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BREVE NOTICIA DEL MÉTODO DE LA PARÁBOLA RECTÁNGULO.
VARIABLES DE CÁLCULO
Definamos el significado de algunos conceptos que utilizaremos:
Canto útil. “d” .- Es la distancia existente entre el borde superior de la sección y el centro de gravedad de la armadura inferior.
Recubrimiento constructivo. “r”.- Consiste en la porción de hormigón que recubre y protege la superficie de las armaduras respecto al ambiente exterior.
Recubrimiento de cálculo. “c”.- Es la distancia desde el centro de gravedad de la armadura considerada al borde exterior de la superficie de hormigón.
Separación entre armaduras “S”.- es la distancia libre entre barras. Entre ellas debe pasar el hormigón, para ello deben cumplirse una serie de valores mínimos:
2 cm S≥ Φ 1,25 Tamaño máximo del árido (TMA)
En los cálculos que realizaremos interviene el canto útil, no el canto de la pieza, pues la parte inferior de hormigón, es decir el recubrimiento de cálculo estará fisurado y no aporta resistencia a tracción.
Llamamos A1 a la armadura inferior y A2 a la superior, el canto útil de la armadura inferior es d y el de la superior es d2.
Variables mecánicas:
Acero
Límite elástico del acero fyk , es la tensión que admite la clase de acero de la que está constituida una barra.
Básicamente se utilizan dos tipos:
B-400 cuyo límite elástico es de fyk=400 MPa.
B-500 cuyo límite elástico es de fyk=500 MPa
Resistencia característica de cálculo del acero.- fyd=
Es el resultado de dividir el límite elástico del acero entre un coeficiente de minoración de resistencia.
Para una situación permanente en el acero, este coeficiente es , por tanto el valor de las resistencias características de cálculo de los siguientes tipos de acero son:
B-400s fyd=
B-500s fyd=
Área de la sección de acero = As
Capacidad mecánica del acero Us=fyd.As
Existirá la capacidad mecánica de acero de las barras inferiores Us1 y de las superiores Us2.
Hormigón.
Límite elástico del hormigón fck , es la tensión que admite el hormigón del que se ha ejecutado la pieza.
La nomenclatura viene dada por las siguientes siglas HA-25, HA-30, que incida que los límites elásticos son 25 MPa y 30 MPa respectivamente.
Resistencia característica de cálculo del hormigón.- fcd=
Es el resultado de dividir el límite elástico entre un coeficiente de minoración de resistencia
Cuantía mecánica:
Relaciona las capacidades mecánicas del acero y del hormigón.
ω = Us / Uo
Tendremos valores para la armadura superior y para la inferior.
ω 1 = Us1 / Uo
ω 2 = Us2 / Uo
Viene fijada por distintos apartados de la normativa y sirve entre otras cuestiones para controlar el tipo de deformación.
Normalmente el valor de la cuantía mecánica estará en el ámbito:
0,35< ω <0,
Unidades:
La tensión o resistencia del material se mide en MPa
1 MPa = 1 N/mm² = 0,001 KN/mm² = 0,1 KN/cm² = 1000KN/m²
Momento específico “μ”:
Es el cociente resultante de dividir el momento de cálculo “Md” (^) (mayorado) que actúa en una sección, entre el producto de la capacidad mecánica del hormigón “Uo” y el canto útil de la sección de hormigón “d”.
Observando las dimensiones de los factores deducimos que se trata de un valor adimensional.
→ Momento específico pequeño, implica poca armadura.
→ Valores del momento específico para forjados, pilares y muros
→ Valor del momento específico óptimo para vigas.
En cualquier caso, para predimensionar vigas no se debe utilizar un Momento específico superior a μ=0,375.
Predimensionaremos para un
→como Uo=fcd.b.d → → al ancho “b” le
daremos en principio un valor de d/3 para vigas descolgadas, de esta manera obtenemos el valor del canto para un momento Md.
Axil específico .”V”
Es la relación existente entre el axil de cálculo, “Nd” y la capacidad resistente del hormigón, “Uc”
V=
Ejemplo de predimensionamiento.
Se trata de una viga biempotrada de seis metros de longitud que soporta una carga continua mayorada de 50 KN/m. El hormigón es HA-.
La dimensión menor mide 25 cms, predimensionarla para las situaciones de
1º.- Viga de canto.
2º.-Viga embebida en forjado.
El momento flector máximo es de manera que
El valor del fcd del hormigón es KN/m²
1.- Viga de Canto. b=0,25 m.
ECUACIONES DE EQUILIBRIO
En un estado de flexión pura, la rebanada está solicitada solamente por un momento flector, estudiaremos el comportamiento de esa rebanada de manera que se fisure en el dominio III.
La armadura de montaje no se suele tener en consideración a efectos de cálculo.
La viga se fisurará para un determinado momento de cálculo o momento de rotura Md.
En función de los alargamientos y acortamientos ( , controlaremos el dominio de deformación en el que se encuentra la viga a la hora de fisurarse.
Los dominio de deformación en los que nos moveremos son los de la figura.
Si nos fijamos en la razón de semejanza existente entre los triángulos abc y ade, tendremos la siguiente expresión:
Por tanto la profundidad de la fibra neutra es x=0,6 d
PARÁBOLA RECTÁNGULO.
Si la viga está rompiendo a flexión simple provocada por un momento positivo, el hormigón trabaja a compresión en la parte superior.
