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Conceptos básicos de derivabilidad y continuidad de funciones reales, incluyendo el teorema de taylor y el cálculo de coeficientes de polinomios de taylor. Se abordan conceptos relacionados con límites laterales, derivadas y polinomios de grado superior.
Tipo: Apuntes
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Si una funci´on f (x) es continua en el punto x 0 y f (x 0 ) 6 = 0, entonces el valor f (x) conserva el mismo signo que f (x 0 ) cuando x var´ıa en un peque˜no entorno de x 0 (Principio de inercia: El signo tiende a quedarse como est´a.) Expresada esta idea de manera m´as formal, queda como sigue.
Teorema 1 (Inercia) Sea f (x) una funci´on continua en x 0 y supongamos que f (x 0 ) > 0. Entonces existe un r > 0 tal que para todo x ∈ (x 0 − r, x 0 + r) ∩ {dominio de f } se tiene que f (x) > 0.
Si f (x 0 ) < 0, se obtiene un resultado an´alogo: ∀x ∈ (x 0 − r, x 0 + r) ∩ {dominio de f } se tiene que f (x) < 0. La demostraci´on se deja como ejer- cicio.
Sea f (x) una funci´on real de una variable real x. Definici´on.- Dado un punto a, se dice que f (x) es continua en a si la funci´on f (x) est´a definida en a, existe el l´ımite
l´ım x→a f (x)
y vale f (a). Es decir, si existe f (a) y
xl´ım→a f^ (x) =^ f^ (a). Definici´on.- Si x 0 es un punto del dominio de definici´on de la funci´on f (x) en el que f (x) no es continua, decimos que f (x) es discontinua en X 0 , o que f (x) tiene un punto de discontinuidad en x 0. Si f (x) est´a definida en un intervalo, es costumbre dividir sus puntos de discontinuidad en dos tipos. Antes de dar esta clasificaci´on, tenemos que definir los l´ımites por la izquierda y por la derecha en x 0 , que denotamos por
f (x− 0 ) := l´ım x→x− 0
f (x) y f (x+ 0 ) := l´ım x→x+ 0
f (x),
respectivamente. Definici´on.- Se dice que existe el l´ımite por la izquierda de f (x) cuando x tiende a x 0 , y que vale 1 si para todo n´umero real ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − 1 | < ε
siempre que x satisfaga: |x − x 0 | < δ, x < x 0 y x est´e en el dominio de f (x). Lo que denotamos por f (x− 0 ) = ` 1.
Sea f (x) una funci´on real de una variable real x. Sea x 0 un punto interior de su dominio de definici´on. Definici´on.- Se dice que f (x) es derivable ( o diferenciable) en el punto x 0 si existe el l´ımite
l´ım h→ 0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h =: f ′(x 0 ). (1)
As´ı pues, la derivada de f (x) en x 0 es el n´umero f ′(x 0 ). La diferencial de y = f (x) en x 0 es el producto f ′(x 0 ) dx; se suele denotar por
dy = f ′(x 0 ) dx. (2)
En consecuencia, la diferencial dy es igual al productos de dos n´umeros: el n´umero f ′(x 0 ) y el n´umero dx. Es costumbre llamar diferencial de x al n´umero dx y pensar que es un n´umero muy “peque˜no”. En puridad, la diferencial de y = f (x) en x 0 es una funci´on ϕ(dx) := f ′(x 0 ) dx de la variable independiente dx. Se podr´ıa utilizar cualquier letra o combinaci´on de letras para llamar a dx; por ejemplo, h. En este caso, la diferencial de f (x) en x 0 ser´ıa la funci´on ϕ(h) := f ′(x 0 )h; o dy := f ′(x 0 )h. No obstante, hay buenas razones para mantener la notaci´on cl´asica de las diferenciales (debida a Leibniz); una de ellas, es que de (2) puede deducirse que f ′(x 0 ) es igual al cociente d dyx , de los n´umeros dy y dx. Por consiguiente, la notaci´on
dy dx
denota a la vez dos cosas: el cociente antedicho y la derivada de y respecto de x en x 0.
Teorema 2 Sea f (x) una funci´on derivable en x 0. Entonces f (x) es con- tinua en x 0.
Demostraci´on. Hay que demostrar que el l´ımite
xl´→ımx 0 f (x)
existe y es igual a f (x 0 ). Esto es equivalente a demostrar que
l´ım h→ 0 f (x 0 + h) = f (x 0 );
que, a su vez, equivale a probar que
l´ım h→ 0
[f (x 0 + h) − f (x 0 )] = 0.
