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INTEGRAL M ´ULTIPLE
As´ı como la integral simple resuelve el problema del c´alculo de ´areas de regiones planas, la integral doble es la herramienta natural para el c´alculo de vol´umenes en el espacio tridimensional. En estas notas se introduce el concepto de integral m´ultiple, el cual incluye los casos anteriores en un contexto general. De este modo, las aplicaciones no se limitan al c´alculo de ´areas y vol´umenes sino que se extienden a otros problemas f´ısicos y geom´etricos.
1. Integral sobre regiones elementales.
1.1. Definiciones previas.
Todo conjunto de la forma I = [a 1 , b 1 ]×· · ·×[an, bn] ⊂ Rn^ recibe el nombre de intervalo n-dimensional o n-intervalo. Una partici´on de I se define al dividir cada intervalo [ai, bi] mediante los puntos {xi 0 ,... , ximi } y formar las celdas n-dimensionales Jk = [x^1 j 1 , x^1 j 1 +1] × · · · × [xnjn , xnjn+1], 0 ≤ ji ≤ mi − 1 (i = 1,... , n). De este modo, una partici´on de un n-intervalo I es un conjunto P = {J 1 ,... , JN }, formado por celdas n-dimensionales, tal que int Ji ∩int Jk = ∅ (i 6 = k), y J 1 ∪ · · · ∪ JN = I. Dada una funci´on f : I → R acotada, si definimos la medida n-dimensional de una celda como el producto de las longitudes de sus aristas, llamaremos suma inferior de f con respecto a la partici´on P a
L(f, P ) =
Jk ∈P
´ınf{f (x) : x ∈ Jk} · m(Jk).
An´alogamente, la suma superior de f respecto a P es
U (f, P ) =
Jk ∈P
sup{f (x) : x ∈ Jk} · m(Jk).
1.2. Propiedades.
i) L(f, P ) ≤ U (f, P ), para toda partici´on P de I.
ii) Si P ′^ es un refinamiento de P (es decir, cada celda de P ′^ est´a contenida en alguna celda de P ), entonces L(f, P ) ≤ L(f, P ′) y U (f, P ′) ≤ U (f, P ).
iii) Si P ′^ y P ′′^ son dos particiones arbitrarias de I, L(f, P ′) ≤ U (f, P ′′).
iv) sup{L(f, P ) : P partici´on de I} ≤ ´ınf{U (f, P ) : P partici´on de I}.
1.3. Definici´on.
Se define la integral superior de f sobre I a
∫
I
f = ´ınf{U (f, P ) : P partici´on de I}.
Del mismo modo, se define la integral inferior de f sobre I a
∫
I
f = sup{L(f, P ) : P partici´on de I}.
Diremos que la funci´on f es integrable sobre I cuando
I f^ =^
I f y dicho valor com´un
se llama integral de f sobre I, que denotaremos por
I f^. En el caso particular^ n^ = 2
utilizaremos frecuentemente la notaci´on
I
f (x, y) dxdy y, si n = 3, utilizaremos la
notaci´on an´aloga
I
f (x, y, z) dxdydz.
1.4. Teorema.
Sea f : I ⊂ Rn^ → R acotada. Son equivalentes:
i) f es integrable en I.
ii) (Condici´on de Riemann.) Para todo ε > 0 , existe Pε partici´on de I tal que U (f, Pε)− L(f, Pε) < ε.
iii) (Condici´on de Darboux.) Existe una constante L con la siguiente propiedad:
∀ε > 0 , ∃δ > 0 :
∑^ N
i=
f (xi)m(Ji) − L
< ε,
donde P = {J 1 ,... , JN } es una partici´on de I cuyas aristas tienen longitud menor que δ y xi ∈ Ji (i = 1,... , N ).
Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que f es integrable y veamos que se cumple la condici´on de Riemann. Llamemos L =
I f^. Por definici´on de ´ınfimo, dado^ ε >^ 0, existe una partici´on P (^) ε′ tal que U (f, P (^) ε′) < L + ε/2. An´alogamente, existe una partici´on P (^) ε′′ tal que L(f, P (^) ε′′ ) > L − ε/2. Si llamamos Pε = P (^) ε′ ∪ P (^) ε′′ , entonces
L − ε/ 2 < L(f, P (^) ε′′ ) < L(f, Pε) ≤ U (f, Pε) < U (f, P (^) ε′) < L + ε/ 2.
