¡Descarga Tema 3 Corrent elèctric y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
Capítol 4 Corrent elèctric (^1)
CAPÍTOL 4 CORRENT ELÈCTRIC
4.1 Corrent elèctric: densitat i intensitat 4.2 Equació de continuïtat. Corrents estacionaris 4.3 Corrents de conducció: llei d’Ohm 4.4 Associació de resistències 4.5 Energia i potència d’un corrent: efecte Joule 4.6 Generadors: força electromotriu 4.7 Llei d’Ohm a través d’un generador i balanç energètic 4.8 Anàlisi de circuits: regles de Kirchhoff
4.1 CORRENT ELÈCTRIC: DENSITAT I INTENSITAT
Un sistema de càrregues elèctriques en moviment constitueix un corrent elèctric. Hi ha diversos tipus de corrents: Corrents de conducció : les càrregues es mouen en un medi degut a la presència d’un camp elèctric. Corrents de difusió : les càrregues es mouen en un medi degut a gradients de concentració. Corrents de convecció : les càrregues es mouen degut al moviment del medi que les conté. Corrents en el buit : les càrregues es mouen en el buit. La magnitud bàsica que caracteritza un corrent elèctric és la densitat de corrent. És un
vector, j
, que en cada punt té:
direcció, la del moviment de les càrregues, sentit, el del moviment de les càrregues si són positives, o l’oposat si són negatives, mòdul definit d’aquesta manera: si en el punt es considera un element de superfície perpendicular a la direcció del corrent i d’àrea dS (Figura 4.1), en un interval de temps dt, travessa la superfície una càrrega dQ. Llavors el mòdul dej
és
dSdt j dQ i representa la càrrega que travessa una superfície perpendicular al corrent per unitat d’àrea i de temps.
Figura 4.
2
La densitat de corrent j es pot expressar en termes de la velocitat i la densitat de les
càrregues mòbils. En efecte, si la velocitat de les càrregues en un punt és v^ , considereu entorn del punt una superfície elemental d’àrea dS perpendicular a (^) v^ (Figura 4.2). En un interval de temps dt, la càrrega dQ que travessa la superfície és la situada a una distància inferior a d vdt, és a dir, és la càrrega continguda dins del volum vdtdS. Si la densitat de càrrega mòbil és (^) ρ, la càrrega dins del volum és (^) dQ ρvdtdS, i el mòdul de la densitat de
corrent en el punt serà
ρv dS dt
ρvdtdS dS dt j dQ
Per tant, tenint en compte la direcció i sentit de j
, és j ρv
Considerant que ρ nq, on q és la càrrega de les càrregues mòbils i n la seva densitat
(nombre de càrregues mòbils per unitat de volum), resulta:
j nqv
Si a cada punt del corrent s’assigna el vector densitat de corrent j
es té un camp
vectorial, i com a tal, es pot representar mitjançant les línies de camp, anomenades en aquest cas línies de corrent.
La intensitat d’un corrent a través d’una superfície S és el quocient de la càrrega dQ que la travessa durant un temps dt, i el temps dt. És a dir, és la càrrega que la travessa en la unitat de temps,
dt
I dQ En el cas d’un element de superfície perpendicular al corrent i d’àrea dS, si es té en compte la definició de la densitat de corrent, la intensitat dI del corrent que la travessa és*
jdS dt
dI dQ
- (^) El dQ que apareix a l’expressió de dI i a la de la definició de j és un infinitèsim de segon ordre, correspon a una càrrega molt petita perquè són molt petits tant el temps com l’àrea. En canvi el dQ de l’expressió de la intensitat I és un infinitèsim de primer ordre, correspon a una càrrega molt petita perquè només el temps és molt petit, l’àrea S no ho és.
Figura 4.
4
Aquesta és l’anomenada equació de continuïtat que expressa matemàticament el principi de conservació de la càrrega elèctrica. En ella, el signe – és degut a que si, per exemple, surt càrrega positiva de v, com que la normal a la superfície S es pren cap a fora de v, I és positiva. En canvi, com que la càrrega de v disminueix, dQ/dt és negativa.