Ahora bien,
l´ım h→ 0
[f (x 0 + h) − f (x 0 )] = l´ım h→ 0
[f (x 0 + h) − f (x 0 )] h
· h
l´ım h→ 0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
l´ım h→ 0
h
= f ′(x 0 ) · 0 = 0 2 El rec´ıproco de este teorema es falso. Por ejemplo, la funci´on f (x) := |x| es continua en x 0 = 0, pero no es derivable en este punto. V´ease la Figura 2.
f(x)=|x|
−2 −1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
−
−1.
−1.
−
−0.
−0.
0
1
2
Figura 2: y = |x| es continua pero no derivable en 0.
La no derivabilidad de una funci´on f (x) en un punto x 0 es evidente cuando la gr´afica de f (x) presenta un punto anguloso en x 0. Claro que hay formas peores de no ser derivable una funci´on en un punto; como que no existan rectas tangentes a la curva y = f (x) por la izquierda o por la derecha en x 0. Un ejemplo de esta ´ultima situaci´on es el de la funci´on
f (x) :=
x sen(1/x), si x 6 = 0, 0 , si x = 0.
Pues se tiene que
l´ım x→ 0 x sen
x
= 0 = f (0).
Por tanto, f (x) es continua en 0; pero
f ′(0) := l´ım h→ 0
f (0 + h) − f (0) h = l´ım h→ 0
f (h) h = l´ım h→ 0
h sen(1/h) h = l´ım h→ 0 sen(1/h);
Teorema 3 (Taylor) Sean f una funci´on real en [a, b], n un entero positi- vo, tales que existe f (n)(t) para todo t ∈ (a, b), y supongamos que f (n−1)^ es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Consideremos un punto x 0 ∈ [a, b]. Entonces para todo x ∈ [a, b], x 6 = x 0 , existe un punto cx interior al intervalo que une x 0 con x tal que
f (x) =
n∑− 1
k=
f (k)(x 0 ) k!
(x − x 0 )k^ + f (n)(cx) n!
(x − x 0 )n. (3)
Comencemos dando las notaciones 0! := 1, f (0)^ := f, a^0 := 1. La f´ormu- la (3) escrita m´as desarrollada queda como sigue.
f (x) = f (x 0 )+ f ′(x 0 ) 1!
(x−x 0 )+ f ′′(x 0 ) 2!
(x−x 0 )^2 +· · ·+ f (n−1)(x 0 ) (n − 1)!
(x−x 0 )n−^1 +
f (n)(cx) n! (x − x 0 )n; (4)
es decir, que f (x) es la suma del polinomio P (x) de grado ≤ n − 1,
P (x) := f (x 0 )+ f ′(x 0 ) 1!
(x−x 0 )+ f ′′(x 0 ) 2!
(x−x 0 )^2 +· · ·+ f (n−1)(x 0 ) (n − 1)!
(x−x 0 )n−^1 (5) y de un “Resto”. Este resto es el ´ultimo t´ermino de (4), y vale
R(n, x 0 , cx) := f (n)(cx) n!
(x − x 0 )n. (6)
As´ı pues, f (x) = P (x) + R(n, x 0 , cx). Si el resto es “peque˜no”, se tiene que
f (x) ≈ P (x).
Los coeficientes del polinomio P (x) dependen de f y x 0. A este polinomio se le conoce como el polinomio de Taylor de f de grado n − 1 en x 0. ¿Qu´e factores contribuyen a que el Resto
f (n)(cx) n!
(x − x 0 )n
sea “peque˜no”?
n! 1 /n! 1!=1 1/1!= 2!=2 1/2!=0, 3!=6 1/3!=0,1666... 4!=24 1/4!=0,04166... 5!=120 1/5!=0,00833... 6!=720 1/6!=0,001388... 7!=5040 1/7!=0,000198... 8!=40320 1/8!=0,0000248... 9!=362880 1/9!=0,00000275... 10!=3628800 1/10!=0,000000275... 11!=39916800 1/11!=0,000000025...
Cuadro 1: Factoriales del 1 al 11 y sus inversos.
En primer lugar, se tiene que n! crece muy deprisa al crecer n. Observe- mos el Cuadro 1. Si x est´a “pr´oximo” a x 0 , el valor de x − x 0 es “peque˜no”, (x − x 0 )^2 es m´as “peque˜no”,... , (x − x 0 )n^ es mucho m´as “peque˜no”. Ejemplo.- Si x − x 0 = 0, 02, entonces se sigue que
(x − x 0 )^2 = 0, 0004. (x − x 0 )^3 = 0, 000008. (x − x 0 )^4 = 0, 0000016. (x − x 0 )^5 = 0, 000000032.
Y, ¿qu´e pasa con el factor f (n)(cx)? Muchas veces no sabemos exac- tamente cu´al es el n´umero cx; el Teorema 3 s´olo nos permite asegurar la existencia de este n´umero; sabemos que el punto cx est´a situado entre x 0 y x. V´ease la Figura 4.
