tema de probabilidad, Diapositivas de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

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EXPERIENCIA DETERMINISTA: aquella que pariendo de las mismas condiciones iniciales, tenemos la certeza de lo que va a suceder.

EXPERIENCIA ALEATORIA : aquella cuyo resultado depende del azar.

Por ejemplo: lanzar una dado equilibrado al aire.

SUCESO ALEATORIO : suceso asociado a una experiencia aleatoria.

Por ejemplo:

C: obtener cara +: obtener cruz

ESPACIO MUESTRAL : conjunto de posibles resultados de la experiencia aleatoria

E={C,X}

1.EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS1.EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS

1.1 OPERACIONES CON SUCESOS

UNIÓN : A  B , ocurren A ó B

INTERSECCIÓN : A  B ocurren A y B

DIFERENCIA : A - B ocurre A, pero no B

SUCESO COMPLEMENTARIO : ocurre lo contrario de A

SUCESO INCOMPATIBLES : A  B= cuando no tienen elementos en común

LEYES DE MORGAN :

¯ A = E − A

A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B

2. AXIOMAS DE PROBABILIDAD Y TEOREMAS

Axioma: afirmación evidente que no precisa demostración

y en la que se basa la probabilidad. Cualquier función de

probabilidad debe cumplir estos axiomas.

f (^) r ( S )= f^ ( N^ S ) N lim →∞^ f^ ( N^ S )= P ( S )

Frecuencia f(S)= nº de veces que ocurre el suceso S

Frecuencia relativa

Probabilidad de que ocurra S

Axioma 1:

p ( S )≥0, ∀ S ∈ E

Axioma 2:

si A ∩ B =∅

P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )

Axioma 3:

P ( E )= 1

Por ejemplo: lanzar tres monedas equilibradas al aire.

C: obtener cara X: obtener cruz

ESPACIO MUESTRAL :

E={CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}

Si llamamos A al suceso obtener cruz en la primera moneda

P ( A )= casos^ favorables casos posibles

=

{ XCC , XCX , XXC , XXX } {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX }=^

4 8 =^

1 2

3. REGLA DE LAPLACE

Si E = x 1 , x 2, ... , xk P ( x 1 )= P ( x 2 )=...= P ( xk ) y S un suceso cualquiera entonces:

P ( S )=casos favorables casos posibles

Por ejemplo: sacar una bola de esta urna

Llamamos V a sacar una bola verde

R a sacar una bola roja N a sacar una bola negra

ESPACIO MUESTRAL :

P ( V )=

casos favorables casos posibles =^

10 P^ (^ R^ )=^

casos favorables casos posibles =^

P ( N )=

casos favorables casos posibles =^

FÓRMULAS PARA LA PROBABILIDAD

CONDICIONADA

P ( A | B )=

P ( A ∩ B )

P ( B )

SI P(A)=P(A|B) entonces A y B son INDEPENDIENES

SI P(A) ≠ P(A|B) entonces A y B son DEPENDIENTES

Casos posibles

P ( B | A )=

P ( A ∩ B )

P ( A )

Casos favorables

R: obtener una bola roja

Probabilidad de obtener un número par (PAR) sabiendo

que ha salido roja (R)

2

1

4

2 P ( PAR R )  

1 1

1 P ( PAR N )  

1 22 3 4 5 6 7 8

N: obtener una bola negra

Probabilidad de obtener un número par (PAR) sabiendo

que ha salido negra (N)

Por ejemplo :

EXPERIMENTO ALEATORIO : lanzar tres monedas

ESPACIO MUESTRAL: E={CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}

Si llamamos A al suceso obtener cruz en la primera moneda

P(A)=

Si llamamos B al suceso obtener exactamente dos cruces

La probabilidad de obtener cruz en la primera (A) sabiendo que han salido exactamente dos cruces (B) se representa por P(A|B)

P(A|B)=

casos favorables casos posibles

= { XCC , XCX , XXC , XXX^ } {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX }

= 4 8

= 1 2

casos favorables casos posibles

= {^ XCX , XXC^ } { CXX, XCX, XXC }

= 2 3

= {^ A^ ∩^ B^ }

{ B }

Ahora los casos favorables y posibles se reducen

4.1 TABLAS DE CONTINGENCIA

Son un método eficaz para resolver

problemas de probabilidad condicionda.

Se trata de tablas de doble entrada que nos

ayudarán a ordenar la información cuando

observamos dos características.

PROBABILIDAD DE QUE UN COCHE SEA DE

LA MARCA SET SABIENDO QUE HA TENIDO UN ACCIDENTE:

SET VIA ADI TOTALES

AC 400 200 400 1.

NO AC 49.600^ 19.800^ 29.600^ 99.

TOTALES 50.000 20.000 30.000 100.

P ( SET | AC )=

casos favorables ( SET ∩ AC )

casos posibles ( AC )

=

400 1000 =^

2 5

SET VIA ADI TOTALES

AC 400 200 400 1.

NO AC 49.600^ 19.800^ 29.600^ 99.

TOTALES 50.000 20.000 30.000 100.

P ( AC )= 1000100000 = 0, 01

P ( AC | SET )= 50000 400 = 0,

P ( AC | VIA )= 20020000 = 0, 01

P ( AC | ADI )= 40030000 = 0, 0133 ¿ ¿ {^ ¿ {¿ ¿ ¿

Para saber cuál es la marca más segura , calculamos la probabilidad de accidente (AC) y la comparamos con la probabilidad de accidente (AC) condicionada a cada la marca.

V R N

TOTAL

ES

1

2

TOTAL ES

2

3 1 4

2 5 3 10

2 2 6

0

P ( R )=

, P ( N )=

, P ( V )=

P ( 1 | R )=

2 5

, P ( 1 | V )=

2 2

= 1, P ( 1 | N )=

2 3

, P ( 2 | R )=

3 5

,

P ( 2 | V )=

0 2

= 0, P ( 2 | N )=

1 3

, P ( R | 1 )=

2 6

=

1 3

, P ( V | 1 )=

2 6

=

1 3

Por ejemplo:

EXPERIMENTO ALEATORIO: Extraer bolas de la siguiente

urna

V R N

TOTA

LES

1 2 2 2 6

2 0 3 1 4

TOTA LES 2 5 3 10

P ( R )=

P ( N )=

P ( V )=

P ( R | 1 )=

, P ( V | 1 )=

, P ( N | 1 )=

P ( R | 2 )=

, P ( V | 2 )=

= 0, P ( N | 2 )=

NINGÚN COLOR ES INDEPENDIENTE DE LOS NÚMEROS