Tema 5 Econometría, Apuntes de Econometría

¡Descarga Tema 5 Econometría y más Apuntes en PDF de Econometría solo en Docsity!

Pertorbació no esfèrica

heteroscedasticitat

autocorrelació

heteroscedasticitat

autocorrelació

Pertorbació no esfèrica

( )

2

1,

1

2

2,

| 2 2 2 2

u u u

2

N,N

N NxN NxN

E uu I

   ω  σ

ω σ

= = σ = σ Ω ≠ σ

ω

σ    

   

L

L

L

L

M M O M

M M O M

L

L

( )

2

1,2 1,N u 1,2 1,N

2

2,1 2,N | 2,1 u 2,N 2 2 2

u u u

2

N,1 N, N,1 N,2 u

NxN NxN

E uu I

 σ σ σ   ω ω 

σ σ σ ω ω

= = σ = σ Ω ≠ σ

σ σ σ ω ω

       

L L

L L

M M O M M M O M

L L

Pertorbació no esfèrica (cont.)

a)

MQO

β és un estimador no esbiaixat de β.

b)

2

u,MQO

σˆ ( )

1

X ' X

−

ja no serveix per a calcular la variància de

MQO

β i la inferència efectuada (contrast de

la

t

o contrast de la

F

) a partir d’aquesta expressió serà incorrecta.

c)

MQO

β no és un estimador eficient, perquè no té variància mínima entre els no esbiaixats.

d)

2

u,MQO

és un estimador esbiaixat (biaix positiu), perquè sobreestima el valor de

2

u

e) la correcció, a través de l’expressió

1 1

2

u, MQO

X'X X' X X'X

− −

, per a estimar la variància de

MQO

, sempre sobreestimarà la vertadera variància, conduint a inferències errònies: s’acceptarà la

hipòtesi nul·ladenosignificaciódelsparàmetres en més ocasions de les necessàries.

Estimador MV i mínim quadrat generalitzat(MQG)

( ) ( )

1

1 1

MV MQG

X' X X' y

−

− −

( ) ( )

1

2 1

MQG u

var X ' X

−

−

1 1

2 2

u,MV u,MQG

e' e e' e

N N k

− −

( )

2

u

u ≈ N 0,σ Ω ⇒ ( ) ( )

N

N 1

2 1

2 2 2

2

u

1

L 2 exp u' u

2

−

− −

−

−

= π σ Ω Ω

σ

( ) ( ) ( ) ( ) − β Ω − β

σ

= − π − σ − Ω−

−

y X y X

2

1

log

2

1

log

2

N

log 2

2

N

log L

1

|

2

u

2

u

( )

( )

( ) ( )

1

2

u

2

|

2 2 1

u u

1

X ' y X 0

N 1

y X y X 0

2 2

−

−

− Ω − β =

σ

− σ + σ − β Ω − β =

[4.3]

[4.4]

Limitacions de l’estimador MQG

ßproblemes de càlcul que presenta la inversió de Ω, que és d’ordre NxN.

ßla majoria de programes informàtics no incorporen l’algoritme dels MQG.

ßdesconeixement dels elements de Ω.

ßtransformar el model amb pertorbació no esfèrica per a obtenir un

model en què la pertorbació és esfèrica.

ßaplicar MQO al model transformat que, sota les noves condicions de la

pertorbació, garantirà les propietats desitjables d’aquesta estimació.

Solució

( )

2

u

| 2

• • • • • u *

Model original: y X u E uu'

y Ty

Model transformat: y X u E u u I on: X TX

u Tu

= β + = σ Ω

= β + = σ = ⇒



TΩ T'= I

( )

( )

( ) ( )

2

u

| | 2 2

• • u u

E u u E Tu Tu E Tuu'T' TE uu' T ' T T ' I

σ Ω

= = = = σ Ω = σ

Com es transforma el model ?, existeix T, quina és la matriu T?

Ω simètrica i semidefinida positiva

(P quadrada i no singular)

( )

|

1

1 1 1 1

T P T ' T P P P P '

−

− − − −

⇒ Ω = PP'

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

| | |

| 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

• • u u u u u

E u u T T ' P P P PP' P P P P P I

− − − − − −

= σ Ω = σ Ω = σ = σ = σ

1

T P

−

( ) ( ) ( )

( )

1

|

2

u

1

|

|

2

u

1

1

2

u

1

2 1

MQG u

XX

X

TX

X

X' X X'T'TX TX

ˆ

var

−

−

−

−

−

−

=σ =σ

Ω

β =σ Ω =σ

678

( )

( )

1

| |

1

1 1

---

1 1

1 1 | | | |

MQG * * * *

X X X y

ˆ

X' X X ' y X' T'T X X' T'T y TX TX TX Ty X X X y

−

−

− −

− −

− −

Ω Ω

β = Ω Ω = = =

( )

|

1

1 | |

2

u,MQG

e e

e ' T ' T e Te Te e e e ' e

ˆ

N k N k N k N k

−

−

Ω

Ω

σ = = = =

− − − −

[4.5a]

[4.6a]

[4.7a]

Estimador MQG

Comparació entre l’estimador MQO i MQG

r r

i 2i 3i 4i i

y 10 2X 3X 4X u

i 1,2, ,

r 1,2, ,

= + + + +

=

=

L L 2 1 2 2 2

50

2

i 2i 3i 4i

0 0

0 0

u N(0, ) on:

0 0

10 2X 3X 4X

  σ

 

σ

 

≈ Ω Ω =

 

 

σ

 

 

σ = + + +

L

L

M M O M

L

ßels paràmetres de la població són coneguts (β

1

2

3

4

ßla pertorbació aleatòria presenta un comportament de variància no constant

(un cas particular de pertorbació no esfèrica) que depèn d’una funció lineal

del conjunt de variables exògenes

ßles variables exògenes són fixes per a les 100 sèries de valors generades.