Por tanto, U (f, Pε) − L(f, Pε) < ε.
Por ser f integrable, existen dos particiones P 1 , P 2 tales que:
L − L(f, P 1 ) < ε/ 2 U (f, P 2 ) − L < ε/ 2
(donde L es la integral y ε > 0 arbitrario). Si P es un refinamiento de P 1 y P 2 , entonces
U (f, P ) − ε/ 2 < L < L(f, P ) + ε/ 2.
Por el lema anterior, existe δ > 0 tal que si P ′^ es una partici´on de I cuyas aristas tienen longitud menor que δ, entonces
∑
J′∈P ′,J′ 6 ⊂Jk ,Jk ∈P
m(J′) <
ε 2 M
Sea P ′^ = {S 1 ,... , SN } una partici´on de aristas con longitud menor que δ donde cada S 1 ,... , Sk est´a contenido en alguna celda de P y Sk+1,... , SN no lo est´an. Si xj ∈ Sj , entonces:
∑^ N
j=
f (xj )m(Sj ) =
∑^ k
j=
f (xj )m(Sj ) +
∑^ N
j=k+
f (xj )m(Sj ) ≤ U (f, P ) + M ·
ε 2 M
< L + ε.
∑^ N
j=
f (xj )m(Sj ) =
∑^ k
j=
f (xj )m(Sj ) −
∑^ N
j=k+
−f (xj )m(Sj ) ≥ L(f, P ) − M ·
ε 2 M
L − ε.
Por tanto, (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∑^ N
j=
f (xj )m(Sj ) − L
< ε,
lo que corresponde a la condici´on de Darboux.
Ejemplos. Estudiar la integrabilidad y calcular la integral (en caso de existir) de las siguientes funciones en las regiones indicadas:
a) f (x, y) = [x] + [y], (x, y) ∈ [− 1 , 1] × [− 1 , 1].
b) f (x, y) = [x + y], (x, y) ∈ [− 1 , 1] × [− 1 , 1].
c) f (x, y) = sen(x + y), (x, y) ∈ [0, π/2] × [0, π/2].
d) f (x, y) = x^3 + 3x^2 y + y^3 , (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1].
e) f (x, y) =
|y − x^2 |, (x, y) ∈ [− 1 , 1] × [0, 2].
2. Extensi´on del concepto de integral a regiones
acotadas.
Sea A ⊂ Rn^ un conjunto acotado tal que A ⊂ I, donde I es un n-intervalo, y f : A → R una funci´on acotada. Decimos que f es integrable en A cuando
g(x) =
f (x) si x ∈ A 0 si x ∈ I \ A
es integrable en I. Esto sugiere que el tipo de regiones para las que una funci´on es integrable no puede tener “frontera muy complicada”. Por tanto, necesitamos las siguientes definiciones.
2.1. Definici´on.
Un conjunto acotado A ⊂ Rn^ tiene contenido (seg´un Jordan) si la funci´on constante f (x) = 1 es integrable en A. En este caso, el contenido de A se define como c(A) =
A 1.
Por definici´on de integral, un conjunto A tiene contenido cero si y s´olo si
∀ε > 0 , ∃{J 1 ,... , JN } n-intervalos que cubren a A :
∑^ N
i=
m(Ji) < ε.
Diremos entonces que un conjunto acotado A ⊂ Rn^ es un dominio de Jordan si su frontera tiene contenido cero.
