¡Descarga Estadísticas de posición individual: Puntuaciones típicas y escalas derivadas - Prof. SanM y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
4 – Estadísticos de posición individual
1. Los porcentajes acumulados (“percentiles”)
2. Las puntuaciones diferenciales
3. Las puntuaciones típicas
3.1. Las escalas derivadas
- Hasta ahora se ha abordado la descripción de los datos de conjuntos de casos (variables); en este capítulo, por el contrario, se centra la atención en la descripción de casos particulares, en concreto, en estadísticos que nos van a ofrecer información sobre el valor concreto de un caso en relación a la posición que ocupe dentro de un conjunto de valores observados (variable).
- En cuanto que se trata de estadísticos que ofrecen información sobre la posición de un valor respecto a un grupo de referencia, nos van a permitir establecer una interpretación relativa de los valores observados.
Ejemplo : Nos dice un amigo que les han pasado a todos los trabajadores de su empresa un test de aptitudes verbales y que él ha obtenido una puntuación igual a 134. A continuación, sin más detalles, nos pregunta si esa puntuación significa que es bueno o malo en aptitudes verbales.
- ¿Qué información adicional podría sernos de utilidad a fin de poder ofrecerle algún tipo de valoración de esa puntuación?
- ¿Cómo podríamos transformar esa puntuación a fin de que fuese más informativa? En los apartados sucesivos se ofrecen algunas respuestas a esta segunda cuestión.
1. Los porcentajes acumulados (“percentiles”)
- El porcentaje acumulado (%a) de un valor concreto de una variable es el porcentaje de casos que obtienen un valor inferior o igual a ese en la variable en cuestión, información que puede obtenerse directamente a partir de la distribución de frecuencias correspondiente a esa variable.
- A estos porcentajes acumulados se les suele denominar más habitualmente, aunque de un modo equívoco, percentiles (término ya utilizado en el contexto de los estadísticos de posición grupal). Así, es común escuchar expresiones tales como “Creo que va a ser muy alto, ahora está en el percentil 90 de los de su edad” o “Ha obtenido un mal resultado en la prueba de coordinación óculo- manual, tan sólo al percentil 5”. Otra expresión que también se utiliza en la literatura para hacer referencia al porcentaje acumulado de una determinada puntuación es la de rango centil, si bien, su uso no está muy extendido.
Ejemplo de obtención de porcentajes acumulados (percentiles): sea la siguiente distribución de frecuencias de las puntuaciones en un test de inteligencia que fue administrado a una muestra de 250 personas.
- ¿Cuál es el porcentaje acumulado (rango centil o “percentil”) correspondiente a una puntuación de 97 en ese test?, ¿cómo la interpretaríamos?
- ¿Y si la puntuación fuese igual a 103?
- ¿Y si fuese igual a 91? => interpolación del %a CI ni na pi pa %a 89 1 1 0,004 0,004 0, 90 2 3 0,008 0,012 1, 92 3 6 0,012 0,024 2, 93 5 11 0,02 0,044 4, 94 8 19 0,032 0,076 7, 95 10 29 0,04 0,116 11, 96 14 43 0,056 0,172 17, 97 17 60 0,068 0,24 24 98 24 84 0,096 0,336 33, 99 29 113 0,116 0,452 45, 100 36 149 0,144 0,596 59, 101 33 182 0,132 0,728 72, 102 26 208 0,104 0,832 83, 103 19 227 0,076 0,908 90, 104 12 239 0,048 0,956 95, 105 7 246 0,028 0,984 98, 107 2 248 0,008 0,992 99, 110 1 249 0,004 0,996 99, 114 1 250 0,004 1 100 250 1
- Los %a o “percentiles” son muy utilizados en la interpretación de las puntuaciones de los tests. Así, una tabla con la correspondencia entre los posibles valores observados en un test (puntuaciones del test) y los correspondientes porcentajes acumulados, constituye lo que se conoce como el baremo de ese test. Un baremo suele ser elaborado a partir de una muestra representativa de la
Andalucía ( X = 5; Sx = 3) CV ( X = 5; Sx = 2)
3. Las puntuaciones típicas
- Una alternativa al problema planteado en la utilización de las puntuaciones diferenciales son las puntuaciones típicas (estándar o z), una transformación de las puntuaciones directas que tiene en cuenta tanto la tendencia central (media) como la dispersión (desviación típica) de la distribución de frecuencias de la variable. La fórmula para obtenerlas es la siguiente:
i i X
z X^ X S
^
Ejemplo : ¿cuáles serán las puntuaciones típicas correspondientes a las puntuaciones directas obtenidas por Carmen en ambas comunidades? (zAndalucía = ¿?; zCV = ¿?)
z Andalucía 3
^8 5 1,
z CV (^) 2
- La puntuación z correspondiente a un determinado valor expresa el número de desviaciones típicas que ese valor dista de la media del conjunto de las observaciones. Así, si Carmen tiene una puntuación típica igual a 1 en Andalucía, ello significa que su puntuación directa está 1 desviación típicas por encima de la media de ese grupo, esto es, su puntuación directa es (aunque ya la sabíamos) igual a 1·3 + 5 = 8. Por su parte, si Carmen tiene una puntuación típica igual a 1,5 en la CV, ello significa que su puntuación directa está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media de dicho grupo, o sea que es igual a 1,5·2 + 5 = 8 (tal como ya en este ejemplo conocíamos). En conclusión, aunque la puntuación directa es la misma en ambas comunidades, Carmen obtiene una mejor puntuación (en términos relativos), es decir, está mejor posicionada en la CV.