En el cas de situacions estacionàries, en les quals res no depèn del temps, dQ/dt és nul, i per tant l’equació de continuïtat s’escriu
S j^ dS^0
En un corrent estacionari, dit també continu, el flux del vector densitat de corrent a través d’una superfície tancada és sempre nul. Per tant, el camp vectorial de la densitat de corrent és un camp de flux conservatiu. En aquest cas, el nombre de línies de corrent que entren al volum delimitat per la superfície és igual al de línies que hi surten. Això equival a dir que la càrrega que per unitat de temps entra per una part de la superfície ha de sortir per una altra part de la superfície. Aquesta propietat implica que en un conductor recorregut per un corrent estacionari la intensitat en les diverses seccions del conductor té el mateix valor. En efecte, si considereu dues seccions transversals del conductor S 1 i S 2 (Figura 4.5), la càrrega per unitat
de temps que travessa S 1 , o sigui I 1 , ha de ser igual a la càrrega per unitat de temps que travessa S 2 , o sigui I 2 , perquè en cas contrari variaria amb el temps la càrrega del conductor comprés entre les dues superfícies, la qual cosa no és possible en condicions estacionàries.
Una altra propietat important dels corrents estacionaris és que les seves línies de corrent són tancades. En efecte, si en un punt comencés o acabés una línia de corrent, en el punt hi hauria disminució o augment de càrrega i no es tindria una situació estacionària.
Figura 4.
Figura 4.
Capítol 4 Corrent elèctric (^5)
4.3 CORRENTS DE CONDUCCIÓ: LLEI D’OHM
A partir d’aquí es consideraran únicament corrents estacionaris de conducció. En ells el moviment de les càrregues és degut a un camp elèctric. Però, pot ser que en un conductor sotmès a un camp elèctric hi circuli un corrent estacionari? Si el camp actua contínuament sobre les càrregues lliures, les accelera, i si les càrregues augmenten la velocitat, augmenta la densitat de corrent i el corrent no serà doncs estacionari. Cal dir però que si es considera, per exemple el cas d’un metall, sense camp aplicat els electrons lliures es mouen aleatòriament a gran velocitat i la seva velocitat mitjana és nul·la. Quan s’aplica el camp, a aquest moviment aleatori se’n superposa un altre i els electrons lliures són inicialment accelerats, però degut a les col·lisions que experimenten amb els ions fixos perden energia i velocitat, i després d’un breu règim transitori, s’arriba a un règim permanent en el qual els electrons són arrossegats pel camp amb una velocitat mitjana constant anomenada velocitat d’arrossegament *, que dóna lloc doncs a una densitat de corrent també constant. L’efecte de les col·lisions resulta equivalent al d’una força de fricció que s’oposa a la força del camp elèctric. A més, l’energia cinètica que perden els electrons en les col·lisions es transforma en calor i el conductor s’escalfa. Els conductors recorreguts per corrents s’escalfen, és l’anomenat efecte Joule †. Si el corrent és degut al camp elèctric, es pot esperar que en cada punt del conductor hi hagi una relació entre el vector densitat de corrent i el camp. En molts medis materials conductors la relació és de proporcionalitat,
j γE
a on γ és una constant (amb relació a E) positiva que pot variar d’un punt a un altre del medi. Aquests medis és diu que són lineals o òhmics , i la relació anterior expressa l’anomenada llei d’Ohm‡^ en forma local. El paràmetre γ és la conductivitat del medi, i el seu invers és la
resistivitat del medi ρ = 1/γ. Tant γ com ρ són paràmetres característics del medi material i no depenen de la geometria del conductor. Quan s’aplica als extrems 1 i 2 d’un cable conductor d’un material òhmic una diferència de potencial V 1 -V 2 =V>0, circula pel cable un corrent d’1 a 2 d’intensitat I, i I és proporcional a V, I = G V. Habitualment en comptes de G es posa R = 1/G amb la qual cosa resulta I = V/R , V = R I sent tant G com R constants (amb relació a V i a I) característiques de la geometria del cable i del medi conductor. Les anteriors relacions expressen la llei d’Ohm en forma integral. R és la resistència del cable i G la seva conductància. La llei d’Ohm en forma integral és una conseqüència directa de la llei d’Ohm en forma local. Això és senzill de verificar en un cable rectilini de secció uniforme d’àrea S, de material
homogeni de conductivitat γ i recorregut per un corrent uniforme de densitatj
(Figura 4.6). Si
la longitud del cable és ℓ, la diferència de potencial V entre les seccions 1 i 2 serà
- (^) Velocitat de l’ordre de 10- (^4) m/s per a un corrent de 10 (^6) A/m (^2). La velocitat aleatòria és de l’ordre de 10 (^6) m/s. † (^) James Prescott Joule (1818-1889). ‡ (^) Georg Simon Ohm (1789-1854)
Capítol 4 Corrent elèctric (^7)
b) Associació en paral·lel
Considereu un conjunt de N resistències connectades en paral·lel (Figura 4.8). Si s’aplica una diferència de potencial entre A i B, la diferència de potencial en cada resistència és la mateixa, i la intensitat total és la suma de les intensitats de cada resistència, és a dir I I 1 ....Ii....IN. Aplicant la llei d’Ohm a cada resistència, és
N N A B i^1 i
A B i
A B 1
A B R
V V^1
R
.... V V
R
.... V V
R
I V V
El sistema de N resistències en paral·lel és doncs equivalent a una resistència R, sent
N i 1 Ri
R
La resistència equivalent és més petita que qualsevol de les resistències.