Ejemplo. La gr´afica de una funci´on y = f (x) continua en [a, b] tiene contenido cero en R^2. En efecto, dado ε > 0, como f es uniformemente continua en [a, b], existe δ > 0 tal que |f (x) − f (y)| < ε si |x − y| < δ. Sea {x 0 , x 1 ,... , xN } una partici´on de [a, b] con xj = a + jh (j = 0, 1 ,... , N ), donde h = (b − a)/N y elegimos N suficientemente grande para que h < δ. Si llamamos
Rj = {(x, y) : xj− 1 ≤ x ≤ xj , |y − f (xj )| < ε},
entonces (x, f (x)) ∈ Rj cuando xj− 1 ≤ x ≤ xj , es decir la gr´afica de f est´a contenida
en
⋃N
j=1 Rj^. Como el ´area de^ Rj^ es igual a 2ε(xj^ −^ xj−^1 ), entonces la suma de las ´areas de todos los rect´angulos es igual a 2ε(b − a).
De forma similar se puede probar que la gr´afica de cualquier funci´on continua z = f (x, y) sobre un rect´angulo [a, b] × [c, d] tiene contenido cero en R^3.
2.5. Teorema de Lebesgue.
Sea A ⊂ Rn^ un conjunto acotado y f : A → R acotada. Si A ⊂ I, donde I es un n-intervalo, entonces f es integrable en A si y s´olo si el conjunto de discontinuidades de f en I tiene medida nula.
Demostraci´on. Definimos la oscilaci´on de una funci´on f en un punto x 0 ∈ I como
ω(f, x 0 ) = l´ım h→ 0 +^
sup{|f (x) − f (y)| : x, y ∈ B(x 0 , h) ∩ I}.
Antes de proceder a la demostraci´on veamos un par de resultados previos.
Lema 1. ω(f, x 0 ) = 0 ⇐⇒ f es continua en x 0. Para probarlo, basta observar que f es continua en x 0 si y s´olo si ∀ε > 0 existe B(x 0 , h) tal que sup{|f (x) − f (x 0 )| : x ∈ B(x 0 , h)} < ε lo cual equivale a su vez a que ω(f, x 0 ) = 0.
Lema 2. El conjunto Dr = {x ∈ I : ω(f, x) ≥ 1 /r} es compacto. En primer lugar, Dr es acotado por estar contenido en el n-intervalo I. Para ver que es cerrado, sea y un punto de acumulaci´on de Dr y supongamos que y 6 ∈ Dr. As´ı pues, ω(f, y) < 1 /r y, por definici´on de oscilaci´on, existe una bola B(y, h) tal que
sup{|f (u) − f (v)| : u, v ∈ B(y, h) ∩ I} < 1 /r.
Por tanto, B(y, h) ∩ Dr = ∅, lo que contradice el hecho de ser punto de acumulaci´on.
Vayamos ahora con la demostraci´on del teorema. Supongamos en primer lugar que el conjunto D de discontinuidades de f en I tiene medida cero. Como D = ∪r∈NDr, tambi´en cada Dr tiene medida cero. Al ser compacto, s´olo un n´umero finito de n- intervalos recubren a Dr. Tenemos as´ı que
Dr ⊂
⋃^ N
i=
Ji,
∑^ N
i=
m(Ji) < 1 /r.
Consideremos ahora una partici´on de I suficientemente fina para que est´e formada por C 1 ∪ C 2 , donde C 1 est´e formado por las n-celdas contenidas en alg´un Ji y C 2 por las n-celdas disjuntas con Dr. De este modo, si J ∈ C 2 , ω(f, x) < 1 /r, ∀x ∈ J. Por tanto, existe h > 0 tal que Mh(f ) − mh(f ) < 1 /r, donde Mh(f ) = sup{f (y) : y ∈ B(x, h)} y mh(f ) = ´ınf{f (y) : y ∈ B(x, h)}. Como J es compacto, una colecci´on finita de {B(x, h) : x ∈ J}, digamos {U 1 ,... , Um}, recubre a J.
Dividimos J en celdas de modo que cada una de ellas est´e en alguno de {U 1 ,... , Um}. La partici´on resultante verifica
U (f, P ) − L(f, P ) ≤
J∈C 1
J∈C 2
(MJ (f ) − mJ (f )) · m(J)
J∈C 1
2 K · m(J) + m(I)/r < 2 K/r + m(I)/r < ε
(donde hemos supuesto que |f (x)| ≤ K, ∀x ∈ I). Probemos ahora el rec´ıproco, para lo cual supongamos que f es integrable. Escribimos nuevamente D = ∪r∈NDr, con Dr = {x ∈ I : ω(f, x) ≥ 1 /r}. Por hip´otesis, existe una partici´on P de I tal que
U (f, P ) − L(f, P ) =
J∈P
(MJ (f ) − mJ (f )) · m(J) < ε.
