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ESTADÍSTICA I
TEMA 3. NÚMEROS ÍNDICES
3.1. INTRODUCCIÓN.
3.2. NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES Y COMPLEJOS.
3.3. IPC, INFLACIÓN Y DEFLACIÓN DE VALORES MONETARIOS.
3.4. TASAS DE VARIACIÓN.
3.1. INTRODUCCIÓN.
Usualmente la información relativa a las variables económicas está referida a un periodo temporal (mes, trimestre, año,..). La observación a lo largo del tiempo de esas variables económicas genera una colección de datos que se denomina serie temporal. Por ello, una serie temporal se define como una sucesión de valores correspondientes a una variable ordenados según el parámetro tiempo. Los ejemplos de estadísticas expresadas como series temporales en el ámbito de la economía y de la empresa son numerosos, algunos de ellos aparecen en los siguientes gráficos:
4,
6,
8,
10,
12,
14,
16,
18,
1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 Fuente: INE.
Gráfico 1. Número de Sociedades Mercantiles Constituidas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Fuente: INE.
Gráfico 2. Estancia media en alojamientos rurales en la provincia de Málaga (número de días)
600,
700,
800,
900,
1,000,
1,100,
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
Fuente: INE.
Gráfico 3. PIB a precios de mercado (millones de euros)
Bajo un enfoque clásico de series temporales, la evolución de una variable económica Yt puede ser explicada por las variaciones de las siguientes componentes: tendencia (Tt), ciclo (Ct), estacionalidad (Et) y componente irregular (It). Esto conlleva a que la variable Yt se pueda expresar como una función de esas componentes: Yt = f ( T (^) t , Ct , Et , It )
Cada una de las componentes anteriores ejerce una influencia sobre la variable Yt que modulan sus movimientos en el corto y en el largo plazo. Una breve descripción de cada una ellas es la siguiente:
- Tendencia: Refleja los movimientos a largo plazo de la variable originados, por ejemplo, por cambios tecnológicos, institucionales, sociales, demográficos...
- Ciclo: Muestra las fluctuaciones correspondiente al medio plazo, asociadas con el ciclo económico.
- Estacionalidad: Representa las variaciones en el corto plazo, con una periodicidad inferior al año generadas, por ejemplo, por factores climáticos, tipo de estructura productiva o festividades.
- Componente irregular: Se corresponde con los cambios en el muy corto plazo que quedan fuera del control del analista, por ejemplo, una huelga.
A través del uso de técnicas estadísticas, que no se corresponden con el contenido de este tema, es posible descomponer el comportamiento de una variable Yt en función de las componentes anteriores. A modo de ilustración, el gráfico 4 muestra la descomposición de la serie número de hipotecas inmobiliarias constituidas en España.
Gráfico 4. Descomposición del número de hipotecas inmobiliarias constituidas
0
40,
80,
120,
160,
200,
2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035
Núm ero de hipotecas inm obiliarias cons tituidas
0
40,
80,
120,
160,
2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035
TENDENCIA
-15,
-10,
-5,
0
5,
10,
15,
2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035
CICLO
-30,
-20,
-10,
0
10,
20,
2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035
ESTACIONALIDAD
-20,
-10,
0
10,
20,
30,
2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035
IRREGULAR
Fuente: Elaboración propia a partir de datos del INE.
El valor de la variable en el periodo base, Y 0 , debe ser un valor considerado normal para la variable, es decir, uno en el que la variable no haya experimentado un alza o baja importante, imprevista e irrepetible; por ejemplo, si la serie representa la cantidad en kilos de cosecha de trigo no conviene poner como base un año en que hubo unas fuertes inundaciones.
En algunas ocasiones, se hace un cambio de base con el objetivo de observar más claramente la evolución de la variable respecto a un periodo distinto al que anteriormente se había considerado como referencia. Basta simplemente con hacer igual a 100 la cifra correspondiente al tiempo que se desee tomar como nueva base y transformar proporcionalmente la serie.
