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Asignatura: Bioestadística, Profesor: Mª Carmen Carollo Limeres, Carrera: Biología, Universidad: USC
Tipo: Apuntes
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¡No te pierdas las partes importantes!
M. Carmen Carollo Limeres Pedro Faraldo Roca M. Angeles Fernández Fernández
En muchas ocasiones nos encontramos con situaciones en las que nos interesa analizar conjuntamente dos características cuantitativas de la población.
Propiedades de la función de distribución :
F^ (^ ,^ )^1 F^ (^ ,^ )^0 F x ( ,^^ )^ F^ (^ ,^ y )^ ^0 F x y ( ,^ ) es no decreciente con respecto a cada una de las componentes. F x y ( ,^ ) es continua por la derecha con respecto a cada una de las componentes.
Función de masa de probabilidad : Es el conjunto de valores que toma la variable junto con sus respectivas probabilidades.
.. 1 1 1 1
1
s r r s i ij j ij ij j i i j
p p p p p
En un estudio dirigido a investigar el efecto de la presencia de una gran planta industrial, sobre una pequeña población de invertebrados en un río que atraviesa la planta, se observaron los invertebrados aguas arriba y aguas abajo. Se obtuvieron los siguientes datos.
Especies A B C D E F G Aguas arriba 37 12 6 18 7 6 0 Aguas abajo 9 3 7 0 0 6 3
Obtener las distribuciones marginales de las variables "aguas" y "especie" ¿La especie es independiente del lugar ( aguas arriba o aguas abajo)?
Si X e Y son variables discretas, diremos que son independientes si y sólo si:
pij P X ( x Yi , y (^) j ) P X ( xi ) ( P Y y (^) j ) pi (^). p. (^) j ( x (^) i , yj )
De la anterior definición se deduce que si X e Y son independientes, entonces:
P x ( 1 (^) X x 2 (^) , y 1 (^) Y y 2 (^) ) P x ( 1 (^) X x 2 (^) ) ( P y 1 (^) Y y 2 )
En el tema anterior hemos visto cómo contrastar la hipótesis de independencia a partir de una muestra aleatoria (estadístico Chi-cuadrado de independencia).
la varianza de la variable aleatoria Z 2 X 4 Y 8
Calcular la varianza de la variable aleatoria Z^ ^3 X^ ^2 Y^ ^5
El objetivo de un modelo de regresión es tratar de explicar la relación que existe entre una variable dependiente Y (variable respuesta) y un conjunto de variables independientes X 1 ,..., X n (variables explicativas o covariables). En un modelo de regresión lineal simple tratamos de explicar la relación que existe entre la variable respuesta Y y una única variable explicativa X. Supondremos que las dos variables son de tipo contínuo.
Ejemplo: En la muestra de la miel vamos a ver si existe relación lineal entre la acidez libre (AcLib) y la acidez total (AcTot). Para ver si un modelo de regresión lineal tiene sentido, comenzamos dibujando un diagrama de dispersión.
La covarianza puede interpretarse como una medida de la relación lineal entre X e Y.
2
Interpretación del signo de la covarianza muestral:
RELACIÓN DIRECTA S (^) XY 0 , X Y
+^ _
_ +
+^ ^ x y ,
+
1 1 XY (^ ,^ )^ (^ i )(^ j ) i j i j i j
s C X Y x x y y x y x y n n
(^) (^)
RELACIÓN INVERSA S (^) XY 0 , X Y
S (^) XY (^0) NO RELACIÓN
Para nuestro ejemplo r = 0.960. Como es positivo, esto indica que existe una relación directa entre las variables acidez total y acidez libre. Esta relación directa ya se podía ver en la nube de puntos.
Modelo de regresión lineal Se llama función lineal de una variable, a una función de la forma Y X
: ordenada en el origen (valor de Y cuando X=0) : pendiente (cambio de Y al aumentar X en una unidad) : error aleatorio
Para hacer una estimación del modelo de regresión lineal simple, trataremos de buscar una recta de la forma: Y ˆ a bX de modo que se ajuste a la nube de puntos.
Ejemplo
Los estadísticos descriptivos anteriores para las variables AcTot y AcLib (acidez total y acidez libre) son:
2 2
37.998, 33.8727, 90.786, 85.459, 9.5282 9.24439.
X Y X Y
x y S S S S
La recta de regresión ajustada es la siguiente:
Y ˆ^ 4.469 0.990 X ,
donde Y es la acidez total y X es la acidez libre.
Para calcular la recta de regresión de X sobre Y se hace aproximando X por , del modo
X ˆ a bY
donde^ ,^ XY 2 , Y
a x by b S S
Es totalmente incorrecto despejar X de la ecuación Y ˆ^ a^ bX para calcular la recta de regresión de X sobre Y.
