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FLEXION COMPUESTA
La flexión compuesta en secciones de hormigón armado se suele dar en vigas inclinadas, pues los pilares tienen un tratamiento especial.
En las vigas inclinadas, además del momento flector, existe un axil.
Este estado de fuerzas se puede reducir a la existencia de un axil excéntrico.
Llamaremos A 1 a la armadura más traccionada.
El momento que se sustituye por la excentricidad tienen que ser →M=e 0 .N.
“e” es la excentricidad respecto a la armadura más traccionada e= eo+dg
e= +d -
Cuando la sección rompa, el sistema de fuerzas que actúa sobre ella será:
a.- ∑ F=0→Nd=fcd.y.b+U 2 -U 1.
b.- ∑ M=0→Nd.e= (d- )+U 2 (d-d´)
No conocemos los valores de “U 1 ”, “U 2 ” ni de “y”. Es decir tenemos tres incógnitas y solo dos ecuaciones.
Para resolver el problema fijaremos el valor de una de las variables en función de ciertos parámetros, en particular, fijaremos “U 2 ” y obtendremos los valores de “U 1 ” e “y”, de manera que se cumplan ciertas condiciones de cuantías y que esté en el dominio adecuado.
*Dividimos la expresión “a” entre la capacidad mecánica del hormigón
Uc= fcd.b.d
- = → + ω 2 - ω 1 =v, siendo “v” el axil específico; si llamamos
= , y despejando tenemos que ω 1 = + ω 2 - v (“A”)
*Dividimos la expresión “b” entre la capacidad mecánica multiplicada por el canto Uc.d=fcd.b.d.d.
Nd.e= (d- )+U 2 (d-d´)
= + → (1- ) = ; como:
μ = ; = y debido a que =μ,
tenemos que:
)= μ → (“B”)
Estas dos ecuaciones, (“A y B”) engloban las expresiones de la flexión simple y compuesta, pues si no existiera axil, en el lugar de Nd.e se coloca el momento Md.
Todos estos cálculos están en función del valor que le hayamos dado a U 2 y del pre dimensionamiento de la sección de hormigón “b” y “d”.
En base a qué factores elegimos a priori los valores de U2. Se tendrán que cumplir las siguientes condiciones.
U 2 >0,05 Nd
U 2 >0, (Si hay tracción no es preciso colocar armadura)
U 2 > De este modo impediremos que entre en el dominio IV.
U 2 <0,5Uc
A continuación realizaremos una variante del mismo ejercicio, en esta ocasión el axil aumentará hasta el valor de 300 Kn.:
La sección de hormigón es de 0,20 m x 0,50 m armar
La capacidad mecánica es la misma. Uc=13.333x0,20x0,47=1.250 Kn.
Obtengamos la excentricidad precisa e= +d- = +0,47- =0,55 m.
Observar que la excentricidad es menor que en caso anterior.
Propongamos un valor para U 2 → como A 2 >0,0011Ac →
Ac=20x50x0,0011=1,1 cm² → 2 Ф12 cumple y tienen una U 2 = 83,60 Kn
→ = 0,39>0,35 atención
estaríamos en el dominio IV
Como estamos cerca del límite 0,35, aumentamos U 2 y de esta manera haremos que el numerador aumente, así que tomaremos 3 Ф12 que tienen una capacidad mecánica de 125,40 Kn. Veamos cuánto vale el momento específico.
=0,35 →Justo en el límite.
= = 0,45^ → como, ω1= + ω 2 -v
tenemos que ω1= + - =0,
ω 1 = → U 1 =1.250x0,19=238 Kn.
Como U 1 =fydxA 1 →A 1 = = =6,67 cm ²→ 3 Ф12 (hay que comprobar si caben en los 20
cms)
Aun cuando aumenta el axil, disminuye la armadura a tracción, esto se debe a que dentro de ciertos límites el axil de compresión está estabilizando las tracciones provocadas por la flexión.
Por tanto si:
El axil específico “v”<0,40, predimensionaremos con el momento.
El axil específico “v”>0,40, predimensionaremos con el axil.
Hay que tener cuidado; en el caso de que ω 1 sea negativo, quiere decir que el axil es tan potente que hace que la armadura inferior trabaje a compresión. Si se diese este caso las fórmulas anteriormente utilizadas no serían válidas.
A continuación utilizaremos la misma sección, pero el axil será mayor, 400 Kn y el momento flector será bastante menor 20 Kn.m.
Veamos cual es la excentricidad.
e= +d- = +0,47- =0,27 m.
De la expresión despejaremos el valor de U 2 , usando un =0,35 para asegurarnos el dominio III.
= = -7,4 ¡Negativo! Tomaría la armadura
mínima que en cualquier caso he de colocar 2 Ф
Veamos el valor del momento específico.
= =0,23, a continuación obtengamos
la cuantía necesaria
= = 0,28^ →^ como,^ ω1= + ω 2 -v
tenemos que ω1= + - =-0,20; de nuevo negativo, las armaduras
trabajan a compresión, estas fórmulas no se pueden aplicar.
Parece por tanto, que toda la sección trabaja a compresión, en tal caso propondremos que sea el hormigón el que haga todo el trabajo.
No obstante no debemos permitir que el hormigón trabaje por encima del 80% de su capacidad; es más, el propio Torreja propone que no se utilice más del 70% de su capacidad; pues a sí le queda que el momento tope en los dominios IV y V es 0,35 Uc.d.
Flexión compuesta con axil de tracción.
En función de que domine el momento flector o la tracción pueden darse dos casos.
1º.-Aumentan las tracciones y disminuyen las compresiones
e= +d - , el axil N se coloca con signo negativo, pues es una tracción.
Si el valor de la excentricidad “e” es mayor que 0 (+), estaremos en el caso de tracción compuesta.
∑F=0 → Nd=U 1 +U 2 → U 1 =Nd-U 2
∑M=0 → U 2 (d-d´)=Nd.e→ U2=
Sin olvidar las siguientes cuantías mínimas:
A 1 >0,0033Ac
A 2 >0,0033Ac
Veamos un ejemplo.
e= +d - = +0,27- =0,05 m. Positiva, por tanto estamos en tracción compuesta.
Aplicaremos a continuación las expresiones anteriormente obtenidas, con la precaución de introducir los axiles de tracción en positivo, pues son fórmulas específicas para tracción.
U 2 = = → A 2 = =3 cm²→3 Ф
U 1 =Nd-U2=300.1,6-100=380 Kn. →A 1 = =11 cm²→4 Ф
Comprobaremos la armadura por cuantía mínima.
A= 2 cm ² por tanto cumplen los dos valores tomados.
Hay un problema mayor y es que físicamente no caben. Hay que volver a dimensionar la sección
2º.- Si el momento flector es pequeño y el axil de tracción grande, toda la sección trabajará a tracción y por lo tanto estaremos en un caso de flexión compuesta, se da cuando la excentricidad es negativa, e<0.
En este caso utilizaremos las expresiones utilizadas con anterioridad.
ω1= + ω 2 -v
Veamos el valor de la excentricidad.
+0,27- =-0.88 m. → (negativo)→Flexión compuesta.
U 2 =0, pues no precisa armadura a compresión
la cuantía necesaria será
= = 0,15 → como, ω1= + ω 2 -v
tenemos que ω1= + - =0,
ω 1 = → U 1 =720x0,20=144 Kn.
Como U 1 =fyd. A 1 → A 1 = = =4 cm ²→2 Ф