Algunos índices simples frecuentes son: los índices de precios, de cantidades y de valor para un único bien. Su forma de cálculo y definiciones son las siguientes:
a) Indice simple de precio: *^100
0
0 P
P
IP t^ = t
Compara el precio de un bien en el periodo t, Pt^ , con el precio en el periodo tomado como
base o referencia P 0^.
b) Indice simple de cantidad: *^100 0
0 Q
Q
IQ t^ = t.
Compara la cantidad de un bien en el periodo t, Qt^ , con la cantidad en el periodo tomado
como base o referencia Q 0^.
c) Índice simple de valor: 100
0 0
0
t t
o
t t t t IP IQ PQ
PQ
V
V
IV = = =
Compara el valor de un bien en el periodo t, Vt, con el valor en el periodo tomado como base o referencia, V 0.
Índices en cadena
Los índices en cadena son índices donde el periodo base es cambiante, de forma que las comparaciones son siempre de un valor respecto al que le precede en el tiempo. El índice en cadena
para el periodo t, denominado IC^ t es el resultado de dividir el valor de la variable en el periodo t
entre el valor en el periodo anterior, t-1, y multiplicar por 100:
− 1
t
t t (^) Y
Y
IC
El índice en cadena puede calcularse en función de índices simples:
0
0
0
1
0 − 1 − −
= = = t
t
t
t
t
t t I
I
Y
Y
Y
Y
Y
Y
IC
Ejemplo: Los salarios (en miles de euros) pagados por una empresa mensualmente a sus empleados durante los últimos años han sido los de la tabla adjunta:
Años Salarios 2006 987 2007 1. 2008 1. 2009 1. 2010 1.
a) ¿Cuál ha sido el incremento de los salarios cada año respecto al año 2006?
Años Salarios
Indice simple I t 0
2006 2006
I = ⋅ = 20062007
I = ⋅ = 20062008
I = ⋅ =
2009 2006
I = ⋅ = 20062010
I = ⋅ =
b) ¿Cuál ha sido el incremento de los salarios en el periodo 2007-2009?
Años Salarios I (^) 0 t ∆
2007 1.139 100 - 2009 1.476 129,59 29,59%
2007 2007
I = ⋅ =
2009 2007
I = ⋅ =
c) ¿Cuáles han sido los incrementos interanuales de los salarios en el periodo considerado?
Años Salarios
Indice en cadena IC t ∆ 2006 987 - - 2007 1.139 (^) 115,40 15,40% 2008 1.313 (^) 115,28 15,28% 2009 1.476 (^) 112,41 12,41% 2010 1.622 (^) 109,89 9,89%
2007 2006
IC = ⋅ = 20072008
IC = ⋅ =
2009 2008
IC = ⋅ = 20092010
IC = ⋅ =
En este índice, el inconveniente principal es que no usa ponderaciones. Sin embargo, ahora se soluciona el problema de las unidades de medida.
Ejemplo:
Conocidos los precios y cantidades de los artículos de consumo A, B y C correspondientes a los años 2007 a 2009:
Años
A B C
Precio Cantidad Precio Cantidad Precio Cantidad 2007 4 15 6 12 10 12 2008 4 16 9 10 11 15 2009 5 18 9 6 12 16
a) Calcule las series de índices simples de precios y de cantidades tomando como base 2007.
Años Precios^ Cantidades A B C A B C 2007 100 100 100 100 100 100 2008 100 150 110 106,67 83,33 125 2009 125 150 120 120 50 133,
b) Calcule dos índices complejos no ponderados de precios utilizando 2007 como base.
