Tema 4. Variable aleatoria continua , Apuntes de Biología

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Tema 4. Variable aleatoria

continua

Mª del Carmen Carollo Limeres Pedro Faraldo Roca

4.- Variable aleatoria continua

4.1 Variable aleatoria continua. Medidas características. 4.2 Algunas distribuciones continuas. Distribución Uniforme Distribución Exponencial Distribución Normal

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua X viene determinada por su función de densidad. La función de densidad de X se define cono una función

f: R R integrable que verifica:

f (t) ≥ 0

P (a ≤ X ≤ b) = si a < b

Variable aleatoria continua

P (a ≤ X ≤ b) = si a < b

F es continua

f(x)=F´(x)  x  R

Función de distribución

En general F(x)= P (X ≤ x)

En el caso continuo:

Una variable aleatoria continua, X, tiene por función de densidad la siguiente:

1.Encuentra k para que f(x) sea función de densidad. 2.Representa gráficamente la función de densidad. 3.Halla la función de distribución de la variable X. 4.Halla la media, la varianza y la desviación típica de X. 5.Calcula las probabilidades siguientes: P(0< X  1); P(X > 3); P(X< 2); P(X  1’5).

2 ( ) 0 6 36 0

kx (^) si x f x en otro caso

 (^)     

Varianza y desviación típica:

  2 2 2  X  Var X ( )  E ^ ( X   X )   (^)  R x  X f ( ) x dx

2  (^) X    X

Se puede comprobar que:

Var X ( )  E X ( )^2  (^)   X ^2  (^)  Rx f^2 ( ) x dx (  X )^2

La varianza verifica las mismas propiedades que en el caso discreto.

Para establecer el precio a pagar por cada litro de leche, una central lechera ha dividido, atendiendo al contenido de materia grasa por litro en %, la leche recibida en su factoría, en tres categorías: Categoría l: contenido de materia grasa inferior al 4% Categoría 2: contenido de materia grasa entre el 4% y el 5% Categoría 3: contenido de materia grasa superior al 5% Por estudios anteriores, se sabe que el porcentaje de materia grasa por litro de leche procesado por esta empresa es una variable aleatoria, X, con la siguiente función de densidad:

Sabiendo que el precio de un litro de leche, pagado por esta empresa, es de 0.20 € para la categoría 1, 0.30 € para la categoría 2 y 0.40 € para la categoría 3, Obtener el precio medio del litro de leche pagado por la empresa láctea.

f ( ) = x

2(6 - x) 9

si 3 < x < 6 0 en otro caso

 





Uniforme continua

Una variable aleatoria X que toma valores en un

intervalo [a, b] diremos que tiene una distribución

uniforme X ~ U [a, b] si su función de densidad es:

(^1) si a x 6 ( ) = (^) b-a 0 en otro caso

f x

 (^)     

Uniforme continua

Su función de distribución es:

Su media y varianza son: E(X) = μ = ( a + b ) / 2 ; Var(X) = ^2 = ( b − a )^2 / 12

Distribución exponencial

La función de distribución toma la forma:

La media y la varianza son:

Distribución exponencial

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos es una variable continua con función de densidad:

¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? ¿Cuál es la vida media de este tipo de marcapasos? ¿Cuánto vale la varianza para el tiempo de vida?

/ ( ) 0 16 0

e t f t si^ t en otro caso

     

Una variable aleatoria X tiene distribución Normal de media μ y varianza ^2 si su función de densidad es:

Función de densidad

Se denotará :

X  N(μ, ^2 )

DISTRIBUCIÓN NORMAL

2 ( ) 1 (^22 ) 2

x f x e x

   

^       

Propiedades de la función de densidad

• Depende de μ y , que coinciden con la media y la desviación típica respectivamente.
• Tiene forma de campana.
• Es simétrica respecto a x = μ
• μ es también la moda y la mediana
• Tiene un máximo en x = μ
• Los puntos de inflexión son μ- y μ+
• El eje de abscisas es una asíntota
• Cuanto mayor es , mayor es la dispersión y por tanto la gráfica es más aplastada