ßValorar la condició de no esbiaixats dels estimadors MQO i MQG de β.

ßValorar la condició d’eficiència de l’estimador MQG enfront del de MQO de β.

ßValorar la condició d’esbiaixat de l’estimador MQO de σ

2

ßValorar les diferències en la inferència efectuada amb el contrast individual de la t

com a conseqüència d’utilitzar els estimadors MQO o MQG

Característiques de la simulació

Objectius de la simulació

Comparació entre l’estimador MQO i MQGComparació entre l’estimador MQO i MQG (cont.)

ßMQO sobreestima σ

2

(en mitjana MQO multiplica per més de 180 a MQG)

N k

e'e

ˆ

2

u, MQO

−

σ =

N k

e' e

ˆ

1

2

u, MQG

−

Ω

σ =

−

mínim màxim mitjana var. mínim màxim mitjana var.

1,631808 5,182686 3,033681 0,606984 0,008905 0,027169 0,016841 0,

Taula 4.

1 1

X ' X X' X X ' X

31,252283 -0,369430 -0,562311 -2,913851 28,

-0,369430 0,006666 -0,000504 -0,

-0,562311 -0,000504 0,072171 -0,

-2,913851 -0,020226 -0,042216 5,

− −

Ω

 

 

 

 

 

 

6444444444447444444444448

( )

1

1

X' X

9 -0,339236 -0,511691 -2,

-0,339236 0,006210 0,000174 -0,

-0,511691 0,000174 0,069408 -0,

-2,787548 -0,018423 -0,048276 4,

−

−

Ω

 

 

 

 

 

 

6444444444447444444444448

Comparació entre l’estimador MQO i MQGComparació entre l’estimador MQO i MQG (cont.)

[ ]

[ ]

46

46

Pr 2,013 t 2,013 0,

Pr 2,687 t 2,687 0,

− ≤ ≤ =

− ≤ ≤ =

Test

RH O

α=0,

t 2 , 013

46

RH O

α=0,

t 2 , 687

46

H O

:

β

1

=10;

( )

1 ,MQG

1 ,MQG

ˆ

er.es.

10

ˆ

t

β

β −

=

5 1

H

O

:

β

2

=2;

( )

2 ,MQG

2 ,MQG

ˆ

er.es.

2

ˆ

t

β

β −

=

6 1

H O

: β 3

=3;

( )

3 ,MQG

3 ,MQG

ˆ

er.es.

3

ˆ

t

β

β −

=

3 1

H

O

: β

4

=4;

( )

4 ,MQG

4 ,MQG

ˆ

er.es.

4

ˆ

t

β

β −

=

4 1

Taula 4.

Comparació entre l’estimador MQO i MQG (cont.)

X

x

x

y

f(y)

x

Gràfic 4.

Heteroscedasticitat

Causes que provoquen

el fenomen de l’heteroscedaticitat

ßLa naturalesa de la relació entre les variables

ßLa transformació de variables

ßL’omissió de variables rellevants

Heteroscedasticitat (cont.)

La transformació de variables

Model Observacions Pertorbació

i 1 2 2 i k ki i

y = β +β X +L +β X +u

ORIGINALS:

i = 1,2,…,N

( )

( )

( )

i

2 2

i u

i j

E u 0 i

E u i

E uu 0 i j

= σ ∀

r 1 2 2r k kr r

y = β + β X + + β X +u

& &

& &

L

r r

N N

r i jr ji

y = y X = X ∑ ∑

AGREGADES:

r = 1,2,…,R

N 1

+N 2

+…+N R

= N

( )

( )

( )

r

2 2

r r u

r s

E u 0 r

E u N r

E u u 0 r s

= σ ∀

s 1 2 2 s k ks s

y = β + β X + L+ β X +u

s s

N N

s i s js ji s

y = y N X = X N

∑ ∑

MITJANES:

s=1,2,…,S

N 1

+N 2

+…+N S

= N

( )

( )

( )

s

2 2

s u s

s t

E u 0 s

E u N s

E u u 0 s t

= σ ∀

Taula 4.

Heteroscedasticitat (cont.)

L’omissió de variables rellevants

model correcte

model estimat

la detecció de què els errors de l’estimació tinguin variància no constant,

pot ser un indicador de l’existència d’un error d’especificació en la relació

original; en aquest cas, més que plantejar l’estimació amb un mètode

alternatiu com MQG, serà més convenient reformular el model especificat

incloent les variables omeses.

conseqüències

i 1 2 2 i 3 3i i

y = β + β X + β X +u

i 1 2 2i i

y = β + β X +v

( )

2 2 2

i u 3 3 i

var v = σ + β X

Heteroscedasticitat (cont.)