Años Media aritmética Media agregativa 2007 2008 2009
- Media aritmética simple de índices simples:
N
Y
Y
N
I i I
N
i io
N it
i
t t
∑ ∑ = =
= ⋅ =^1
,
, 1
0 0
() 100
3
1
2007 2007 2007 2007 =
∑ i =
I i I (^) 120 3
100 150 110 3
( )
3
1
2008 2007 2008 2007 =
= =
∑ i =
I i I
131 , 67 3
125 150 120 3
( )
3
1
2009 2007 2009 2007 = =^ ∑ i = = + +
I i I
100 100
1
, 0
1
,
1
, 0
1
,
0 = ⋅ = ⋅ ∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
N
i
i
N
i
it N
i
i
N
i
it
t Y
Y
N
Y
N
Y
I
100 100 4 6 10
100 4 6 10 3
1
, 2007
3
1
, 2007 2007 (^2007) + + ⋅ = = ⋅ = + + ∑
∑
=
=
i
i
i
i
p
p I^100120 4 6 10
100 4 9 11 3
1
, 2007
3
1
, 2008 2008 (^2007) + + ⋅ = = ⋅ = + + ∑
∑
=
=
i
i
i
i
p
p I
100 130 4 6 10
100 5 9 12 3
1
, 2007
3
1
, 2009 2009 (^2007) + + ⋅ = = ⋅ = + + ∑
∑
=
=
i
i
i
i
p
p I
Índices complejos ponderados
En los índices complejos ponderados, a cada variable se le asigna una ponderación o peso. Existen también dos métodos de cálculo:
1.- Índices por el método de la media agregativa ponderada****.
El índice para el momento t consiste en la comparación de la media aritmética ponderada de los valores de las distintas variables en el momento t con la media aritmética ponderada de valores de las distintas variables en el momento tomado como base:
100 100
1
, 0
1
,
1
1
, 0
1
1
,
0 = ⋅ = ⋅ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
N
i
i i
N
i
it i
N
i
i
N
i
i i
N
i
i
N
i
it i
t
Y w
Y w
w
Y w
w
Y w
I
Donde: N = número de variables (series temporales) distintas integradas en el índice complejo.
Yi (^) , t = valor de la variable i en el periodo t.
Yi , 0 = valor de la variable i en el periodo base, 0.
w i = valor de las ponderaciones de cada variable i.
2.- Índices por el método de la media aritmética ponderada.
Se realiza la media aritmética ponderada de los índices simples de cada serie, debiendo de estar todos los índices referidos a la misma base:
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
= ⋅ = N
i
i
N
i
i io
it
N
i
i
N
i
i
t t
w
w Y
Y
w
I i w I
1
1 ,
,
1
1
0 0
()^100
2.-Indice de precios de Paasche:
1
, 0 ,
1
, , 0 , = ⋅
=
= N
i
i it
N
i
it it t P P Q
P Q
P
Ahora las ponderaciones son Qi (^) , t , es decir, las cantidades del bien i consumidas en el
periodo t.
3.-Indice de precios de Fisher
El índice de precios de Fisher es la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche:
P
t L
t F o P t^ P P 0 , = , ⋅ 0 ,
Indices de cantidades complejos ponderados :
Son índices utilizados para estudiar la evolución de la cantidad (producida, consumida, exportada…) de un conjunto de N bienes en el tiempo (del periodo de referencia al periodo t). De igual forma que para los índices de precios complejos ponderados, se definen los índices de cantidades de Laspeyres, de Paasche y de Fisher.
1.-Indice de cantidades de Laspeyres :
1
, 0 , 0
1
, 0 , 0 , = ⋅
=
= N
i
i i
N
i
i it
L
t
P Q
P Q
Q (^) , las ponderaciones son los precios del periodo 0, Pi (^) , 0.
2.-Índice de cantidades de Paasche:
1
, , 0
1
, ,
=
= N
i
it i
N
i
it it
P
t
P Q
P Q
Q , las ponderaciones son los precios del periodo t,
Pit (^).