Hacemos Dr = J 1 ∪ J 2 , con J 1 = {x ∈ Dr : x ∈ fr J, para alg´un J ∈ P } y J 2 = {x ∈ Dr : x ∈ int J, para alg´un J ∈ P }. Es claro que J 1 tiene medida nula. Sea C el conjunto de las celdas de P que tienen un elemento de Dr en su interior. Si J ∈ C, entonces MJ (f ) − mJ (f ) ≥ 1 /r y
1 r
J∈C
m(J) ≤
J∈C
(MJ (f ) − mJ (f )) · m(J) ≤
J∈P
(MJ (f ) − mJ (f )) · m(J) < ε.
2.6. Consecuencias del teorema de Lebesgue.
Un conjunto acotado A tiene contenido (seg´un Jordan), es decir la funci´on cons- tante 1 es integrable si y s´olo si la frontera de A tiene medida nula.
Sea A ⊂ Rn^ un conjunto acotado que tiene contenido y f : A → R una fun- ci´on acotada con una cantidad finita o numerable de puntos de discontinuidad. Entonces f es integrable.
Teorema. a) Si A ⊂ Rn^ es acotado y tiene medida nula y f : A → R es integrable, entonces
A f^ = 0. b) Si f : A → R es integrable, f (x) ≥ 0 , ∀x y
A f^ = 0, entonces el conjunto^ {x^ ∈^ A^ : f (x) 6 = 0} tiene medida nula.
Demostraci´on. a) Supongamos que A es un conjunto de medida nula y sea S un n- intervalo que contiene a A. Extendemos f a S haciendo f (x) = 0, si x ∈ S \ A. Sean P = {S 1 , S 2 ,... , SN } una partici´on de S y M una constante tales que |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ A. Entonces
L(f, P ) =
∑^ N
i=
mi(f ) · m(Si) ≤ M ·
∑^ N
i=
mi(χA) · m(Si).
3.1. Teorema del valor medio.
Sea K ⊂ Rn^ un dominio de Jordan compacto y conexo y sea f : K → R una funci´on continua. Si g : K → R es acotada, g(x) ≥ 0 , ∀x ∈ K y es continua excepto en un conjunto de contenido cero, entonces existe z ∈ K tal que
∫
K
f · g = f (z)
K
g.
Demostraci´on. Sean u, v ∈ K tales que f (u) ≤ f (x) ≤ f (v), ∀x ∈ K. Como g es no negativa, f (u) · g(x) ≤ f (x) · g(x) ≤ f (v) · g(x), ∀x ∈ K,
de donde
f (u)
K
g ≤
K
f · g ≤ f (v)
K
g.
Si
K g^ = 0, entonces^
K f^ ·^ g^ = 0 y el teorema es cierto para cualquier^ z^ ∈^ K. Si
K g >^ 0, entonces f (u) ≤
K ∫ f^ ·^ g K g^
≤ f (v).
Por el teorema del valor intermedio para funciones continuas, existe z ∈ K tal que
f (z) =
K ∫ f^ ·^ g K g^
4. Integrales impropias.
Sea f : A ⊂ Rn^ → R acotada y no negativa, con A no acotado. Extendemos f a todo Rn^ de la manera usual. Decimos que f es integrable en A cuando f es integrable en todo n-intervalo [−a, a]n^ y existe l´ıma→∞
[−a,a]n^ f^. Nota. Al ser f no negativa, podemos expandir la regi´on de integraci´on sim´etricamente. Por ejemplo, la funci´on f (x) = x cambia de signo y resulta que
∫ (^) a
∫ −a^ xdx^ = 0 con lo que ∞ −∞ f^ = 0 pero^
−∞ f^ y^
0 f^ no existen.
