Distribució Normal, Apuntes de Administración de Empresas

¡Descarga Distribució Normal y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!

DISTRIBUCIÓ NORMAL

Corba de densitat  Propietats La distribució Normal  Propietats  Normal estandarditzada  Càlculs amb la Normal

Moore, pag. 51-

Corbes de densitat i histogrames

Quan explorem la distribució d’una variable quantitativa  Comencem amb un gràfic (histograma o tronc-i-fulles).  Identifiquem l’aspecte general de la distribució (centre, dispersió, forma) i les observacions atípiques.  Triem un resum numèric per a descriure de forma breu el centre i la dispersió de la distribució.

Podem afegir un nou element :

 De vegades la forma de la distribució d’un gran nombre d’observacions és tant regular que la podem descriure mitjançant una corba llisa.

Corbes de densitat i histogrames

 La corba dibuixada és una bona descripció de l’aspecte general de les dades

 Una corba de densitat és un model matemàtic de la distribució de les dades, és a dir una aproximació idealitzada.  Ignora les petites irregularitats.  Ignora els valors atípics.  És una descripció compacta de les dades.

Corbes de densitat i histogrames

 La forma concreta de l’histograma depèn de com triem les classes; la de la corba de densitat, no.

Corba de densitat: propietats

Corba de densitat: Quina és la proporció d’estudiants amb notes inferiors a un 4?  Ajustem l’escala (verti- cal) de manera que l’àrea total per sota de la corba fos igual a 1.  Busquem l’àrea com- presa entre 0 i 4 per sota de la corba.  Es pot comprovar que és aproximadament igual al 20%

Corbes de densitat: Propietats

Mitjana Mediana

 Mitjana i mediana coincideixen en una distribució simètrica. En una asimètrica, la mitjana s’aparta de la mediana en la direcció de la cua més llarga.

 La mediana és el punt que divideix l’àrea per sota de la corba en dues meitats iguals (50%).

Mitjana

La cua llarga desplaça la mitjana cap a la dreta

Mediana

MESURES DE CENTRE

La distribució Normal

 Les corbes de densitat Normals són una classe especial de corbes de densitat. Entre les seves propietats veiem que són:  Simètriques  Unimodals (un sol “pic”)  Tenen forma de campana i  Es descriuen donant simplement la mitjana μ i la desviació estàndard σ.

La distribució Normal

 Les distribucions Normals són molt importants en estadística  Descriuen bé molts conjunts de dades reals (però no tots).  Aproximen bé els resultats de molts processos aleatoris.  Molts procediments d’inferència estadística estan basats en les propietats de la distribució Normal.

μ

Punt d’inflexió

μ+ σ

La distribució Normal: Propietats

μ

Punt d’inflexió

μ + σ

La distribució Normal: Propietats

 En una distribució Normal de mitjana μ i desviació típica σ (notació N( μ , σ ) ) es compleix que:

 El 68% de les observacions es troben entre μ – σ i μ + σ  El 95% de les observacions es troben entre μ – 2 σ i μ + 2 σ  El 99,7% de les observacions es troben entre μ – 3 σ i μ + 3 σ

LA REGLA DEL 68-95-99,

La distribució Normal estandarditzada

 Imaginem que volem comparar l’expedient acadèmic de dos estudiants que provenen d’escoles amb sistemes de qualificació diferents. Per exemple:

 Estudiant A: té una nota de 8 (a la seva classe la mitjana és 5 i la desviació estàndard 1,5).  Estudiant B: té una nota de 76 (la mitjana de la seva classe és 40 i la desviació estàndard 12).

 Qui dels dos té millor nota? És evident que no podem comparar directament perquè l’escala no és la mateixa.

La distribució Normal estandarditzada

 Una observació estandarditzada ( z ) ens diu a quantes desviacions típiques (σ) es troba l’observació original ( x ) de la mitjana (μ) i en quina direcció.

 L’estudiant amb un 8 es troba a 2 desviacions per sobre de la mitjana. El valor estandarditzat de 6,5 és (8-5/1,5) = 2.

 L’estudiant amb un 76, es troba a 3 desviacions típiques de la mitjana. El valor estandarditzat de 76 és (76-40)/12 = 3.

x z





 

La distribució Normal estandarditzada

N (0,1)

=>

z

x

Notes estandarditzades (sense unitats)

N (5, 1.5)

0,5 2 3,5 5 6,5 8 9, Notes, escala de 0 a 10

14 26 38 40 64 76 88 Notes, escala de 0 a 100

N (40, 12)

Estudiant A

Estudiant B

Càlculs amb la distribució Normal

 És més fàcil fer càlculs amb la variable estandarditzada z i la seva distribució N(0,1), que amb la variable original x i la seva distribució N(μ, σ).

 Exemple: Notes de classe, N(5; 1,5)

 Càlcul d’un valor: Quina és la nota per sot de la qual es troba el 75% de la classe?

 Càlcul d’una proporció: Quin percentatge d’estudiants ha obtingut un mínim de 7?