3.- Índice de cantidades de Fisher :
El índice de cantidades de Fisher es la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche:
P
t L
t F Q t^ Q Q 0 = 0 , ⋅ 0 ,
Por último, si lo que se desea es analizar la evolución del valor de un conjunto de N bienes, se utiliza un índice complejo de valor que toma la siguiente forma:
0 1
0
1 0 i
N
i
i
N
i
it it t
P Q
PQ
V
∑
∑
=
Una combinación adecuada de los índices de precios y cantidades de Laspeyres y Paasche da como resultado un índice de valor:
V = PL^ × Q^ P
y también 100
V = PP^ × Q^ L
Con los índices de precios y cantidades de Fisher se verifica:
V V
P Q P P Q Q P Q P Q
V F^ F L P L P L P P L = =
⋅ × ⋅
×
Ejemplo:
Continuando con el ejemplo anterior:
Años
A B C
Precio Cantidad Precio Cantidad Precio Cantidad 2007 4 15 6 12 10 12 2008 4 16 9 10 11 15 2009 5 18 9 6 12 16
a) Calcule los índices de precios y de cantidades de Laspeyres, Paasche y Fisher tomando como base
- Observe la diferencia en los valores al ser métodos distintos. Observe que Fisher es un promedio de los anteriores.
Años Precios^ Cantidades Laspeyres Paasche Fisher Laspeyres Paasche Fisher 2007 100 100 100 100 100 100 2008 119,05 116,42 117,73 108,73 106,33 107, 2009 129,76 125,37 127,55 106,35 102,75 104,
- Cálculo de los índices de precios de Laspeyres:
100
1
, 0 , 0
1
, , 0 = ⋅ ∑
∑
=
= N
i
i i
N
i
it i L P Q
P Q P
PF^20082007 = PL^20082007 ⋅ PP^20082007 = 119 , 05 ⋅ 116 , 42 = 117 , 73
PF^20092007 = PL^20092007 ⋅ PP^20092007 = 129 , 76 ⋅ 125 , 37 = 127 , 55
- Cálculo de los índices de cantidades de Laspeyres:
100
1
, 0 , 0
1
, 0 , = ⋅
∑
∑
=
= N
i
i i
N
i
i it L P Q
P Q Q
1
, 2007 , 2007
3
1
, 2007 , 2007 2007 (^2007) ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑
∑
=
=
i
i i
i
i i L p q
p q Q
1
, 2007 , 2007
3
1
, 2007 , 2008 2008 (^2007) ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑
∑
=
=
i
i i
i
i i L p q
p q Q
1
, 2007 , 2007
3
1
, 2007 , 2009 2009 (^2007) ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑
∑
=
=
i
i i
i
i i L p q
p q Q
- Cálculo de los índices de cantidades de Paasche:
100
1
, , 0
1
, , = ⋅
∑
∑
=
= N
i
it i
N
i
it it P P Q
PQ Q
1
, 2007 , 2007
3
1
, 2007 , 2007 2007 (^2007) ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑
∑
=
=
i
i i
i
i i P p q
p q Q
1
, 2008 , 2007
3
1
, 2008 , 2008 2008 (^2007) ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑
∑
=
=
i
i i
i
i i P p q
p q Q
1
, 2009 , 2007
3
1
, 2009 , 2009 2009 (^2007) ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑
∑
=
=
i
i i
i
i i P p q
p q Q
- Cálculo de los índices de cantidades de Fisher:
QF = QL ⋅ Q P
QF^20072007 = QL^20072007 ⋅ QP^20072007 = 100 ⋅ 100 = 100
QF^20082007 = QL^20082007 ⋅ QP^20082007 = 108 , 73 ⋅ 106 , 33 = 107 , 53
QF^20092007 = QL^20092007 ⋅ QP^20092007 = 106 , 35 ⋅ 102 , 75 = 104 , 54
b) Calcule los índices de valor tomando como base 2007.
