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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CURSO DE NIVELACIÓN 201 6 – 1 S
TALLER 4 – (07H00)
Guayaquil, 18 de junio de 2016
S O L U C I Ó N Y R Ú B R I C A
Tema 1 (2 0 puntos) Dado el conjunto referencial Re^ =^!^ y la siguiente regla de
correspondencia f ( x ) =
7 − x + 6
x
2
. Si se define el predicado p ( x ) , determine el
conjunto de verdad Ap x
.
p ( x ): f ( x ) es un número real.
Solución:
Hay que analizar las dos restricciones que presenta la expresión dada. El radicando debe ser
positivo o cero, pero también debe tomarse en cuenta que el denominador no debe ser cero.
Por lo tanto, debe cumplirse que:
7 − x + 6 ≥ 0 ∧ x
2
x + 6 ≤ 7 ∧ ⎡( x + 4 ) ( x + 10 ) ≠ 0
( −^7 ≤^ x^ +^6 ≤^7 ) ∧^ ⎡( x^ +^4 ≠^0 ) ∧^ ( x^ +^10 ≠^0 )
( −^13 ≤^ x^ ≤^1 ) ∧^ ⎡( x^ ≠^ −^4 ) ∧^ ( x^ ≠^ −^10 )
∴ Ap ( x ) = ⎡− 13 , − 10
) ∪^ (− 10 , −^4 ) ∪^ ( −^4 ,^1 ⎤
Rúbrica:
Resuelve correctamente la inecuación con valor absoluto asociada al
radicando.
Resuelve correctamente la inecuación cuadrática del denominador.
Realiza correctamente la intersección de intervalos y concluye sobre el
conjunto de verdad.
8 puntos
8 puntos
4 puntos
(^ (
Tema 2 (2 0 puntos) Considere la gráfica de una función f :! "!.
a) Complete los seis recuadros vacíos para obtener una posible regla de correspondencia
de la función f.
b) Bosqueje la gráfica de la función g :! "! , cuya regla de correspondencia es
g x ( ) = f 2 x ( ) .
Solución:
a) La función lineal del primer tramo debe ser de la forma f (^) ( x ) = ax + b. Puesto que
P
1
( −^1 ,^0 ) y^ P 2
( −^2 , −^2 ) pertenecen a la función, entonces:
a =
y 2
− y 1
x 2
− x 1
− 2 − (^) ( − (^1) )
Se concluye que la pendiente de f en este primer tramo es a^ =^2. Como se observa que
P
1
( −^1 ,^0 ) ∈^ f^ , se puede^ establecer la siguiente ecuación lineal^0 =^2 ( −^1 ) +^ b
. Por lo
que su intercepto con el eje Y se da en b = 2.
En forma análoga, para la función lineal del segundo tramo, tomando en consideración los
puntos P 3
( ) y P 4
( ) :
a =
y 4
− y 3
x 4
− x 3
Como se observa que P 3
( ) ∈ f , se puede establecer la siguiente ecuación lineal
⎡ 0 = (^) (− 1 ) ( (^3) ) + b ⎣
. Por lo que su intercepto con el eje Y se da en b = 3.
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
1
2
3
4
Tema 3 (2 0 puntos) Cierto propietario tiene 40 m de alambre para cercar el nuevo jardín (de
forma rectangular) que tendrá su casa. Solamente debe
cercarla por tres de sus lados ya que el cuarto lado limita
su casa.
Sea x una de las dos dimensiones rectangulares del
jardín:
a) Escriba una función matemática que represente el
área del jardín A ( x ).
b) Utilizando una escala adecuada y etiquetas claras,
bosqueje la gráfica de la función A en un plano
cartesiano.
c) En base a la expresión matemática obtenida en el
literal a), determine analíticamente las dimensiones
del cerco para lograr el área máxima de este jardín.
Solución:
a) Sea x la dimensión de la altura, el área de la
superficie de un rectángulo es igual a la longitud de su
base por la longitud de su altura. Como se conoce que
el propietario dispone de 40 m , entonces su base
mide ( 40 − 2 x ) m.
Esto significa que la función solicitada tiene la siguiente regla de correspondencia:
A ( x ) = ( Base ) ( Altura ) = ( 40 − 2 x ) ( x ) = − 2 x
2
2
( −^20 x^ +^100 ) +^200
A ( x ) = − 2 ( x − 10 )
2
b) La gráfica de la función se debe bosquejar solamente en el primer cuadrante del plano
cartesiano:
c) Desde el punto de vista gráfico y utilizando una buena escala para la elaboración de la
función cuadrática, se puede notar que el área máxima correspondería al vértice de la
parábola. Dicho punto es V ( 10 , 200 ).
Desde el punto de vista analítico, también se puede concluir sobre sus coordenadas a
partir de la forma canónica de la función A , o determinar las coordenadas del vértice:
V −
b
2 a
4 a
⇔ V −
⇔ V ( 10 , 200 )
Área del jardín
x
y
00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
25
50
75
100
125
150
175
200
x (^) x
40 – 2 x
∴ El área máxima se da cuando la base del rectángulo mida 20 metros y la altura mida
(^10) metros. En este caso se obtendría un área de 200 metros cuadrados.
Rúbrica:
a) Especifica correctamente la función del área A de la superficie del cerco. 6 puntos
b) Bosqueja correctamente la gráfica de la función A en el primer
cuadrante.
8 puntos
c) Determina correctamente las dimensiones del cerco para conseguir el
área máxima.
6 puntos
Tema 4 (2 0 puntos) Dada la función cuadrática f :! " Y expresada en forma canónica
f x
= x + 1
2
− (^1) :
a) Escriba la regla de correspondencia de la función f en forma factorizada.
b) Especifique los intervalos de monotonía de la función f.
c) Defina un conjunto Y para que la función f sea sobreyectiva.
Solución:
a) f ( x ) = x
2
f ( x ) = x
2
f ( x ) = x ( x + 2 )
b) La gráfica sería:
f es estrictamente decreciente en el intervalo −∞ , − 1
.
f es estrictamente creciente en el intervalo − 1 , +∞
.
c) El rango de la función se lo puede obtener directamente de la función que está expresada
en forma canónica. Esto es, rg f = ⎡− 1 , +∞ ⎣
.
Rúbrica:
a) Lleva correctamente la expresión cuadrática a la forma factorizada. 7 puntos
b) Especifica correctamente los intervalos de monotonía de función f. 8 puntos
c) Determina correctamente el rango de la función f. 5 puntos
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
5
6
7