Ejercicio 1 : ¿Cuál sería la puntuación típica de un opositor que se presentó en la CV y obtuvo una puntuación de 2?; ¿y la de otro opositor con una puntuación de 5? Interpreta estas puntuaciones
típicas. ¿Cuál sería la puntuación (directa) de un opositor de Andalucía que tiene una puntuación z igual a 1,5?, ¿y la de otro con una z = 1?, ¿y la de un tercero con una z = 0?
- Con SPSS es posible obtener la puntuación típica correspondiente a cada uno de los casos de una determinada variable de nuestro archivo de datos. Ello se hace a través del cuadro de diálogo que aparece al seleccionar el comando ‘Descriptivos’ (menú Analizar > Estadísticos descriptivos). En el mismo hay que seleccionar la opción ‘Guardar valores tipificados como variables’. Al ejecutar esta función, se creará una nueva variable en el archivo de datos que contendrá las puntuaciones z correspondientes a la variable(s) seleccionada(s) en el citado cuadro de diálogo.
- Algunas características de las puntuaciones típicas:
(1) Tal como ya se vio en el tema sobre la dispersión, si una distribución de frecuencias se ajusta a la curva normal, se cumple que entre la media ± una desviación típica (o sea, entre z = 1 y z = 1) se encontrará el 68% de los casos. Si se considera la media ± 2 desviaciones típicas (entre z= 2 y z = 2), el 95%; y si la media ± 3 desviaciones típicas (entre z = 3 y z = 3), el 99,7%. Señalar que estos son 3 casos particulares en que los valores de z son valores enteros, pero que se puede conocer cuál es el % de casos que se encontrarán entre cualesquiera par de valores z (o por encima o por debajo de un determinado valor z ) a partir de la consulta de la tabla de la distribución normal tipificada, la cual será presentada en un tema posterior.
(2) Si transformamos los valores de una variable cualquiera en puntuaciones típicas, esos nuevos valores tendrán siempre una media igual a 0 y una desviación típica igual a 1.
2
X X^1
X z z
z S S
Consecuencia de lo anterior, transformar 2 (o más) variables a la escala de las puntuaciones típicas supone hacerlas directamente comparables entre sí, pues se encontrarán en una misma escala con media igual a 0 y desviación típica igual a 1. Ello va a permitir no solo comparar la posición relativa de un sujeto en una variable, sino también comparar las puntuaciones de un mismo sujeto en variables diferentes.
Ejercicio 2 : Dada una variable X :{3, 6, 5, 2}, transformar los valores observados en puntuaciones típicas (tipificar). Calcular después la media y la desviación típica de las puntuaciones típicas obtenidas.
Ejercicio 3 : Una psicóloga especializada en psicología clínica infantil observó a un niño de 5 años mientras jugaba con otros niños en una situación estándar de observación. Así, la psicóloga registró que, durante el tiempo de observación, el niño había interactuado verbalmente 6 veces con los otros niños. ¿Cómo se interpretaría ese valor observado teniendo en cuenta que en estudios previos en esa misma situación de observación la media de interacciones verbales de otros niños es 12 y la varianza 9? Asumiendo que esta variable se distribuye normalmente, ¿qué porcentaje de niños es de esperar que obtengan una puntuación igual o inferior a la del niño en cuestión?
Ejercicio 4 : Completar la tabla con las puntuaciones directas, diferenciales y típicas de 4 casos, en una variable X de la que se obtuvieron datos para una muestra de 1250 sujetos ( X 18; SX 4 )
Caso X i x i z i 1 20 (^2) 3 3 3 (^4) 2
Ejercicio 5 : Mariona y Lucia, tras terminar sus estudios de grado en Psicología y Economía, respectivamente, reciben ofertas de trabajo con la siguiente remuneración económica neta: Mariona, 11420 €; Lucía, 12320 €. De acuerdo a estudios estadísticos a nivel nacional, los salarios para primer empleo en ambos grados tienen en la actualidad las siguientes características:
Psicología (Mariona) Economía (Lucía) X 10217 €^ X ^10818 € Sx = 510 € Sx = 901 €
A partir de los datos anteriores, ¿cuál de las dos se puede decir que tiene una oferta mejor en relación a los salarios para sus grados en primer empleo?
3.1 Las escalas derivadas
- Una dificultad con las puntuaciones típicas se puede plantear a la hora de comunicar resultados debido a las posiciones decimales y valores negativos inherentes a las mismas. Es por ello que se han propuesto algunas transformaciones lineales de las puntuaciones típicas que pretenden hacerlas más intuitivamente interpretables.
- Todas estas escalas derivadas de la escala de las puntuaciones típicas se basan en una transformación genérica del tipo: Di = a ·zi + b , Consecuencia inmediata de este tipo de transformación, las nuevas puntuaciones D pasarán de tener una media 0 y una desviación típica 1, a tener una media b y una desviación típica a.
- Diversas propuestas de escalas derivadas han sido planteadas sin que se haya generalizado el uso concreto de ninguna de ellas. Entre las que han tenido más repercusión, las siguientes:
- La escala T → Ti = 10· zi + 50 ( (^) T 50 sT 10 )
- La escala S o de estaninos → Si = 2· zi + 5 ( S 5 sS 2 )
- La escala CI → CIi = 15· zi + 100 ( CI 100 sCI 15 )
Ejercicio 6 : Transformar los datos de la variable X : {3, 6, 5, 2}, de los que ya se obtuvo las puntuaciones típicas en un ejercicio anterior, a las 3 escalas derivadas presentadas.