Exemple 4.1 Resistència equivalent a una xarxa de resistències La Figura 4.9 mostra una xarxa de resistències i com es determina la resistència equivalent entre els punts A i B a partir de considerar successivament la composició de resistències en sèrie i en paral·lel fins arribar a una única resistència.
Figura 4.
Figura 4.
Figura 4.
8
4.5 ENERGIA I POTÈNCIA D’UN CORRENT: EFECTE JOULE
En un conductor pel que circula un corrent estacionari d’intensitat I, considereu la part compresa entre dues seccions en les quals els potencials són V 1 i V 2 (V 1 >V 2 ). En un interval de temps dt una càrrega dQ = I dt travessa ambdues seccions. Vist globalment és com si simplement la càrrega dQ hagués anat des de la primera fins a la segona secció. El treball que realitza la força del camp elèctric durant el temps dt per fer circular el corrent entre les dues seccions equival doncs al que ha de fer per portar la càrrega dQ = Idt des de la primera secció fins a la segona, i per tant dW = (V 1 -V 2 ) dQ = (V 1 -V 2 ) I dt. Aquest treball correspon a la disminució de l’energia potencial de les càrregues al passar del potencial V 1 al potencial V 2. El treball es converteix en una altra forma d’energia i la potència donada pel corrent entre les dues seccions serà
(V V)I dt
P dW 1 2
Aquesta expressió té una validesa general, val fins i tot quan entre les dues seccions hi ha generadors o receptors. En particular, si entre les dues seccions del circuit només hi ha un simple conductor (sense generadors ni receptors), l’energia del corrent es transforma íntegrament en calor per efecte Joule. En aquest cas si la resistència entre les dues seccions del conductor és R, com que V 1 -V 2 =RI, la potència dissipada per efecte Joule és
R
P (V V)I RI^2 (V^1 V^2 )^2
J 1 2
^
4.6 GENERADORS: FORÇA ELECTROMOTRIU
Els conductors recorreguts per un corrent s’escalfen. Per mantenir un corrent estacionari dissipant contínuament energia cal que algú aporti l’energia necessària. Per altra banda, les
línies de corrent en un corrent estacionari són tancades. Llavors, com que j E
, les línies
del camp elèctric també són línies de corrent, i sent aquestes tancades també ho haurien de ser les del camp elèctric. Però les línies del camp electrostàtic són obertes, no tancades. El camp elèctric no pot ser doncs simplement un camp electrostàtic conservatiu. Com a conclusió, per mantenir un corrent estacionari en un conductor cal un generador. El generador transforma energia química, mecànica, tèrmica o solar en energia elèctrica i a més aporta un camp elèctric no conservatiu, l’anomenat camp electromotor. Un circuit elèctric bàsic està constituït per un generador amb dos extrems, o pols, units mitjançant un conductor (Figura 4.10). Les línies de corrent del conductor es tanquen a través
del generador. Dins del generador existeix el camp electromotor E'
, que és un camp elèctric no electrostàtic (no creat per càrregues estàtiques). Aquest camp mou els electrons lliures del generador i origina als pols distribucions de càrrega negativa (pol negatiu) i de càrrega
positiva (pol positiu). Aquestes distribucions creen un camp electrostàtic E
dins del generador de sentit oposat al camp electromotor, i originen el camp electrostàtic que dins del conductor fa moure els electrons del pol negatiu fins al pol positiu, constituint un corrent que,
10
La diferència de potencial entre els pols d’un generador en circuit obert coincideix doncs amb la f.e.m. del generador.
