TEMA 3 LA DISTRIBUCIÓ NORMAL, Apuntes de Biología

¡Descarga TEMA 3 LA DISTRIBUCIÓ NORMAL y más Apuntes en PDF de Biología solo en Docsity!

TEMA 3

LA DISTRIBUCIÓ NORMAL

3.1 Corbes normals

3.2 Càlcul d’àrees sota una corba normal

3.3 Correcció per continuïtat

EXEMPLE 4.2. GRUIX DE LA CLOSCA DE L’OU

En la producció comercial d’ous, el trencament és un dels problemes més preocupants. El gruix de la closca constitueix, doncs, una variable important. En un estudi, es van observar els gruixos de la closca dels ous produïts per una gran quantitat de gallines White Leghorn i s’hi va apreciar aproximadament una distribució normal, amb mitjana μ = 0,38 mm i desviació típica σ = 0,03 mm. La corba normal és aquesta:

EXEMPLE 4.3. TEMPS «ENTRE PICS» EN CÈL·LULES NERVIOSES

En certes cèl·lules nervioses, les descàrregues elèctriques espontànies són tan repetitives que s’anomenen «pics de rellotge». En un estudi es van observar els intervals de temps (en mil·lisegons) entre pics per a una mosca domèstica i s’hi va apreciar aproximadament una distribució normal, amb mitjana μ = 15,6 ms i desviació típica σ = 0,4 ms. La corba normal és aquesta:

EXEMPLE 4.4. ERROR DE MESURAMENT

Quan es fa servir un aparell electrònic per a comptar partícules, com els glòbuls blancs, la distribució de l’error de mesurament és aproximadament normal. La desviació típica de recomptes repetits de glòbuls blancs del mateix espècimen és de l’1,4% del recompte vertader. Així, si el recompte vertader fóra de 7. glòbuls blancs per mm^3 , la desviació típica seria d’uns 100 glòbuls blancs per mm^3 , i la distribució de recomptes repetits en aquest espècimen seria la que presenta la figura.

Nombre de glòbuls blancs

3.2 CÀLCUL D’ÀREES SOTA UNA CORBA NORMAL

Per a calcular probabilitats d’una normal utilitzarem la taula de la normal que ens proporciona els valors de la funció de distribució de la normal tipificada:

P(Z ≤ z) = F(z)

P(Z ≤ -0,2) = F(-0,2) = 0,

EXEMPLE 4.5. LONGITUDS DE PEIXOS

Considerem una població d’arengs Pomolobus aestivalis , en què la longitud individual de cada peix segueix una distribució normal amb una mitjana de 54, mm i una desviació típica de 4,5 mm. Utilitzant la taula de la normal, es poden contestar les preguntes següents.

(a) Quin percentatge de peixos fan entre 54 i 60 mm?

y = 54 ⇒ z = 0 y = 60 ⇒ z = 1, P(54 ≤ Y ≤ 60) = P(0 ≤ Z ≤ 1,33) = F(1,33) − F(0) = = 0,9082 − 0,5 = 0, El 40,82 dels peixos fan entre 54 i 60 mm.

z

(b) Quin percentatge de peixos fan més de 48 mm?

y = 48 ⇒ z = −1,

P(Y ≥ 48) = P(Z ≥ −1,33) = 1 − P(Z ≤ −1,33) = 1 − F(−1,33) =

El 90,82 dels peixos fan més de 48 mm.

(c) Quin percentatge de peixos fan entre 50 i 60 mm?

y = 50 ⇒ z = −0,

y = 60 ⇒ z = 1,

P(50 ≤ Y ≤ 60) = P(−0,89 ≤ Z ≤ 1,33) = F(1,33) − F(−0,89) =

= 0,9082 − 0,1867 = 0, El 72,15 dels peixos fan entre 50 i 60 mm.

EXEMPLE 4.6. LONGITUDS DE PEIXOS

Suposem que volem trobar el percentil 70 de la distribució de les longituds dels peixos. Si anomenem y* el percentil 70, y* és el valor tal que el 70 de les longituds dels peixos són més petites que y* i el 30% són més grans.

Per trobar aquest valor, determinem el percentil 70 en l’escala de Z. Buscant en la taula de la normal una àrea 0,7, trobem que el valor més pròxim és una àrea de 0,6985, que correspon a z = 0,52.

Per convertir-lo a escala Y n’hi ha prou d’aïllar el valor de y* en la fórmula d’estandardització:

0,52 = 4 , 5

y * − 54

y* = 0,52 ⋅ 4,5 + 54 = 56,3 mm.

3.3 CORRECCIÓ PER CONTINUÏTAT

EXEMPLE 4.7. GRANDÀRIA DE LES VENTRADES

La taula següent mostra la distribució de la grandària de les ventrades (definida com el nombre de cries vives en la primera ventrada) d’una població de ratolins femelles.

Grandària ventrada

Freqüència en % Grandària ventrada

Freqüència en %

Taula 4.7. Grandària de ventrades.

Tamaño de las camadas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Histograma

Frecuencia en porcentaje