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8. PUNTUACIONES TÍPICAS
• PUNTUACIONES DIRECTAS, DIFERENCIALES Y TÍPICAS
a. PUNTUACIÓN DIRECTA:
La atribuida directamente a cada objeto al ser sometido a cualquier tipo de prueba. Se escribe en letras mayúsculas latinas.
Xi = 6 4 2
b. PUNTUACIÓN DIFERENCIAL:
xi = Xi – X 1 -1 -
Puntuación directa menos la media. Minúsculas latinas.
c. PUNTUACIÓN TÍPICA
Puntuación diferencial dividida por la desviación típica.
Zi = xi/Sx = (Xi – X) / Sx = 0,5 -0,5 -1,
• SIGNIFICADO DE ESTAS PUNTUACIONES
Sabiendo que Pedro obtiene una puntuación directa igual a 22 en una prueba de memoria. Para saber que significa lo tenemos que comparar con un grupo de personas. Ese grupo tienen una puntación de 19. Por lo tanto 22-19=3, al ser positiva está por encima de la media del grupo. Para interpretar si este 3 es mucho o poco depende del grupo, si nadie se aparta de la media de tres o más unidades, significa mucho. Al contrario, significaría menos. Por lo tanto la interpretación de la puntuación diferencial depende de la variabilidad del grupo y en concreto, de la desviación típica.
• COMPARABILIDAD DE LAS PUNTUACIONES TÍPICAS
Las puntuaciones directas o diferenciales NO son comparables, porque no se puede comparar 180cm con 70 kg de peso. Pero las puntuaciones típicas al no pertenecer a ninguna categoría y ser abstractas sí que se pueden comparar.
- DESVIACIÓN TÍPICA Y PUNTUACIONES TÍPICAS
Estos dos conceptos son distintos. La desviación típica pertenece al grupo mientras que las puntaciones típicas a cada persona.
Doble inconveniente:
- Unas son positivas y otras negativas, por lo que puede ocasionar errores en el cálculo.
- Casi todas las observaciones quedan dentro de tres desviaciones típicas a la derecha de la media (igual a
- y a la izquierda. Por tanto 7 puntuaciones ( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3), todas las demás serán con decimales, por lo que más problemas para el cálculo.
Para evitar los decimales multiplicamos las p.t. por una constante apropiada y para evitar los valores negativos, sumamos a los productos obtenidos otra constante apropiada. Normalmente suelen ser usadas 10 y 50, 100 o 500 u otras constantes que nos sirvan para conseguir el fin predeterminado.
Dentro de este contexto, llamáramos puntuaciones T a las obtenidas mediante la constante multiplicadora 10 y la constante auditiva 50.
3. TEMA 3. MEDIDAS DE POSICIÓN
• CENTILES Y PERCEPTILES
Son 99 valores que dividen la distribución en 100 secciones. Se pueden representar por la inicial de cada uno de los términos que la designan más el subíndice correspondiente. Cko P k.
EJEM PLO : Si una persona obtiene la puntuación 35 y sabem os que C90 = 35, quiere decir que la puntuación de ese sujeto coincide con el percentil 90, y por tanto, supera a las puntua ciones del 90 por 100 de las observaciones del grupo de referen cia, mientras que es superada solo por el 10%.
Aunque por definición son sólo 99 valores a veces se utilizan posiciones intermedias : 88,5 o C88,5, que sería aquel valor de la variable por debajo del cual se encuentra el 88,5 por 100 de las observaciones.
Dado que los valores correspondientes a los centiles se determinan en función de los porcentajes de observación, normalmente las distancias entre ellos, en términos de puntuación no serán constantes. Normalmente la distancia entre los valores intermedios serán menores que las distancias entre centiles extremos.
EJE: El centil 70 es aquella puntuación que deja por debajo de sí al 70% de las observaciones y que es superada por el 30% de ellas. Pero como en este caso se trata de un grupo de 200 observaciones (frecuencias) será por debajo de 140 y por encima de 60.
Ck es la puntuación correspondiente al centil k.
Li es el límite exacto inferior del intervalo crítico.
I es la amplitud de los intervalos.
ni es la frecuencia absoluta del intervalo crítico.
K es el porcentaje de observaciones inferiores a Ck
n es el número de observaciones hechas.