Figura 4: No se conoce cx.
Si f (n)^ est´a acotada en (a, b); es decir, si existe un n´umero real M > 0 tal que para todo t ∈ (a, b),
|f (n)(t)| ≤ M ;
Por (7) y (10), para todo t ∈ (a, b),
g′(t) = f ′(t) − P ′(t) − nA(t − x 0 )n−^1 , g′′(t) = f ′′(t) − P ′′(t) − n(n − 1)A(t − x 0 )n−^2 , .. .
g(n−1)(t) = f (n−1)(t) − P (n−1)(t) − n(n − 1) · · · 2 · A(t − x 0 ), g(n)(t) = f (n)(t) − P (n)(t) − n!A. (11)
Pero,
P (t) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(t − x 0 ) +
f ′′(x 0 ) 2! (t − x 0 )^2 +
f ′′′(x 0 ) 3! (t − x 0 )^3 + · · ·
f (n−2) (n − 2)!
(t − x 0 )n−^2 + f (n−1) (n − 1)!
(t − x 0 )n−^1.
De donde,
P ′(t) = f ′(x 0 ) + f ′′(x 0 )(t − x 0 ) + f ′′′(x 0 ) 2! (t − x 0 )^2 + · · ·
f (n−2)(x 0 ) (n − 3)! (t − x 0 )n−^3 +
f (n−1)(x 0 ) (n − 2)! (t − x 0 )n−^2 ,
P ′′(t) = f ′′(x 0 ) + f ′′′(x 0 )(t − x 0 ) + · · ·
f (n−2)(x 0 ) (n − 4)! (t − x 0 )n−^4 +
f (n−1)(x 0 ) (n − 3)! (t − x 0 )n−^3 ,
P (n−1)(t) = f (n−1)(x 0 ), P (n)(t) = 0. (12)
De (11) y (12) deducimos que
g(n)(t) = f (n)(t) − n!A.
Por tanto, la demostraci´on estar´a completa si podemos probar que existe alg´un cx entre x 0 y x tal que
g(n)(cx) = 0.
Es obvio que
P (x 0 ) = f (x 0 ), P ′(x 0 ) = f ′(x 0 ), P ′′(x 0 ) = f ′′(x 0 ), .. . P (n−1)(x 0 ) = f (n−1)(x 0 ).
Por lo cual,
g(x 0 ) = 0, g′(x 0 ) = 0, g′′(x 0 ) = 0, .. . g(n−1)(x 0 ) = 0.
Por (8) y (10), g(x) = 0. En virtud del Teorema de Rolle aplicado a g con g(x 0 ) = 0, g(x) = 0, existe un x 1 entre x 0 y x tal que g′(x 1 ) = 0. Como g′(x 0 ) = 0, existe un x 2 entre x 0 y x 1 tal que g′′(x 2 ) = 0. Despu´es de n pasos, llegamos a la conclusi´on de que g(n)(xn) = 0
para alg´un xn entre x 0 y xn− 1 ; esto es, entre x 0 y x. Este xn es el cx buscado.
2
Ejercicio 1.- Escr´ıbase la f´ormula de Taylor en la forma
f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )h + f ′′(x 0 ) 2!
h^2 + · · · + f (n−1)(x 0 ) (n − 1)!
hn−^1
f (n)(x 0 + θh) n! hn,
para alg´un θ, 0 < θ < 1. Just´ıfiquese. Asimismo, dense razones para la f´ormula de MacLaurin
f (x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) 2!
x^2 + · · · + f (n−1)(0) (n − 1)!
xn−^1
f (n)(θx) n! xn,
M´as generalmente, supongamos que f ′(x 0 ) 6 = 0,
f ′′(x 0 ) = · · · = f (n−1)(x 0 ) = 0, f (n)(x 0 ) 6 = 0,
y que la funci´on f (n)(x) es continua en x 0. Demu´estrese que si n es impar hay un punto de inflexi´on en x 0 , y si n es par no hay punto de inflexi´on. Ejercicio 6.- Estudiar las gr´aficas de las funciones
y =
x^2 + x − 2 x^2 , en el entorno de x = 4, y = x^3 − 3 x^2 + 3x + 1, en el entorno de x = 1, y = x^3 − 3 x + 2, en el entorno de x = 0.
Ejercicio 7.- Sup´ongase que ai y bi son los coeficientes de los polinomios de Taylor en x 0 de f y g, respectivamente. En otras palabras,
ai =
f (i)(x 0 ) i! y bi =
g(i)(x 0 ) i!
H´allense los coeficientes ci de los polinomios de Taylor en x 0 de las funciones siguientes, en t´erminos de los ai y bi.
∫ (^) x x 0 f^ (t) dt.
∫ (^) x 0 f^ (t) dt.
