Tema 6 teoría, Apuntes de Econometría

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Profesor: Iván Arribas

GADE - Econometría

Tema 6 –

Incumplimiento de las

hipótesis básicas

Tema 6: Incumplimiento de las hipótesis básicas

6.1. Multicolinealidad

6.2. Contraste de normalidad

6.3. Heteroscedasticidad

6.4. Autocorrelación

Bibliografia: Ezequiel Uriel (2013): Capítulo 5 Gujarati y Porter (2010). Contreras y Belaire (2000)

6.1 Multicolinealidad. Planteamiento y causas

Para analizar este problema, vamos a examinar la varianza de un estimador. En el modelo de regresión lineal múltiple, el estimador de la varianza de un coeficiente cualquiera, por ejemplo, de se puede formular de la siguiente forma: Donde es la varianza de la variable Xj y es el coeficiente de determinación obtenido al regresar Xj sobre el resto de variables independientes. Observa que:

• Si , multicolinealidad perfecta, la varianza se hace infinito. Realmente lo que ocurre es que no podemos estimar el coeficiente de la variable Xj.
• Pero si está próximo a 1, la varianza se hace muy grande y, aunque no hay multicolinealidad perfecta, hay un problema grave de multicolinealidad.

Tema 6: Incumplimiento de las hipótesis básicas

β j

Sj 2 Rj 2 Rj 2 = 1 Rj 2 vaˆr( βˆ (^) j ) = σˆ 2 nSj 2 ( 1 − Rj 2 )

6.1 Multicolinealidad. Consecuencias

Cuando el problema de multicolinealidad es grave

• La varianza de los estimadores tenderá a infinito (será muy grande).
• Al ser la varianza muy grande, se rechazará la significatividad individual de los parámetros, aunque sí que tengan influencia (se puede aceptar la hipótesis nula de que el parámetro es cero).
• Los parámetros pierden estabilidad , pudiendo llegar, incluso a cambiar de signo.

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6.2 Hipótesis de normalidad

• Recordemos que todo el apartado de inferencia (Tema 4) descansa en el supuesto de normalidad y esfericidad de las perturbaciones. Hemos supuesto que
• Es imprescindible contrastar si estos supuestos se verifican : media cero, incorrelación, homocedasticidad y normalidad de los residuos.
• Dado que no conocemos el valor real de residuos, los contrastes se realizan sobre sobre el vector de residuos estimados,.
• La hipótesis de media cero no es contrastable. Recuerda que al incluir la contante en el modelo siempre se verifica que: ui ~ N ( 0 , σ 2 ) i. i. d u^ ˆ u^ ˆ i =^0 i = 1 N ∑

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6.2 Hipótesis de normalidad

• Para la hipótesis de normalidad existen multitud de contrates (Kolmogorov- Smirnov, Shapiro-Wilks, Jarque-Bera, Anderson-Darling, Cramer-von Mises…)
• El contraste de Jarque-Bera (implementado en Gretl) se basa en que en cualquier distribución normal el coeficiente de asimetría, que denominaremos S, es cero y la kurtosis, denominada K, es 3. Así, el contraste es: H 0 S = 0 y K = 3 (normalidad) H 1 S ≠ 0 ó K ≠ 3 (no normalidad)
• El estadístico es , que se distribuye como una con 2 grados de libertad. (Su percentil al 95% es 5.99). JARQUE − BERA = N 6 S 2 + ( K − 3 ) 2 4 "

$ % &

'^ χ^

2

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6.3 Heteroscedasticidad. Planteamiento y causas

• Supondremos que se verifica la hipótesis de Incorrelación, pero no la de Homoscedasticida. Es decir, hay heteroscedasticidad:

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Var ( ui ) = σ i

2 Gráfica de Ezequiel Uriel

6.3 Heteroscedasticidad. Planteamiento y causas

CAUSAS QUE LA GENERAN

• Errores de especificación : la especificación errónea de un modelo tanto por omisión de variables como por errores en la forma funcional puede generar problemas de heterocedasticidad.
• Datos de corte transversal : la desigualdad entre los individuos de una muestra puede generar problemas de heterocedasticidad debido a la asimetría de la distribución.
• Series temporales : sobre todo aquellas en las que el crecimiento es muy rápido. Un shock aleatorio puede tener distinto impacto e incidencia sobre una variable en diferentes momentos del tiempo.
• Valores extremos (outliers) : son aquellas observaciones que están fuera de lo que se espera que sea un comportamiento normal de los valores de la muestra, provocando problemas de heterocedasticidad.