N aes la frecuencia acumulada hasta L i
DECILES
• PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
A las puntuaciones que hemos visto hasta aquí, que no son más que los valores brutos, las llamaremos puntuaciones directas y las representaremos por la letra de la variable en mayúsculas. Por el contrario, a las diferencias de cada sujeto con respecto a la media grupal, las llamaremos puntuaciones diferenciales y las representaremos por la letra minúscula: Por tanto:
1º PROPIEDAD
La suma de las diferencias de n puntuaciones con respecto a su media, o puntuaciones diferenciales, es igual a 0:
Esto es debido porque algunas son positivas y otras negativas.
2º PROPIEDAD
La suma de los cuadrados de las desviaciones de unas puntuaciones con respecto a su media es menor que con respecto a cualquier otro valor. Es decir:
3º PROPIEDAD
Si sumamos una constante a un conjunto de puntuaciones, la media aritmética quedará aumentada en esa misma constante. Es decir:
4º PROPIEDAD
Si multiplicamos por una constante a un conjunto de puntuaciones, la media aritmética quedará multiplicada por esa misma constante. Es decir:
En algunos casos contamos con la media de varios grupos en una variable y nos interesa conocer la media de todas las observaciones juntas. Por ejemplo, conociendo las medias de las calificaciones obtenidas por los grupos A, B y C de Psicología de la universidad en una asignatura, nos interesa conocer la media de los 3 grupos.
Xa+Xb+Xc/
Otro procedimiento sería tomar todas las puntuaciones, contarlas y dividirlas por el número total de observaciones. Es correcto pero muy costoso. El método que vamos a exponer a continuación permite calcular la media del grupo total, a partir del conocimiento de las medias de cada uno de los grupos parciales y de sus tamaños.
Se llama media ponderada y es la quinta propiedad.
5º. QUINTA PROPIEDAD
La suma total de un grupo de puntuaciones, cuando se conocen los tamaños y medias de varios subgrupos hechos a partir del grupo total, mutuamente exclusivos y exhaustivos, pueden obtenerse ponderando las medias parciales a partir de los tamaños de los subgrupos en que han sido calculadas:
6ºPROPIEDAD
T es combinación lineal de un conjunto de variables
Una variable definida como la combinación lineal de otras variables tiene como media la misma combinación lineal de las medias de las variables intervinientes en su definición:
EJEMPLOS NUMÉRICOS DE LAS PROPIEDADES DE LA MEDIA
• LA MEDIANA
Otra opción para representar la tendencia central , consiste en tomar aquella puntuación que fuera superada por la mitad de las observaciones, pero no por la otra mitad. Esto se denomina mediana y se representa por Mdn.
C50. Para su cálculo podemos encontrar dos casos generales.
En el que contamos con un número impar de observaciones. Se toma como mediana el valor central.
- Aquel en que nos encontramos con un número par de ellas. Se da la circunstancia de que cualquier valor comprendido entre los dos centrales cumple con la definición de la mediana. Por ello Fechner, propuso tomar la media aritmética de los valores centrales.
• LA MODA
Una tercera vía para representar la tendencia central. Consiste en informar del valor más frecuente observado. En esta idea se basa nuestro tercer índice de tendencia central, la moda o Mo y se define como el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.
• COMPARACIONES ENTRE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
¿Con qué criterio elegimos uno sobre los demás? Criterios de razonamiento:
Si no hay ningún argumento de peso, siempre la MEDIA. Ya que en ella se basan otros estadísticos y que es el mejor estimador de su parámetro que la mediana y la moda. Esto significa que las medias halladas sobre muestras representativas se parecen más a la media poblacional que lo que se parecen las medianas y modas muestrales a la mediana y moda poblacional.
Usar la MEDIANA, 3 situaciones:
- Cuando la variable esté medida en una escala ordinal.
Es útil trabajar con las distancias desde los valores hasta algún lugar central, como la media aritmética.
A: -8 -2 0 2 8
B: -2 -1 0 1 2
La medición de la variabilidad podría basarse en ellas hallando por ejemplo, la media aritmética de estas distancias. Sin embargo, también vimos en el tema anterior que la suma de las diferenciales es igual a 0 y por tanto, también su media. Para solventar esta dificultad se pueden adoptar varias soluciones, como por ejemplo tomar esas distancias en valor absoluto, o basar el índice en los cuadrados de esas distancias. En cualquier de esos casos, el sumatoria de las cantidades así transformadas ya no es necesariamente 0.
