Tema 7 Solido Rigido, Apuntes de Física

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Tema 7. Sólido rígido.

Física Ingeniería en Tecnologías de la Telecomunicación. EITE. Ricardo J. Florido Hernández

§ Cinemática del sólido rígido.

§ Energía cinética de rotación y momento de inercia.

§ Cálculo de momentos de inercia. Teorema de Steiner.

§ Momento de una fuerza y momento angular.

§ Dinámica del sólido rígido.

§ Conservación del momento angular.

§ Objetos rodantes.

Índice

§ Todas las partículas del sólido describen m o v i m i e n t o s c i r c u l a r e s e n p l a n o s perpendiculares al eje de rotación. § Los centros de dichas trayectorias circulares se encuentran sobre el eje de rotación. !

α = d ω dt

k !

ω = d θ i dt

k !

vi =

ω ×

r !

a i

α ×

r i

ω ×

v i ! θ i  α  ω !Z !X !Y !  vi =  ω ×  ri ! ϕ i ! Ri ! Pi !  ri eje de rotación

Cinemática del sólido rígido

Cinemática del movimiento de rotación

5 Energía cinética de rotación y momento de inercia

Energía cinética de rotación § Cuando un objeto describe un movimiento de rotación, las partículas individuales que lo componen se mueven siguiendo trayectorias circulares. En consecuencia, debe existir una energía cinética asociada al movimiento de rotación. Considerando el objeto como una colección de partículas: energía cinética de una partícula § Se define el momento de inercia* como: § La energía cinética de rotación resulta: § Existe una analogía entre la energía cinética de traslación y la de rotación: § El momento de inercia es una medida de la resistencia del objeto a cambios en su movimiento rotacional. Existe con independencia de que el objeto rote o no. § No existe un único valor del momento de inercia. Depende del eje considerado. ***** (respecto al eje de rotación considerado)

§ Se define el radio de giro de un cuerpo respecto a un eje, , como la distancia a la que habría que situar una partícula de masa igual a la del sólido de manera que los momentos de inercia tanto del sólido como del punto material coincidan. ! Ke ! Ie = ρ R 2 dV ∫

M

V

R

2 dV ∫ Ie = MKe 2 ! Ke 2 =

V

R

2 dV ∫ § Para un cuerpo homogéneo : § El momento de inercia respecto a un eje paralelo a otro eje que pasa por el CM del cuerpo puede evaluarse como:

Cálculo de momentos de inercia. Teorema de Steiner.

Radio de giro sólo depende de la geometría del objeto Teorema de Steiner !CM

Cálculo de momentos de inercia. Teorema de Steiner.

Tabla de radios de giro (para sólidos rígidos homogéneos)

Momento angular

Momento de una fuerza y momento angular

módulo del momento angular § La expresión es válida si tanto el momento angular como el momento de la fuerza se evalúan respecto al mismo punto O. Teorema del momento angular (segunda ecuación del movimiento de la partícula) § Guarda una gran analogía con la 2ª ley de Newton. § No es necesario que exista rotación (o movimiento circular) para que exista momento angular.

!CM ! Pi ! Pj !  rji P i P j r ji  !X !Y !Z !O CM !  ri !  rj Ecuación de movimiento: !

F

ext = M

aCM Energía cinética de traslación: !

E

c , tras

Mv CM 2

Dinámica del sólido rígido

Dinámica del movimiento de traslación

§ Si el momento neto de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual a cero, el momento angular se conserva. § Si además_!_

MO

ext

d

LO

dt

MO

ext!

LO = cte !

LO = I

ω (^) !I ω = cte Ejemplos:

Dinámica del sólido rígido

Conservación del momento angular Trabajo y potencia en el movimiento de rotación § El trabajo realizado por la fuerza externa neta en una rotación infinitesimal viene dado es: § La potencia se expresa como: § El teorema del trabajo y la energía cinética para el movimiento de rotación es:

Ecuaciones de movimiento y energía cinética !

F

ext = M

aCM !

MCM

ext = ICM

α (el eje que pasa por CM es un eje principal de inercia) Deslizamiento Es un movimiento de traslación. Todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad en cualquier instante de tiempo. !CM^ !CM !  v (^)! v  Rodadura !CM !P !CM !P θ ! sCM ! sCM !R

sCM = θ R

vCM = ω R

aCM = α R

v pto. contacto = 0 ! FR = FR , est ⇒ WF R

Debe existir rozamiento para que este tipo de movimiento pueda darse. Deslizamiento y rodadura !

sCM ≠ θ R

vCM ≠ ω R

aCM ≠ α R

v pto. contacto ≠ 0 ! FR = FR , din ⇒ WF R

Ec =

MvCM 2

ICM ω 2 Dinámica del movimiento de traslación y rotación combinados

Objetos rodantes