Sustituyamos todo el volumen de compresiones de la parábola por una fuerza Bc. (bloque de compresiones) ubicada en el centro de gravedad de la superficie de la parábola. Equilibremos sumando fuerzas horizontales y los momentos que equilibran al de la flexión simple M1.
∑ F=0→U 1 =Bc
∑ M=0→Bc.z=M 1
Para obtener la posición de Bc, tendríamos que utilizar los teoremas de Pappus Guldin, lo que hace que el proceso matemático tenga cierta complicación.
Torroja hace una simplificación, consiste en asimilar la superficie de la parábola a la de un rectángulo y la llama “ Método del Momento Tope ”.
(1)∑ F=0→b.y.fcd=U 1
(2)∑ M=0→b.y.fcd.(^ ) =M 1
Nuestras incógnitas son “U 1 ”, capacidad mecánica del acero e “y”, que es la profundidad a la que se encuentra la fibra neutra.
A.- Dividimos la ecuación (^) (1) entre la capacidad mecánica del hormigón,
Uc=fcd.b.d y tenemos → → que como vimos anteriormente
es la cuantía mecánica. → =ω
B.-Dividimos la ecuación (^) (2) entre la capacidad mecánica del hormigón multiplicado por el canto útil “d” y tenemos;
→ = → ω (1- ) = → ω²- 2 + 2
Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos que:
ω = 1- , expresión que nos da la cuantía mecánica en función del
momento específico.
Resumiendo : A partir de momento flector que actúa sobre la sección conocida y dado que sabemos sus dimensiones y características del hormigón, podemos
obtener el Momento específico ; con el Momento específico,
obtenemos la cuantía “ω” y a partir de ella podremos obtener la sección de acero precisa para armar la viga.
. Para valores menores rompe en el dominio II. . Rompe en el dominio III; para valores mayores rompe en el IV.
Nuestra viga tiene un ω = 0,23 → Dominio III.
Como ω = 1- Despejamos y obtenemos que
Por tanto para :
ω = → → → Rompe en el dominio II
ω = → → → Rompe en el dominio III
Valores de no deben admitirse, por ello a este método se le llama MOMENTO TOPE.
Si el momento específico saliese muy pequeño, el valor de la cuantía mecánica de acero precisa, “ω” sería bajo y por tanto la viga estaría muy poco armada. OJO, pues no nos debemos fiar; además existen unos valores de cuantía mecánica mínima para que no exista peligro de accidente.
A continuación señalamos un extracto de las cuantías geométricas mínimas que señala la EHE 2008 en su tabla 42.3.5.
Tabla 42.3.5. Cuantías geométricas mínimas, en tanto por 1000, referidas a la sección total de hormigón (6) “Ac”
Tipo de elemento estructural Acero con fy = 400 N/mm2 Acero con fy = 500 N/mm
Pilares 4,0 4,
Vigas(4) 3,3 2,
(4) Cuantía mínima correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la cara opuesta una armadura mínima igual al 30% de la consignada.
B.- Realicemos de nuevo el ejercicio anterior, pero esta vez modificando las dimensiones de la sección de hormigón.
La sección de la figura soporta el mismo momento flector de 60 KN.m, el hormigón utilizado también es el mismo, HA-20.
Obtener la armadura precisa para soportar el momento flector indicado.
1º.- Vamos a obtener la capacidad mecánica de la nueva sección de hormigón.
Uc = fcd.b.d= Vemos que es menor que en A.
2.- Veamos el valor del momento específico.
(OJO). > 0,35→Estamos en el dominio IV, es decir
corremos el riesgo de rotura frágil.
Para ayudar al hormigón, colocaremos armadura en la parte superior de la sección de hormigón de manera que la armadura trabaje a compresión, (error conceptual y de diseño, pero admitido por la norma).
La armadura a compresión ha de ser al menos el 30% de la sección de hormigón “Ac”, con un mínimo de 2Ф12.
Además la armadura a compresión está limitada de manera que no podemos colocar la que queramos. Se ha de cumplir que:
Us2≤0,85.fcd.y.b→ Si sustituimos los siguientes valores:
Y=0,85x
X=0,625d
D=0,9 h
Ac=b.h
Valores límites del dominio, obtenemos un momento específico máximo de
Lo que soporta la sección de hormigón sin necesidad de armadura a compresión está limitado por el momento Tope de manera que si el
límite del valor del momento específico es = 0,35.
Así mismo tenemos dos zonas de la viga sometidas a importantes tracciones y compresiones, lo que provoca un esfuerzo rasante que puede fisurar la viga por el alma; para evitar que esto ocurra, se ha impuesto una limitación→U 2 0,5 Uc,
por tanto
Éste es el incremento máximo que se debe admitir; esto significa que el máximo momento específico , con el que se ha de trabajar es ; valores superiores a éste, son desmesurados y produciría roturas en la viga por acción del esfuerzo rasante.
Esquema del proceso:
1º.- Obtener la capacidad mecánica de la sección de hormigón. Uc = fcd.b.d
2º.- Obtener el momento específico..
A partir de este valor, estudiar en qué dominio estamos:
,
3º.- Si tenemos menos de 0,07→ armadura de cuantía mínima, 3,
Si sale mayor de 0,35→precisamos armadura de compresión.
= Md-MTope → U 2 = →