CÁLCULO DE LA VARIANZA:
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA:
Es frecuente que, con objeto de retomar las unidades originales de esas distancias, se calcule la raíz cuadrada de la cantidad obtenida, es simplemente la raíz cuadrada de la VARIANZA.
- CÁLCULO Y PORPIEDAS DE LA VARIANZA
Cuando los datos están organizados en una distribución de frecuencias los cálculos se simplifican un poco.
1º PROPIEDAD
La varianza y la desviación típica, como medidas de la dispersión, son valores esencialmente positivos. Es decir:
2ºPROPIEDAD
Si sumamos una constante a un conjunto de puntuaciones, su varianza no se altera. Es decir:
3º PROPIEDAD
Si multiplicamos por una constante a un conjunto de puntuaciones, la varianza quedará multiplicada por el cuadrado de la constante, y la desviación típica por el valor absoluto de esa constante:
4º PROPIEDAD
• OTRAS MEDIDAS DE VARIACIÓN
Una forma muy sencilla de indicar el grado de dispersión consistes en calcular la distancia entre el mayor y el menos de los valores observados. Este índice se llama AMPLITUD TOTAL, RANGO o RECORRIDO y se obtiene hallando la diferencia entre los valores extremos:
Otro índice es la DESVIACIÓN MEDIA : Consiste en tomas las desviaciones con respecto a la media, o puntuaciones diferenciales, en valor absoluto:
AMPLITUD SEMICUARTIL : Cuando en las puntuaciones hay algún valor extremo que pudiera distorsionar la representatividad de la varianza. Se representa por la letra Q y su fórmula no es más que la semidistanca entre esos cuartiles:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Pearson propuso relativizar la desviación típica con respecto a la media. El índice así construido, expresado como un porcentaje.
• REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA VARIABILIDAD
Muchas veces interesa trasmitir una idea directa y simple de la variabilidad observada en un conjunto de valores, reflejándola en una representación gráfica. Hay diversas formas de hacerlo, de las que aquí vamos a describir dos.
La puntuación típica de una observación indica el número de desviaciones típicas que esa observación se separa de la media del grupo de observaciones.
Las características de las puntuaciones típicas son universales, no dependen del tipo de puntuaciones, ni de su dispersión, ni de su número.
La media de las puntuaciones típicas es cero, mientras que su varianza y desviación típica son iguales a 1. Las puntuaciones típicas reflejan, en cierto sentido, las relaciones esenciales entre las puntuaciones con independencia de la unidad de medida que se haya utilizado en la medición.
Dos conjuntos de n puntuaciones Xi e Y i, son equivalentes si:
• ESCALAS DERIVADAS
Buena parte de las puntuaciones suelen ser negativas y casi todas decimales. Esto hace que resulte incomodo su tratamiento y que muchas veces se busquen procedimientos que permitan superar esta dificultad. Un procedimiento consiste en transformar las puntuaciones originales, por tanto que sean puntuaciones equivalentes, pero evitando la dificultad operativa y que constituyen lo que se denomina escala derivada.
Si transformamos linealmente las puntuaciones típicas, multiplicándolas por una constante a y sumando una constante b, entonces las puntuaciones transformadas tendrán como media la constante sumada b, como desviación típica el valor absoluto de la constante multiplicada /a/, y como varianza el cuadrado de esta constante a elevado a 2.
La cuestión fundamental de las escalas consiste en trasformar las puntuaciones originales Xien otras puntuaciones trasformadas, T i tales que sean más cómodas de tratas e interpretar, pero que a la vez retengan las relaciones esenciales entre los valores, es decir, que sean puntuaciones equivalentes.
7. MEDIDAS DE ASIMETRÍA Y CURTOSIS
• ÍNDICES DE ASIMETRÍA
El grado de asimetría de una distribución hace referencia al grado en que los datos se reparten equilibradamente por encima y por debajo de la tendencia central.
• ÍNDICE DE CURTOSIS
Sólo vamos a estudiar el que se basa en el promedio de las típicas elevadas a la cuarta potencia. Su fórmula es:
Una distribución en la que el índice, sea igual a cero tiene un grado de curtosis similar al de la distribución normal y siguiendo la terminología propuesta por Pearson, se dice que es mesocúrtica , mientras que si es positivo su grado de apuntamiento es mayor que el de la distribución normal y se dice que es una distribución leptocúrtica , y si es negativo su apuntamiento es menor que el de la distribución normal y se dice que platicúrtica****.
