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INTEGRAL DE SUPERFICIE
- Geometr´ıa de las superficies. Entendemos por superficie el lugar geom´etrico de un punto que se mueve en el espacio R^3 con dos grados de libertad. Tambi´en podemos pensar una superficie como el resultado de enrollar, curvar y comprimir un plano en el espacio.
Anal´ıticamente, una superficie S se define como imagen de una funci´on vectorial, que ser´a su parametrizaci´on. M´as concretamente, una parametrizaci´on de una superficie es una funci´on Φ : D ⊂ R^2 → R^3 definida por
Φ(u, v) =
x(u, v), y(u, v), z(u, v)
, ∀(u, v) ∈ D,
y definimos S = Φ(D).
Diremos tambi´en que una superficie es diferenciable cuando admita alguna parame- trizaci´on diferenciable.
Ejemplos.
- El caso m´as simple de superficie dada por su f´ormula expl´ıcita z = f (x, y) se puede parametrizar por Φ(u, v) =
u, v, f (u, v)
- La funci´on Φ(u, v) = (u cos α cos v, u cos α sen v, u sen α), con (u, v) ∈ R × [0, 2 π], tiene por imagen el cono z^2 = k^2 (x^2 + y^2 ), con k = tg α.
- Un cilindro de ecuaci´on x^2 + y^2 = a^2 se parametriza por la funci´on Φ(u, v) = (a cos v, a sen v, u), con u ∈ R, 0 ≤ v ≤ 2 π.
- La esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2 se parametriza por la funci´on Φ(u, v) = (a cos u sen v, a sen u sen v, a cos v), con (u, v) ∈ [0, 2 π] × [0, π].
- La superficie parametrizada por Φ(u, v) =
u + v, (u + v)^2 , (u + v)^3
degenera en una curva.
- Si 0 < b < a, la parametrizaci´on Φ(u, v) = ((a+b cos u) sen v, (a+b cos u) cos v, b sen u) determina un toro.
Geometr´ıa de las superficies
- Vector normal a una superficie. Sea D ⊂ R^2 un abierto y Φ : D → R^3 una parametrizaci´on de la superficie S diferen- ciable en un punto (u 0 , v 0 ) ∈ D. Entonces las aplicaciones
Φv 0 (u) = Φ(u, v 0 ), Φu 0 (v) = Φ(u 0 , v)
representan dos curvas que, en un entorno de (u 0 , v 0 ), est´an contenidas en S. Los vectores
Tu =
( (^) ∂x ∂u ,
∂y ∂u ,
∂z ∂u
∣(u 0 ,v 0 )^ , Tv =
( (^) ∂x ∂v ,
∂y ∂v ,
∂z ∂v
∣(u 0 ,v 0 )
son tangentes a dichas curvas en el punto Φ(u 0 , v 0 ). Si dichos vectores no son colineales, determinan el plano tangente a la superficie en ese punto, de modo que Tu ×Tv es un vector normal a la superficie. Llamaremos puntos singulares aquellos en los que Tu × Tv = 0 y puntos regulares aquellos en los que Tu × Tv 6 = 0. Una parametrizaci´on es regular cuando todos sus puntos son regulares.
Diremos entonces que la superficie es suave (o regular) cuando admite alguna para- metrizaci´on regular; en este caso el plano tangente tiene por ecuaci´on
(x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) · −→n = 0,
donde x 0 = x(u 0 , v 0 ), y 0 = y(u 0 , v 0 ), z 0 = z(u 0 , v 0 ), y −→n = Tu × Tv.
Ejemplos.
- La superficie x = u cos v, y = u sen v, z = u (u ≥ 0), no es suave en (0, 0) pues Tv (0, 0) = (0, 0 , 0).
- Para determinar la ecuaci´on del plano tangente a la superficie
Φ(u, v) = (u cos v, u sen v, u^2 + v^2 )
correspondiente al punto (1, 0), calculamos
Φ(1, 0) = (1, 0 , 1), Tu(1, 0) = (1, 0 , 2), Tv (1, 0) = (0, 1 , 0),
con lo que Tu × Tv = (− 2 , 0 , 1) y la ecuaci´on se escribe como
(x − 1 , y, z − 1) · (− 2 , 0 , 1) = 0, o bien − 2 x + z + 1 = 0.
Como Tu × Tv = (f (u)f ′(u), −f (u) cos v, −f (u) sen v), entonces |Tu × Tv | = |f (u)| ·
1 + (f ′(u))^2 , y
a(S) =
∫ (^2) π 0
dv
∫ (^) b a
|f (u)| ·
1 + (f ′(u))^2 du = 2π
C
y ds = 2π y L.