4.7 LLEI D’OHM A TRAVÉS D’UN GENERADOR I BALANÇ ENERGÈTIC
Quan un generador està en un circuit tancat i el corrent circula pel seu interior del pol negatiu al pol positiu, la diferència de potencial entre els pols no coincideix amb la f.e.m. del generador. La diferència de potencial entre els pols disminueix linealment quan augmenta la intensitat (Figura 4.11) i es pot escriure VP VN E - rI
sent E la f.e.m. del generador, I la intensitat del corrent i r una constant. Si E = 0,
I
r VN^ VP , per tant r és la resistència interna del generador. Llavors, V P-VN =^ E^ quan I = 0,
i també en un generador ideal amb resistència interna nul·la. El comportament d’un generador queda determinat per la seva f.e.m. E i la seva resistència r, i el circuit equivalent d’un generador real consisteix en un generador ideal de f.e.m. E i una resistència r connectats en sèrie (Figura 4.11).
Un cas particular és quan entre els pols del generador hi ha connectada una simple resistència R. Llavors la diferència de potencial VP VN E - rIha de ser també VP-VN = RI,
i igualant, RI = E – rI, la intensitat del corrent resulta
R r
I
E
Tornant al cas general, si a l’equació VP VN E - rIes multipliquen els dos membres
per Idt i es reordena, s’obté
E I dt(VP VN)IdtrI^2 dt
Aquesta igualtat expressa el balanç energètic: en un interval de temps dt, l’energia que desenvolupa el generador és igual a l’energia del corrent al circuit exterior al generador més l’energia dissipada a l’interior del generador per efecte Joule. El corrent que circula per l’interior del generador també pot anar del pol positiu al pol negatiu. Llavors la diferència de potencial entre els pols serà
Figura 4.
Capítol 4 Corrent elèctric (^11)
VP VN E rI
Aquest és, per exemple, el cas quan es carrega una bateria connectant els seus pols positiu i negatiu, als pols positiu i negatiu, respectivament, d’un generador de f.e.m. major que la de la bateria. Multiplicant els dos membres de l’anterior equació per Idt s’obté (V (^) P VN)Idt E IdtrI^2 dt
El balanç energètic és ara: en un interval de temps dt l’energia del corrent dins de la bateria (donada pel generador extern) s’inverteix en l’energia que emmagatzema la bateria més l’energia que es dissipa dins de la bateria per efecte Joule. En aquest cas la bateria actua com receptor d’energia*. Tenint en compte les anteriors expressions de la diferència de potencial entre els pols d’un generador, es pot escriure que la diferència de potencial V 1 -V 2 entre dos punts d’un circuit pel qual circula un corrent d’intensitat I, i que inclou un generador de f.e.m. E i una resistència total R (inclosa la del generador) és V 1 V 2 RI E
amb el següent criteri de signes: I>0 [I<0] si el sentit del corrent és de 1 a 2 [de 2 a 1], E > [ E <0] si a l’anar de 1 a 2 es passa del pol N al pol P [del pol P al pol N]. Aquesta expressió constitueix l’anomenada llei d’Ohm generalitzada.
Exemple 4.2 Associació de generadors
(a) Associació en sèrie Si n generadors de f.e.m.’s E i i resistències internes ri (i=1,2,...,n) es connecten en sèrie unint el pol positiu d’un amb el pol negatiu del següent, i l’associació dels generadors es connecta a una resistència R (Figura 4.12), circularà un corrent d’intensitat I_. Com que al llarg de tot el circuit la suma de les diferències de potencial corresponents a cada element és nul·la, serà_
n i 1 i
n i i 1 i
n i 1 i^
( rI E ) RI 0 , I(R r) E
Aquesta expressió és similar a la que correspon a la intensitat I que circula per un generador de f.e.m. E i resistència interna r connectat a una resistència R_. En aquest cas_ I(R r) E Per tant, comparant les dues expressions, atès que la resistència R pot tenir qualsevol valor, es conclou que l’associació dels n generadors en sèrie és equivalent a un únic generador de f.e.m. E i resistència interna r donades per
n i 1 i
n i 1 i^
E E , r r
- (^) També són receptors els motors. Als receptors el camp electromotor té sentit contrari al del corrent i és anomenat camp contraelectromotor. La corresponent força electromotriu s’anomena força contraelectromotriu.