Años Índice de valor 2007 2008 2009
100 0 1
0
1
i
N
i
i
N
i
it it
P Q
PQ V
∑
∑
=
= =
2007 1
2007
1
2007 2007 2007 (^2007) ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑
∑
=
=
i
N
i
i
N
i
i i
p q
p q V
2007 1
2007
1
2008 2008 2008 (^2007) ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑
∑
=
=
i
N
i
i
N
i
i i
p q
p q V
2007 1
2007
1
2009 2009 2009 (^2007) ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
∑
∑
=
=
i
N
i
i
N
i
i i
p q
p q V
Estas tres tasas proporcionan las variaciones de precios (inflación) comparando el dato del IPC de noviembre del 2013 con diferentes periodos temporales.
En primer lugar, la tasa de inflación mensual registra la variación de precios en un mes, con respecto al mes anterior, y se calcula como:
1
0 1 0
t t t (^) t
IPC
Tasa Inflación − (^) IPC −
A partir de la expresión anterior se comprueba que se trata de un índice en cadena. En el ejemplo, tenemos:
, 2013 1100 0 ,^2 % 0
, 2013 , (^20130) , (^2013) =
= (^) octubre −
noviembre noviembre octubre IPC
IPC TasaInflación
Es decir, en noviembre del 2013 los precios crecieron un 0,2% con respecto a octubre del
En segundo lugar, la tasa de inflación acumulada es la variación de precios en un mes con respecto a enero del mismo año y se obtiene de la siguiente forma:
,^1100
0
, , 0
= eneroaño −
taño taño enero año
IPC
IPC
TasaInflación
En el ejemplo:
, 2013 1100 0
, 2013 , 2013 0 , (^2013)
= (^) enero −
noviembre noviembre enero (^) IPC
IPC Tasa Inflación =0,2%
En lo que va de año, desde enero a noviembre del 2013, los precios han registrado un crecimiento del 2%. Obviamente, como la tasa de inflación mensual de noviembre también es del 0,2%, esto implica que ha habido meses donde los precios han caído, a este fenómeno se le denomina deflación.
Por último, la tasa de variación interanual es la variación de los precios en un mes con respecto al mismo mes del año anterior:
0
0
− =^ t − −
t t t
IPC
IPC
TasaInflación
En el ejemplo:
, 2012 1100 0
, 2013 , 2013 0 , (^2012)
= (^) noviembre −
noviembre noviembre noviembre (^) IPC
IPC Tasa Inflación =0,2%
Lo que indica que desde noviembre del 2013 hasta noviembre del 2012, los precios han registrado un incremento del 0,2%.
Deflación de valores monetarios
La operación de deflación de series monetarias consiste en eliminar el efecto que los cambios en los precios de los bienes (la inflación) tiene sobre las series de valores. Cuando queremos conocer la evolución de una serie de valores a lo largo del tiempo (como por ejemplo una serie de salarios) lo habitual es que aparezcan expresados en unidades monetarias de cada periodo, es decir, en unidades monetarias corrientes. Esto implica que los valores no son directamente comparables puesto que el efecto de la inflación (o deflación) modifica la capacidad de compra del dinero, lo que se conoce como poder adquisitivo. Por este motivo, se trata de de obtener una serie en la que se elimine el efecto de la inflación, a este proceso se le denomina deflación de valores monetarios y su finalidad es la obtención de una serie de valores expresados en las unidades monetarias de un solo periodo, es decir, en unidades monetarias constantes. El resultado final del proceso de deflación será una serie de valores expresados en términos reales y con un poder adquisitivo constante.
Para obtener una serie de valores monetarios (salarios, rentas de alquileres, prestaciones…) en términos reales hay que dividirla por el IPC y multiplicarla por 100. La nueva serie vendrá dada en unidades (por ejemplo euros) del periodo base del IPC. Si se quiere que la serie esté expresadas en unidades monetarias de un periodo diferente al correspondiente a la base del IPC, es necesario realizar el oportuno cambio de base del IPC a ese periodo antes de realizar la operación de deflación.
Ejemplo: Los salarios (en miles de euros) que una empresa ha pagado mensualmente a sus empleados durante los últimos años aparecen en la tabla adjunta, donde también está el IPC correspondiente a esos años:
Años Salarios I.P.C. (2000 = 100) 2002 987 125 2003 1.139 128 2004 1.313 130 2005 1.476 133 2006 1.622 139
a) ¿Cuál ha sido el incremento porcentual de los salarios corrientes en el periodo 2003-2006?