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6.3 Heteroscedasticidad. Detección

• Test de White :
  1. Se estima el modelo por MCO y se obtienen los residuos del modelo
  2. Se define la ecuación auxiliar siguiente, Donde el cuadrado del residuo se regresa sobre la variables independientes del modelo de partida, sus cuadrados (imprescindible) y sus productos cruzados.
  3. Se obtiene el coeficiente de determinación de la ecuación auxiliar R^2 aux, y se construye el estadístico de White. Los grados de libertad, m, es el número de regresores que haya en la regresión auxiliar (paso 2), excluido el término independiente.
  4. Se realiza el contraste, donde H 0 es la hipótesis de homoscedasticidad y H 1 la de heteroscedasticidad. u^ ˆ i 2 = α + δ 1 x 1 i + δ 2 x 2 i +... + δ k xki + γ 1 x 1 i 2

• γ 2 x 2 i 2 +... + γ k xki 2
• λ 1 x 1 i x 2 i +... u^ ˆ i NRaux 2

~ χ m

2

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6.3 Heteroscedasticidad. Detección

Tema 6: Incumplimiento de las hipótesis básicas^14

Transparencia de Ezequiel Uriel

6.4 Autocorrelación. Planteamiento y causas

CAUSAS QUE LA GENERAN (las mismas que para la heterocedasticidad)

• Errores de especificación : la especificación errónea de un modelo tanto por omisión de variables como por errores en la forma funcional puede generar problemas de autocorrelación.
• Inercia : en las regresiones con datos de series temporales, es muy probable las observaciones sucesivas de la perturbación dependan de los valores previos. Con ello, este comportamiento cíclico puede producir autocorrelación en las perturbaciones.
• Transformación de datos : es posible que al incluir en una regresión variables en diferencias o en tasas aparezcan problemas de autocorrelación.

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6.4 Autocorrelación. Consecuencias

Las mismas a las de la heteroscedasticidad:

• Los estimadores MCO ya no son lo mejores, no son óptimos
• La estimación de las varianzas de los estimadores obtenida aplicando la fórmula usual no es válida cuando existe autocorrelación.
• Consecuentemente, los estadísticos t y F basados en dicha estimación de la matriz de covarianzas darán lugar a inferencias erróneas.

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6.4 Autocorrelación. Detección: Durbin-Watson

• Contraste de Durbin-Watson :
  • Para contrastar la autocorrelación negativa se usa el mismo estadístico y valores críticos pero hay que modificar la regla de decisión. 𝐻 5 : 𝜌 = 0 𝐻 9 : 𝜌 < 0
  • Las reglas de contrastes son
    • Si d > 4 - dL , existe autocorrelación negativa
    • Si 4 - dU < d < 4 - dL , no es concluyente el contraste
    • Si d < 4 - dU , no existe autocorrelación negativa
  • La prueba de Durbin-Watson no es aplicable si en la regresión no aparece la constante o una variable independiente es la variable dependiente desfasada.
  • Wallis modifico el contraste para el caso de datos cuatrimestrales, donde la correlación que se analiza es

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ρ 4 = cor ( ut , ut − 4 )

6.4 Autocorrelación. Detección: h-Durbin

• Contraste de h- Durbin :
  • Se aplica si en la regresión aparece la variable dependiente desfasada como variable independiente.
  • La prueba de Durbin contrasta:
  • El estadístico de contraste es,
  • Donde es una estimación de la autocorrelación de orden 1 y es la varianza del coeficiente de la variable dependiente con menor desfase.
  • El estadístico se distribuye como una normal tipificada así que la regla de decisión es; - Si h < - z^1 -^ a/2^ , existe autocorrelación negativa - Si - z^1 -^ a/^2 < h < z^1 -^ a/2^ , no existe autocorrelación - Si h > z^1 -^ a/2^ , existe autocorrelación positiva

Tema 6: Incumplimiento de las hipótesis básicas

H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ ≠ 0 h = ρˆ n 1 − n ·vaˆr( βˆ (^) j )

ρ^ ˆ vaˆr(^ βˆ^ j )