Tema 8 :
Multicolinealidad
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Multicolinealidad: efectos, tipos y detección, Apuntes de Econometría
El concepto de multicolinealidad en estadística, sus efectos y cómo detectarla. Se incluyen casos con matrices y ejemplos para entender la multicolinealidad exacta y aproximada. Además, se discuten los síntomas claros de esta situación en un modelo y cómo medir el grado de multicolinealidad mediante el número de condición o el índice de condición.
Tipo: Apuntes
2011/2012
1 / 33
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Tema 8 :
Multicolinealidad
Multicolinealidad
8.1. Concepto y causas 8.2. Multicolinealidad exacta: efectos 8.3. Multicolinealidad aproximada: efectos 8.4. Detección de la multicolinealidad 8.5. Soluciones
•^
Caso 1: variables explicativas ortogonales.
-^
Caso
y^
muestran
una
correlación
creciente
entre
las
dos
variables explicativas
Î
colinealidad o multicolinealidad entre las
variables explicativas.
(^
)^
1
−
⎡^
⎤^
⎡^
⎢^
⎥^
⎢^
⎣^
⎦^
⎣^
⎡^
⎢^
⎥^
⎣^
X'X
X'X
X'X^ 0.
⎡^
⎢^
⎣^
⎡^
⎤^
⎡^
⎢^
⎥^
⎢^
⎣^
⎦^
⎣^
•^
Existe multicolinealidad:
Si existen relaciones lineales entre las variables explicativas
Si
existe,
al
menos,
una
relación
lineal
aproximada
entre
las
columnas de la matriz X (al menos una de las columnas de la matrizX es aproximadamente combinación lineal de otra)
-^
La multicolinealidad puede ser:
»^
Perfecta o exacta »^
Aproximada
•^
Si existe multicolinealidad:^ –
Las varianzas muestrales de los coeficientes MCO estimadosaumentan de forma drástica con el incremento de la colinealidadentre las variables explicativas.
-^
Mayor
covarianza
entre
las
variables
explicativas
conduce
a
mayores covarianzas muestrales de los coeficientes MCO.
-^
Pequeñas variaciones en los datos pueden producir variacionessustanciales en los coeficientes MCO.
8.2. Multicolinealidad exacta: efectos^ •
Se dice que hay colinealidad exacta cuando el vector de datos deuna
o
más
variables
explicativas
es
combinación
lineal
de
los
restantes.
-^
Es decir, cuando el coeficiente de determinación, de al menos unavariable explicativa por las restantes, vale uno.
-^
En este caso: al menos una columna de la matriz X es combinaciónlineal de las restantes y por lo tanto la matriz X no tendrá rangocompleto por columnas:
-^
(X’X) sigue siendo cuadrada de dimensión k pero su rango es menorque k
Î
el sistema de ecuaciones normales tiene menos de k
ecuaciones y exactamente k incógnitas
Î
el sistema es compatible
indeterminado: existen muchas soluciones.
(^
)^
1
(^
)^
0
no existe
r^
k^
−
<^
⇔
=^
⇔
X
X'X
X'X
•^
Supongamos que:
-^
Siempre es posible ordenar las variables explicativas del modelo ylas columnas de X de forma que:
-^
Las columnas de la segunda caja de X son combinaciones linealesde las columnas de la primera caja:
(^
r^
r^
k
=^
X
[^
]^
(^
| r
s^
k^
r^
r r^
r
=^
−
=^
=
X
X
X
X
[^
]^
[^
]
donde
|^
=
|
s^
r^
r^
r^
r^
r
=^
=^
=
X
X W
X
X
I^
W
X Z
Z
I^
W
•^
Sustituimos
en el modelo:
•^
Cuando
hay
colinealidad
exacta
no
se
pueden
estimar
los
parámetros del modelo sino sólo combinaciones lineales de ellos quereciben el nombre de
funciones estimables
r
X
X Z
donde
r^
r
=^
=
Y = X
β^
+ u =
X Z
β^
+ u
X
δ
+ u
δ^
Z
β
3
2
1
1
3
9
2
1
2
2
6
4
1
3
5
15
6
1
4
7
21
8
1
5
9
27
10
1
6
6
18
12
r^
s
=^
=
⎛^
⎞^
⎛^
⎞
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
=^
=
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎜^
⎟^
⎜^
⎟
⎝^
⎠^
⎝^
⎠
X^
X
s^
r
X
X W
⎛^
⎜^
⎜^
⎜^
⎝^
W
[^
]
[^
]
[^
]
[^
]
dondedonde
| |
|
|
r^
s
r^
r
r^
r r^
r
r
= =
Y = X
β^
+ u
Y = X
X
β^
+ u
Y = X
X W
β
+ u
Y = X
I^
W
β
+ u
Y = X Z
β^
+ u
Z
I^
W
Y = X
δ
+ u
δ^
Z
β
=^
⎛^
⎜^
⎜^
⎜^
⎝^
Z
1 2
5
3
4
=^
β^23
β^
β^
⎛^
⎜^
⎜^
⎜^
⎝^
δ
8.3. Multicolinealidad aproximada:
efectos
•^
El caso más frecuente en la mayoría del trabajo econométrico es elde multicolinealidad alta pero no exacta.