4.1. Teorema.
Si f ≥ 0 , est´a acotada y es integrable en cada [−a, a]n, entonces f es integrable si y s´olo si dada cualquier sucesi´on {Bk}k∈N de conjuntos acotados con contenido tales que Bk ⊂ Bk+1 y existe k tal que C ⊂ Bk, para todo n-cubo C, entonces existe l´ımk→∞
Bk f^.
4.2. Definici´on.
a) Sea f ≥ 0 no acotada definida en A ⊂ Rn^ no acotado. Para cada M > 0, se define
fM (x) =
f (x) si f (x) ≤ M 0 si f (x) > M
Si existe l´ımM →∞
A fM^ , decimos que^ f^ es integrable en^ A. b) Si f : A → R es arbitraria, sean
f +(x) =
f (x) si f (x) ≥ 0 0 si f (x) < 0
, f −(x) =
−f (x) si f (x) ≤ 0 0 si f (x) > 0
As´ı, f = f +^ − f −^ y f es integrable en A si lo son f +^ y f −^ y definimos
∫^ A^ f^ = A f^
A f^
Como |f | = f +^ + f −, si f es integrable, tambi´en lo es |f | y
A |f^ |^ =^
A f^
A f^
A f^
Rec´ıprocamente, si |f | es integrable y f es integrable en cada cubo, entonces f es integrable.
5. Teorema de Fubini.
Una herramienta fundamental para abordar el problema del c´alculo de integrales m´ulti- ples se obtiene a partir del teorema de Fubini. Veremos que, en situaciones favorables, el c´alculo de una integral n-dimensional se reduce al c´alculo de n integrales simples, llamadas integrales iteradas. A lo largo de esta secci´on, representaremos todo punto de Rn^ como un par (x, y), donde x ∈ Rk, y ∈ Rn−k. An´alogamente, todo n-intervalo lo escribiremos como I = I 1 × I 2 , con I 1 ⊂ Rk, I 2 ⊂ Rn−k.
5.1. Teorema.
Sean I ⊂ Rn^ un n-intervalo y f : I → R una funci´on acotada e integrable en I. a) Supongamos que, para cada x ∈ I 1 , la funci´on fx(y) = f (x, y) es integrable en I 2. Si llamamos g(x) =
I 2 fx(y)dy, entonces^ g^ es integrable en^ I^1 y ∫
I
f =
I 1
g(x)dx =
I 1
[∫
I 2
f (x, y)dy
]
dx.
b) Si, para cada∫ y ∈ I 2 , la funci´on fy(x) = f (x, y) es integrable en I 1 , entonces g(y) =
I 1 fy(x)dx^ es integrable en^ I^2 y ∫
I
f =
I 2
g(y)dy =
I 2
[∫
I 1
f (x, y)dx
]
dy.
Corolario 1. Si f : I → R es continua, entonces
∫
I
f =
I 1
I 2
f (x, y)dy
dx =
I 2
I 1
f (x, y)dx
dy.
Corolario 2. Sean f 1 , f 2 : [a, b] → R continuas, con f 1 (x) ≤ f 2 (x), ∀x ∈ [a, b], D = {(x, y) ∈ R^2 : a ≤ x ≤ b, f 1 (x) ≤ y ≤ f 2 (x)} y f : D → R continua. Entonces
∫
D
f =
∫ (^) b
a
f 2 (x)
f 1 (x)
f (x, y)dy
dx.
Demostraci´on. Extendemos f a I = [a, b] × [c, d], donde c ≤ f 1 (x) ≤ f 2 (x) ≤ d, definiendo f (x, y) = 0 si (x, y) ∈ I \ D. De este modo, el conjunto de discontinuidades de f est´a formado por los puntos (x, f 1 (x)) y (x, f 2 (x)) (x ∈ [a, b]), que tiene medida nula. Lo mismo ocurre con las funciones fx y fy, por lo que todas son integrables. Basta por tanto aplicar el teorema de Fubini para obtener el resultado.
