Inferencia Estadística: Planteamiento - Prof. Peñaloza Figueroa, Apuntes de Estadística

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Inferencia: Planteamiento

Juan Luis Peñaloza

1.1. Planteamiento

-^

Inferencia es un proceso lógico que permite derivaruna consecuencia de una o más premisas. Entérminos generales se dirá que la inferencia es ladeducción de una cosa a partir de otra.

-^

fijación de algunos objetivos o preguntas^ –

¿cuál será la media de esta población respecto atal característica?

¿se parecen estas dos poblaciones?

¿hay alguna relación entre...?

1.3. Planteamiento

•^

Extracción de la muestra^ – Se usa alguna técnica de muestreo o un diseño

experimental para obtener información de unapequeña parte de la población.

•^

Tratamiento de los datos^ – En esta fase se eliminan posibles errores, se depura

la muestra, se tabulan los datos y se calculan losvalores que serán necesarios en pasos posteriores,como la media muestral, la varianza muestral.

• Los métodos de esta etapa están definidos por la

estadística inferencial.

1.4. Planteamiento

-^

Estimación de los parámetros^ –

Con determinadas técnicas se realiza una predicción sobre cuálespodrían ser los parámetros de la población. – Propiedades de los Estimadores.

-^

Intervalos de Confianza^ –

Obtener el intervalo es dar una variable aleatoria donde intervengael parámetro a estimar y el correspondiente de la muestra

-^

Contraste de hipótesis^ –

Los contrastes de hipótesis son técnicas que permiten simplificarel modelo matemático bajo análisis. Frecuentemente el contrastede hipótesis recurre al uso de estadisticos muestrales.

-^

Conclusiones^ –

Se critica el modelo y se hace un balance. Las conclusionesobtenidas en este punto pueden servir para tomardecisiones o hacer predicciones. – El estudio puede comenzar de nuevo a partir de estemomento, en un proceso cíclico que permite conocer cadavez mejor la población y características de estudio.

2.1. Introducción

• Se trata de inferir sobre la media de una

variable en la población

• Ejemplos: gasto, edad, puntuación de un

líder, número de hijos de cada familia...

• Procedimiento:• Tomar una muestra aleatoria simple• Calcular la media que tiene la variable en

la muestra (estimador)

• Calcular el valor de la media en la

población, para lo que tenemos que teneruna idea sobre la “precisión” del estimador

2.2. Introducción

•^

El mismo estimador puede tener niveles deprecisión muy diferentes

-^

Ejemplo, estimación de tres variables de gastocon una muestra de 5 estudiantes

2000

10000

0

0

0

0

Libros

2000

0

1500

4000

3500

1000

Ocio

2000

2000

1800

2000

2200

2000

Desplaz.

Media muestral

Estudiante 5

Estudiante 4

Estudiante 3

Estudiante 2

Estudiante 1

3.1. Distribución de la media en el muestreo•^

Imaginemos una situación con una variable condistribución conocida

-^

Variable: Número de hijos en las familias

-^

Distribución en la población es:– La media es 1,95– La desviación típica es 1,

0,

5

0,

4

0,

3

0,

2

0,

1

0,

0

Proporción

Número

3.2. Distribución de la media en el muestreo•^

Contamos con una población muy grande

-^

Representamos la población como una urna conbolas. Una bola por familia, con valor de 0 a 5(urna A), en proporción correspondiente

-^

Extraemos una muestra con 10 elementos.

-^

Calculamos la media de la muestra: 1,6.

-^

Escribimos la media en una papeleta: otra urnadistinta (urna B)

-^

Devolvemos bolas a urna A y seguimos sacandomuestras de 10 elementos

3.4. Distribución de la media en el muestreo•^

La forma del histograma de las mediasmuestrales es la de una distribución normal(propiedades conocidas)

-^

Así, cuanto mayor sea la muestra, más seacerca a la forma de la distribución de lasmedias muestrales a la distribución normal

-^

La variable media muestral estimada (lavariable cuyos valores están en la urna B) sepuede describir como cualquier variable

-^

Se puede demostrar que la media de la urnaB = media de la urna A

-^

Lógica: media de la urna B = media devalores urna A contados muchas veces

4.1. El error típico

-^

El error típico de estimación es la desviación típica de lavariable aleatoria constituida por los valores de la mediade todas las muestras que potencialmente podríamossacar

-^

Es una medida de la dispersión de los estimadoresrespecto de su media

-^

Formalmente sería:

-^

El error típico es siempre menor que la desviación típicaen la población

-^

Será menor cuanto mayor sea la muestra

-^

Pero tenemos el problema de que sí la fórmula paracalcular ET incluye la desviación típica en la población ( ),estamos en un círculo vicioso

x

S

ET

n

σ^ x

4.3. El error típico

• Cuando el tamaño muestral es grande, la

diferencia entre usar en el denominador no n-1 no es demasiado importante

• En resumen, calculamos ET con la

fórmula

(^

1 i

x

x^

x

S^

n

ET

n^

− − n

=

=

∑

4.4. El error típico

• Ejemplo: muestra de 1.000 encuestados.• Preguntamos cuántas veces han ido al

cine en el último mes. La media de lamuestra es 1,3 y la desviación típica(corregida con n-1) es 2,1.

2,

2,

0,

31,

1000

x S

ET

n

=

=

=

=

5.1a. Intervalos de confianza

• a

5.2. Intervalos de confianza

-^

Podemos usar el ET para estimar un rango de valores,o intervalo dentro del que debe de estar el valor medioen la población

-^

Ejemplo anterior: muestra de 1.000 personas, media de1,3 y ET de 0,

-^

Cuando la muestra es grande (más de 30 elementos), lavariable aleatoria formada por las medias de lasmuestras tiene también una distribución normal

-^

Su media es la media de la población

-^

Su desviación típica es ET

-^

Sabemos exactamente qué proporción de los casosestá a diferentes distancias de la media, medidas en ET(valores z)