Capítol 4 Corrent elèctric (^13)
Comparant les dues expressions es veu que la connexió en sèrie és adient quan R>r 1 , i la connexió en paral·lel ho és quan R<r 1_. Habitualment les resistències de les piles i bateries són més petites que les resistències dels circuits que alimenten, i per tant es connecten en sèrie obtenint f.e.m.’s superiors a les d’una sola unitat. Per exemple, amb tres piles de 1,5 V es forma una pila de 4,5 V i amb 6 bateries de 2 V es forma una bateria de 12 V._
4.8 ANÀLISI DE CIRCUITS: REGLES DE KIRCHHOFF
Una xarxa és un sistema de conductors formats per resistències i generadors que formen camins conductors tancats. Un nus és un punt de la xarxa en el qual concorren tres o més conductors. El conductor que uneix dos nusos és una branca. Un camí conductor tancat format per branques s’anomena malla. La Figura 4.13 presenta un circuit senzill format per tres branques. S’hi identifiquen dos nusos (els punts A i B) i tres malles (els camins BCAB, BADB i BCADB). Les anomenades regles de Kirchhoff *^ es refereixen una als nusos i una a les malles.
Regla dels nusos: En un nus la suma de les intensitats dels corrents de les branques que hi concorren és zero, considerant amb un signe les dels corrents que hi entren i amb el signe contrari les dels corrents que hi surten.
I 0
N i 1
i
És una conseqüència directa del principi de conservació de la càrrega elèctrica. Regla de les malles: En una malla la suma de les caigudes de potencial a les resistències és igual a la suma de las forces electromotrius dels generadors, considerant el criteri de signes adient per a les intensitats i les forces electromotrius.
N i i 1 i
N i 1 i^
R I E
- (^) Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887).
Figura 4.
14
És una conseqüència de l’aplicació de la llei d’Ohm generalitzada al circuit tancat de la malla. En efecte, per exemple, en una malla ABCA de tres branques AB, BC i CA amb resistències R 1 , R 2 i R 3 , i forces electromotrius E 1 , E 2 i E 3 , per les quals circulen corrents d’intensitats I 1 , I 2 i I 3 , serà: VA-VB= R 1 I 1 - E 1 VB-VC= R 2 I 2 - E 2 VC-VA= R 3 I 3 - E 3 , i sumant membre a membre les tres equacions resulta
3 i 1 i i
3 i 1
0 Ri I E , que es pot generalitzar al cas d’una malla amb N branques.
Quant al criteri de signes, si en una malla es pren arbitràriament un sentit de circulació, la intensitat d’un corrent és positiva si el corrent té el sentit de circulació, i és negativa si té el sentit oposat. A més, la força electromotriu d’un generador és positiva si seguint el sentit de circulació de la malla es va del pol negatiu al pol positiu, o equivalentment si, sense haver-hi cap altre generador, establiria un corrent a la malla amb el sentit de circulació de la malla. És negativa en el cas contrari. Les regles de Kirchhoff s’utilitzen per resoldre el problema que habitualment es planteja en una xarxa: conegudes les resistències i les forces electromotrius de la xarxa, determinar les intensitats que circulen per les branques de la xarxa. En el cas d’una xarxa de N branques, les incògnites són les N intensitats de les branques i caldrà aplicar les regles de Kirchhoff per escriure un sistema de N equacions linealment independents, la resolució del qual donarà les intensitats. Per aplicar les regles de Kirchhoff cal conèixer els signes de les intensitats determinats pels sentits dels corrents que són desconeguts. Això no és un problema perquè els sentits es fixen arbitràriament, i al final si la intensitat obtinguda és positiva el sentit atribuït al corrent és correcte, i si és negativa el sentit és l’oposat.
Exemple 4.3 Aplicació de les regles de Kirchhoff
En el cas de la xarxa de la Figura 4.13, prenent els sentits dels corrents que s’hi indiquen, les regles de Kirchhoff permeten escriure:
- Nus B: I 1 + I 2 + I 3 = 0
- Malla BCAB (prenent el sentit horari de circulació): − R 1 I 1 + R 2 I 2 = E 1
- Malla BADB (prenent el sentit horari de circulació): − R 2 I 2 + R 3 I 3 = − E 3 L’equació corresponent al nus A és idèntica a la del nus B, i l’equació de la malla BCADB és igual a la suma membre a membre de les equacions establertes per a les altres dues malles. La resolució del sistema de les tres equacions permet trobar les tres intensitats. Abans de posar valors numèrics a les magnituds, penseu que en aquest circuit serà sempre I 1 <0 i I 3 <0? Poseu, per exemple, R 1 =R 2 =R 3 =1 Ω, E 1 =12 V i E 3 =3 V, resoleu el sistema i tindreu la resposta.
