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Teorema de Stokes
Sea S una superficie orientada, simple y regular a trozos. Sea C su curva frontera,
regular a trozos, cerrada y simple, con orientaci´on positiva. Si F es un campo vectorial,
de clase C(1)^ en alguna regi´on que contiene a S, entonces ∫
C
F =
S
rot F.
Para determinar la orientaci´on positiva de la curva C frontera de S, convenimos en
que, al recorrer C en sentido positivo con la cabeza apuntando al vector normal −→n que
indica la orientaci´on positiva de S, la superficie queda a la izquierda.
El teorema de Stokes proporciona otra extensi´on del teorema fundamental de la inte-
gral al relacionar una integral de superficie con la integral de l´ınea sobre la curva frontera
a dicha superficie.
El resultado fue descubierto en realidad por el f´ısico escoc´es William Thomson (lord
Kelvin) y comunicado por carta a Georges Stokes (profesor lucasiano de Cambridge). Este´
lo propuso en un examen de matem´aticas en 1854.
Observemos que el teorema de Green es un caso particular del teorema de Stokes,
pues si S ⊂ R^2 es una superficie orientada hacia arriba, es decir −→n = −→ k , y F = (P, Q, 0),
entonces el teorema de Stokes nos da la f´ormula
∫
C
F =
S
(rot F ) · −→ k dxdy =
S
( ∂Q
∂x
∂P
∂y
dxdy,
que corresponde precisamente al teorema de Green.
Demostraci´on. Veamos en primer lugar la demostraci´on del teorema de Stokes en el
caso particular de una superficie S definida por la funci´on expl´ıcita z = f (x, y), (x, y) ∈ D,
con f ∈ C(2)^ y D una regi´on plana simple cuya frontera C 1 es la proyecci´on de la frontera
de S sobre el plano XY.
Sea pues el campo vectorial F = (P, Q, R) de clase C(1)^ en una regi´on que contiene a
S. Entonces
∫ ∫
S
rot F =
D
∂f ∂x
( ∂R
∂y
∂Q
∂z
∂f ∂y
( ∂P
∂z
∂R
∂x
( ∂Q
∂x
∂P
∂y
dxdy.
Por otra parte, si C 1 se parametriza por x = x(t), y = y(t), con t ∈ [a, b], entonces C tiene
la parametrizaci´on x = x(t), y = y(t), z = f (x(t), y(t)), con t ∈ [a, b]. Por tanto,
∫
C
F =
∫ (^) b
a
[P · x′(t) + Q · y′(t) + R · z′(t)] dt
∫ (^) b
a
[
P · x′(t) + Q · y′(t) + R ·
( (^) ∂f ∂x · x′(t) +
∂f ∂y · y′(t)
)]
dt
=
C 1
P + R ·
∂f ∂x
dx +
Q + R ·
∂f ∂y
dy = (por el teorema de Green)
D
[
∂x
Q + R ·
∂f ∂y
∂y
P + R ·
∂f ∂x
)]
dxdy
D
[
∂Q
∂x
∂Q
∂z
∂z ∂x
∂R
∂x
∂f ∂y
∂R
∂z
∂z ∂x
∂f ∂y
+ R ·
∂^2 f ∂y∂x
−
∂P
∂y
∂P
∂z
∂z ∂y
∂R
∂y
∂f ∂x
∂R
∂z
∂z ∂y
∂f ∂x
− R ·
∂^2 f ∂x∂y
]
dxdy.
Al simplificar la expresi´on del integrando, llegamos al mismo resultado que
S
rot F.
Veamos ahora la demostraci´on del caso general. Para ello, sea Φ : D → R^3 una
parametrizaci´on de la superficie, de clase C(1)^ en un abierto que contiene a D ∪ ∂D.
Si hacemos F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) y Φ(u, v) = (X(u, v), Y (u, v), Z(u, v)), por definici´on de integral de l´ınea, ∫
C
F =
C
P dx + Q dy + R dz.
Por otra parte, ∫ ∫
S
rot F =
D
[(
∂R
∂y
∂Q
∂z
∂(Y, Z)
∂(u, v)
( ∂P
∂z
∂R
∂x
∂(Z, X)
∂(u, v)
( ∂Q
∂x
∂P
∂y
∂(X, Y )
∂(u, v)
]
dudv.
Por tanto, basta probar que ∫
C
P dx =
D
[
∂P
∂z
∂(Z, X)
∂(u, v)
∂P
∂y
∂(X, Y )
∂(u, v)
]
dudv, ∫
C
Q dy =
D
[
∂Q
∂x
∂(X, Y )
∂(u, v)
∂Q
∂z
∂(Y, Z)
∂(u, v)
]
dudv, ∫
C
R dz =
D
[
∂R
∂y
∂(Y, Z)
∂(u, v)
∂R
∂x
∂(Z, X)
∂(u, v)
]
dudv.
- Calcular
S
rot F , donde F (x, y, z) = (x^4 +z^3 +3x^2 y^2 , 2 yx^3 +3x+xz, z^5 +y^4 +x^4 y^5 )
y S = {(x, y, z) ∈ R^3 : (x + z)^2 + 3y^2 + 2(x − z)^2 = 1, z < 0 }.
Sugerencia. Observar que S es la parte de un elipsoide que est´a por debajo del plano
XY. Su frontera se obtiene haciendo z = 0. Puede incluso aplicarse el teorema de Green.
Respuesta: π.
Interpretaci´on f´ısica del rotacional. El teorema de Stokes permite dar una inter-
pretaci´on del rotacional de un campo vectorial en t´erminos de la circulaci´on de un fluido
a lo largo de una curva.
Supongamos que −→v (P ) representa la velocidad de un fluido en un punto P de una
curva cerrada C. Sabemos que
C
−→v es igual a la integral de la componente tangencial de
−→v a lo largo de C; por tanto su valor ser´a mayor cuanto menor sea el ´angulo entre −→v y −→ T. Esto significa que la integral de l´ınea
C
−→v mide la cantidad neta del fluido que gira
alrededor de C en direcci´on contraria a las agujas del reloj, por lo que tambi´en se conoce
como circulaci´on de −→v alrededor de C.
Consideremos ahora un punto P 0 de C y Sϕ un peque˜no disco de centro P 0 y radio ϕ
orientado. Si −→n es el vector unitario normal a Sϕ, entonces
∫ ∫
Sϕ
rot v =
Sϕ
rot v · −→n =
∂Sϕ
−→v ,
donde ∂Sϕ es la curva frontera de Sϕ orientada positivamente. Si llamamos A(Sϕ) al ´area
del disco Sϕ, entonces
lim ϕ→ 0
A(Sϕ)
∂Sϕ
−→v = lim ϕ→ 0
A(Sϕ)
Sϕ
rot v = lim ϕ→ 0 rot v(Q) · −→n (Q) = rot v(P ) · −→n (P )
(donde hemos aplicado el teorema del valor medio para integrales).
Esta igualdad muestra la relaci´on entre el rotacional y la circulaci´on. En concreto, el
producto escalar rot v(P ) · −→n (P ) mide la circulaci´on del fluido por unidad de ´area, es decir
mide la rotaci´on del fluido alrededor de la curva. El efecto de rotaci´on es m´aximo cuando
el rotacional lleva la direcci´on del vector normal a la curva.