Observaciones. (1) Un resultado an´alogo se obtiene para regiones de la forma D = {(x, y) ∈ R^2 : g 1 (y) ≤ x ≤ g 2 (y), c ≤ y ≤ d}, con g 1 , g 2 : [c, d] → R continuas, tales que g 1 (y) ≤ g 2 (y), ∀y ∈ [c, d]. En este caso, la integral se calcula como
∫
D
f =
∫ (^) d
c
g 2 (y)
g 1 (y)
f (x, y) dx
dy.
En algunos casos, la regi´on de integraci´on se puede escribir de dos formas diferentes, por ejemplo:
D = {(x, y) ∈ R^2 : a ≤ x ≤ b, f 1 (x) ≤ y ≤ f 2 (x)} = {(x, y) ∈ R^2 : g 1 (y) ≤ x ≤ g 2 (y), c ≤ y ≤ d}.
Entonces se puede calcular la integral doble de una funci´on continua en D de dos for- mas diferentes. En la pr´actica ha de elegirse la que simplifique los c´alculos.
(2) Si f : [a, b] × [c, d] → R es discontinua en un segmento {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y = y 0 },
entonces
∫ (^) b a fy^0 (x)dx^ no existe; sin embargo, existe la integral doble^
∫ (^) b a
∫ (^) d c f^ (x, y)dxdy. Esto sugiere que se extienda el teorema de Fubini para tener en cuenta las integrales superior e inferior.
5.2. Teorema.
Sea f acotada en I = [a, b] × [c, d]. Entonces
i)
I
f ≤
∫ (^) b
a
(∫ (^) d
c
fx(y)dy
dx ≤
∫ (^) b
a
(∫ (^) d
c
fx(y)dy
dx ≤
I
f.
ii)
I
f ≤
∫ (^) b
a
d
c
fx(y)dy
dx ≤
∫ (^) b
a
d
c
fx(y)dy
dx ≤
I
f.
iii)
I
f ≤
∫ (^) d
c
(∫ (^) b
a
fy(x)dx
dy ≤
∫ (^) d
c
(∫ (^) b
a
fy(x)dx
dy ≤
I
f.
iv)
I
f ≤
∫ (^) d
c
b
a
fy(x)dx
dy ≤
∫ (^) d
c
b
a
fy(x)dx
dy ≤
I
f.
v) Si existe
I f^ , entonces las desigualdades anteriores son igualdades. Ejemplos.
(1) Sea f : [0, 1] × [0, 1] → R definida por f (x, y) =
1 si x ∈ Q 2 y si x 6 ∈ Q.
Probar:
a) Existe
∫ (^) t 0 f^ (x, y)dy^ para todo^ t^ ∈^ [0,^ 1] y ∫ (^1) 0
t 0 f^ (x, y)dy
dx = t^2 ,
0
t 0 f^ (x, y)dy
dx = t.
Deducir que existe
0
0 f^ (x, y)dy
dx.
b) Existe
0
0 f^ (x, y)dx
dy. c) La funci´on f no es integrable en el cuadrado [0, 1] × [0, 1].
(2) Sea A = {(i/p, j/p) ∈ R^2 : p es primo, 1 ≤ i, j ≤ p − 1 }. Es f´acil probar que cada recta horizontal o vertical corta a A como m´aximo en un n´umero finito de puntos. Sin embargo, A no tiene contenido cero porque es denso en Q = [0, 1] × [0, 1]. De hecho A es un conjunto sin contenido (su frontera no tiene contenido cero).
Si definimos f : Q → R por f (x, y) =
1 si (x, y) ∈ A 0 si x ∈ Q \ A,
entonces f no es inte-
grable en Q (la integral inferior vale cero y la integral superior vale 1). Sin em- bargo, existen
0
1 0 f^ (x, y)dy
dx =
0
1 0 f^ (x, y)dx
dy, pues fx y fy tienen un n´umero finito de discontinuidades.
(3) Sea f : Q = [0, 1] × [0, 1] → R la funci´on definida por
f (x, y) =
0 si x ´o y son irracionales 1 /n si y es racional, x = m/n con m y n primos entre s´ı y n > 0. Entonces
Q f^ =^
0
0 f^ (x, y)dx
dy = 0 pero
0 f^ (x, y)dy^ no existe si^ x^ es racional.