Años Salarios Índice Simple Incremento 2003 1.139 100 2006 1.622 142,41 42,41%
2003 2003
1.139 (^100 )
I = ⋅ = 20032006 1.622^100 142, 41
I = ⋅ =
b) ¿Cuál ha sido el incremento porcentual de los salarios, en euros constantes del año 2002, en el periodo 2003-2006?
Primero hay que poner el I.P.C., en la misma base que nos piden los euros constantes, es decir, en euros del 2002:
Años Salarios (^) (2000 = 100)I.P.C. (2002 = 100)I.P.C. 2002 987 125 100, 2003 1.139 (^128) 102, 2004 1.313 130 104, 2005 1.476 133 106, 2006 1.622 139 111,
Tasas de variación más utilizadas
Para introducir a continuación las tasas de variación más utilizadas, es necesario previamente formular la nomenclatura que se utilizan para expresarlas. Esa nomenclatura es la siguiente:
n Th (^) , t
Donde: t: es el periodo al que corresponde el valor final. h: es la amplitud temporal que media entre los valores comparados. n: es el número de observaciones que se usan (tanto en el numerador como en el denominador) para obtener la tasa.
Haciendo uso de la nomenclatura anterior, se pueden definir las siguientes tasas:
a) Tasa de variación en series de periodicidad anual:
a.1) Tasa de variación interanual:
100 1
(^11) 1 , ⋅
−
−
−
t
t t t Y
Y Y T
a.2) Tasa de variación entre h años:
(^1) , ⋅ 100 − = −
−
t h
t t h h t Y
Y Y T
Ejemplo:
Los salarios (en miles de euros) que una empresa ha pagado mensualmente a sus empleados durante los últimos años han sido los de la tabla adjunta:
Años Salarios 2006 987 2007 1. 2008 1. 2009 1. 2010 1.
a) ¿Cuál ha sido el incremento de los salarios, en euros corrientes, cada año respecto al año 2006?
Años Salarios TV 2006 t
1 100 15 , 40 % 987
1 1.^139 1 , 2007 ⋅ =
T =^ − 1 100 33 , 03 % 987
1 1.^313 2 , 2008 ⋅ =
T =^ −
1 100 49 , 54 % 987
1 1.^476 3 , 2009 ⋅ =
T =^ − 1 100 64 , 34 % 987
1 1.^622 4 , 2010 ⋅ =
T =^ −
b) ¿Cuál ha sido el incremento de los salarios, en euros corrientes, en el periodo 2007-2009?
Años Salarios TV 2007 t
1 100 29 , 59 %
- 139
1 1.^476 2 , 2009 ⋅ =
T =^ −
c) ¿Cuales han sido los incrementos interanuales de los salarios, en euros corrientes, en el periodo considerado?
Años Salarios T 11 , t 2006 987 - 2007 1.139 15,40% 2008 1.313 15,28% 2009 1.476 12,41% 2010 1.622 9,89%
1 100 15 , 40 % 987
1 1.^139 1 , 2007 ⋅ =
T =^ −
1 100 15 , 28 %
139
313 2008
1 1 , ⋅ =
T ^ −
1 100 12 , 41 %
- 313
1 1.^476 1 , 2009 ⋅ =
T =^ −
1 100 9 , 89 %
- 476
,^1.^622 2010
1 1 ⋅ =
T =^ −
b) Tasas de variación en series de periodicidad inferior a la anual:
b.1) Tasa interanual:
Si los datos son mensuales la tasa de interanual es una :
1 T 12 , t
(^1 ) 12 , −
= − − t
t t t Y
Y Y T
Si los datos son trimestrales la tasa de interanual es una :
1 T 4 , t
(^14) 4 , −
= − − t
t t t Y
Y Y T
