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Sección Departamental de Estadística e I.O. II Escuela Universitaria de Estudios Empresariales
TEMA 6. VARIABLE ALEATORIA
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria
discreta•Modelos discretos•Distribución de probabilidad de una variable aleatoriacontinua•La distribución Normal•Otros modelos continuos•El Teorema Central del Límite
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Los fenómenos objeto de estudio no se describen en
términos de sucesos ya que esto obliga a formalizarel estudio en la teoría de conjuntos.
Es más cómodo trabajar con números. Por esta razón
describiremos los fenómenos en términos deVariables Aleatorias.
Una VARIABLE ALEATORIA es una característica
observable del fenómeno objeto de estudio. Losdatos son los resultados observados de una o variasvariables aleatorias
VARIABLE ALEATORIA
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En Cálculo de Probabilidades no manejamos datos,
estudiamos la “estructura” del fenómeno, a diferenciadel Análisis de Datos que estudia la información quecontiene un conjunto de datos generados porresultados concretos del fenómeno.
Por tanto el estudio realizado en el marco del Cálculo
de Probabilidades para un determinado fenómenoservirá como Modelo para fenómenos similares.
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•Categóricas: son las variables no numéricas
Clasificación de las variables aleatorias
Numéricas
•Discretas : surgen de proceso de contar (“número de ……)toman por tanto valores aislados•Continuas : surgen de proceso de medirPueden tomar cualquier valor de un intervalo
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Distribución de probabilidad de una variable
aleatoria discreta
Puesto que una variable aleatoria discreta toma valoresaislados, su distribución de probabilidad es la relación devalores que puede tomar y la probabilidad de ocurrenciaasociada a cada uno de los valores
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Ejemplo: 1.- X
: “Número de caras al lanzar dos monedas distinguibles”
0,
2.0,
0,
Probabilidad
Nº caras Distribución de probabilidad de
X
2.- X
: Número de artículos vendidos diariamente
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
Probabilidad
Nº artículos
Distribución de probabilidad de
X
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Esperanza matemática (
La
Esperanza matemática
,^
media
o
valor probable
de una variable aleatoria es
la media de sus valores ponderados por su probabilidad.Se calcula por tanto, sobre la distribución de probabilidad (“estructura” delfenómeno)
Varianza (
La
Varianza
de la distribución de probabilidad
El significado es el mismo que el de la varianza calculada sobre unadistribución de frecuencias: es una medida de dispersión a la Esperanza omedia.
2
Desviación típica (
2
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MODELOS DISCRETOS
Estudiamos a continuación dos distribuciones de probabilidad particulares,que sirven para describir un gran número de situaciones o fenómenosaleatorios. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Es la distribución de probabilidad que describe un fenómeno aleatorio con las
siguientes características:
-^
Cada realización particular sólo tiene dos resultados posibles, los llamaremoséxito y fracaso.
-^
El resultado de cada realización particular es independiente de los demás
-^
La probabilidad de obtener un éxito en una realización particular es constante.
-^
La variable aleatoria es el “número de exitos en
n
realizaciones particulares o
ensayos”
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Función de densidad
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MODELOS CONTINUOS: LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Distribución de probabilidad: •Valores de la variable•Función de densidad:
^
2 2 1 2 1 (
)^
2
x
f^
x
e
x
x
Media o Esperanza matemática
Desviación típica
X
N
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-^
Gráficamente:^ •Es simétrica, por tanto media, mediana y moda coinciden•La curva no corta al eje X• Aproximadamente el 95,5% de la probabilidad total se encuentra en elintervalo
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Caso particular:
0,
Z
N
•Cualquier variable Normal (
) se puede transformar
en la variable
Z
es la variable tipificada de X
•La distribución de probabilidad de
Z
está tabulada y a partir de ella
puede obtenerse la distribución de probabilidad de cualquier variableNormal.•Excel permite calcular directamente la distribución de probabilidadde cualquier variable Normal
X
N
;
X
Z
X
Z
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Z
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OTRO MODELO CONTINUO: LA DISTRIBUCIÓN
UNIFORME
Este modelo supone que los valores se encuentran distribuidos deforma uniforme sobre el intervalo de variación, de manera que, laprobabilidad
de
que
la
variable
aleatoria
tome
un
valor
en
cada
subintervalo de igual amplitud es la misma.(Representa fenómenos aleatorios con resultados equiprobables)