-^
El
principal
efecto
de
la
multicolinealidad
es
el
aumento
de
las
varianzas de los estimadores de los coeficientes de regresión.
-^
Las estimaciones son poco precisas y se hace difícil conocer quévariables son explicativas y cuáles no lo son porque los contrastesson poco potentes.
-^
La multicolinealidad no afecta a la capacidad de determinación delmodelo ni a las predicciones. Sólo se hace más difícil el análisisestructural.
•^
Aplicando la fórmula para invertir matrices particionadas, el términode la esquina superior izquierda de
( X’X
es:
'^
'
'^
'
i^ i
i^
i
i^ i
i^
i
x x
x x ⎛^
⎞
= ⎜
⎟
⎝^
⎠ X
X'X
X
X X
(^
)^
(^
(^
)^
1
1
1
1
1
'^
'^
'^
'^
'^
'^
'^
'
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i
x x
x^
x^
x^
x^
x^
x
−
−
−^
−^
−
⎡^
⎡^
⎤^
⎡^
−^
=^
−^
=^
⎣^
⎢^
⎥^
⎢^
⎣^
⎦^
⎣^
X
X X
X
I^
X
X X
X
M
M
i
•^
Por lo tanto:
-^
Donde
es la suma de cuadrados de los residuos de la
regresión de la i-ésima variable explicativa con respecto a las otras k-1 variables explicativas.
-^
Calculemos la SCR
:i
•^
Por lo tanto:
(^
)^
2 '
ˆ i
i^
i^
i
V
x^
x σ
β^
=^
M
' i^
i^
i
x^
x M
(^
)^
(^
(^
1
1
'^
'^
'^
'
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i
x^
x^
x^
x^
x
−^
−
−^
=^
−^
=^
−^
i^
i^
i^
i^
i^
i
e =
X
X
X X
X
I^
X
X X
X
M
(^
'^
'^
'^
'
i
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i^
i
SCR
x^
x^
x^
x^
x^
x
=^
=^
=^
e e
M
M
M M
M
(^
)^
2
ˆ i
i
V
σ SCR
β^
=
•^
Se
puede
encontrar
una
relación
con
R
2 i^
(coeficiente
de
determinación de las regresiones auxiliares):
-^
El valor de la varianza aumenta considerablemente para valores deR
2 i^
altos.
Î
conforme aumenta la colinealidad
Î
aumenta
(^
)
(^
)^
(^
)
2
2
2
2
1
ˆ
1
i^
i^
i
i
i^
i^
i
SCR
SCT
R
V
SCR
SCT
R
σ
σ
β
=^
−
=^
=^
−
(^
) ˆ i V
β
•^
Efectos:
- Cuanto
más
multicolinealidad
exista
menos
precisos
serás
los
estimadores. Incluso aumentando el número de observaciones, ya queesto puede provocar incluso cambios de signos en los estimadores o quetengan valores poco creíbles.
- Obtendremos un intervalo de confianza muy amplio lo cual aumenta la
posibilidad de aceptar hipótesis falsas.
- Las covarianzas suelen ser elevadas y negativas. 4) Pequeños cambios en los datos pueden producir grandes cambios en los
estimadores de los parámetros.
- Al
efectuar
contrastes
individuales
se
acepta
la
H
0
pero
al
realizar
contrastes conjuntos se rechaza H
- En cuanto a la precisión, la capacidad predictiva del modelo no se ve
afectada
por
la
presencia
de
multicolinealidad,
siempre
que
esa
multicolinealidad se mantenga en el período de predicción.