 2 26. Sea A una matriz de 4 X 4. Suponga que X= 3 es una solución del si Álgebra Lineal pora Estudiantes de Ingeniería 6. Pizzella 1 2 3 13. ¿Para que valores de Ale matriz |. A 1-A 1-2. | no tiene inversa? 1-2 1142 4+2 En los ejercicios 14 al 20, resuelva cada uno de los sistemas de ecuacio. nes lineales dados utilizando la Regla de Cramer, si es posible. 7 [xq+ X= Xx = -2 Ax 2x+ x= 14:24 + X2+ xx = 0 15. Xt Xx = (3% - x+ 5x% = 1 A+ ÓR= X= Jl AZ MAX 1 o 4 + 2 Y 0 i 0 l64x- 4er x= -2 TAX + lx Xx = bx+ 2% = 0 Ar Rar 2% o = x + x= xo =-3 | E ES 2 18.13x + 7x+ 2x .=1 19, 3% 8Bx¿+ 2% 5 Ax - 2x+ Xx =-2 3 - 7T+ Xx 6% + X= Xy - 4 Xx Xx + 5x4 = -2 20. y z 4 + Mt A = 2 Xx + RT XM+ 2 o 21. Sea A una matriz de 4 X 4 y sea det(A) = 3. Encuentre el der((A')'d A' es la matriz de cofactores de A. 22. Si A no es invertible, demuestre que A(Adj(A)) es la matriz nula. 23, Sea A una matriz de 3 X 3, invertible. Demuestre que detlíA') Jdet (A) det( A)”. 24. Utilizando los conocimientos adquiridos, esto es, definiciones y teor: indique un procedimiento para calcular el determinante de una matriz drada, que no sea ninguno de los conocidos. 25,.Si A y B son dos matrices no singulares, pruebe que Adi(AB) Adj(B)Adi(A). 1] r 4 de ecuaciones lineales AX = 8. ¿Es A una matriz singular o no singular? y) que sus respuestas.