- Para calcular el ´area del cono parametrizado por Φ(u, v) = (u cos v, u sen v, u), donde (u, v) ∈ D = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2 π}, determinamos en primer lugar el vector normal: Tu = (cos v, sen v, 1), Tv = (−u sen v, u cos v, 0), Tu × Tv = (−u cos v, −u sen v, u), |Tu × Tv | = u
As´ı pues, a(S) =
D
u
2 dudv =
∫ (^2) π 0
dv
0
u
2 du = π
lo que concuerda con lo establecido por el teorema de Pappus.
- Un helicoide S est´a parametrizado por la funci´on Φ(u, v) = (u cos v, u sen v, v), en D = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2 π}. En este caso, Tu × Tv = (sen v, − cos v, u) y |Tu × Tv | =
1 + u^2. Por lo tanto, el ´area de la superficie viene dada por
a(S) =
∫ (^2) π 0
dv
0
1 + u^2 du =
2 + ln(1 +
- Integral de superficie de campos escalares. Sea S una superficie parametrizada por una funci´on diferenciable Φ : D ⊂ R^2 → R^3 y f : Φ(D) → R un campo escalar acotado en S = Φ(D). Se define la integral de f a lo largo de la superficie S como ∫ ∫ S
f dS =
D
f (Φ(u, v))^ · |Tu × Tv | dudv,
siempre que la ´ultima integral exista.
Ejemplos.
- Si f ≡ 1, la integral representa el ´area de S.
- Si f (x, y, z) representa la densidad de una l´amina en cada punto de una superficie S, la masa de la superficie es m =
S
f dS.
- El centro de gravedad de la l´amina anterior es el punto ( x, y, z), donde
x = m^1
S
x · f (x, y, z) dS, y = m^1
S
y · f (x, y, z) dS, z = m^1
S
z · f (x, y, z) dS.
- Si f (x, y, z) representa la temperatura en cada punto de una superficie S, el flujo de calor a trav´es de la superficie se determina por
S
f dS y la temperatura promedio de la superficie es T =
∫∫^ S^ f dS S 1 dS
- Integral de superficie de campos vectoriales. Sea S una superficie parametrizada por una funci´on diferenciable Φ : D ⊂ R^2 → R^3 y F : Φ(D) → R^3 un campo vectorial acotado en S = Φ(D). Se define la integral de F a lo largo de la superficie S a ∫ ∫ S
F dS =
D
F (Φ(u, v)) · (Tu × Tv ) dudv =
S
F · n dS,
donde −→n es el vector unitario normal a la superficie. Dicha integral tambi´en recibe el nombre de flujo de F a trav´es de S por el significado f´ısico que representa.
Notaci´on. Si F = (F 1 , F 2 , F 3 ) es un campo vectorial, la integral de F a lo largo de una superficie S se suele denotar por ∫ S
F =
S
F 1 dydz + F 2 dzdx + F 3 dxdy.
El motivo de esta notaci´on es que el vector normal −→n es igual a
−→n = −→ i ∂(y, z) ∂(u, v) +^
−→ j ∂(z, x) ∂(u, v) +^
−→ k ∂(x, y) ∂(u, v).
Independencia de la parametrizaci´on.
Consideraremos aqu´ı superficies orientadas, es decir superficies S en las que, en cada punto, existen dos vectores normales unitarios −→n 1 y −→n 2 , con −n→ 1 = −−→n 2 , de manera que para cualquier elecci´on del vector unitario normal −→n en cada punto de S, −→n var´ıa de forma continua a lo largo de S. As´ı, cada elecci´on de −→n da lugar a una orientaci´on de la superficie. En el caso de una superficie cerrada, se conviene en llamar orientaci´on positiva
dada por
Φ(u, v) = (a cos u sen v, a sen u sen v, a cos v), 0 ≤ u ≤ 2 π, 0 ≤ v ≤ π,
y calculemos el flujo de calor. Como T (x, y, z) = C · (x^2 + y^2 + z^2 ), entonces
F (x, y, z) = −k · ∇T (x, y, z) = −k · C · (2x, 2 y, 2 z).
El vector normal exterior a la superficie es
Tu × Tv = (a^2 cos u sen^2 v, a^2 sen u sen^2 v, a^2 sen v cos v)
y la raz´on de flujo viene dada por la integral ∫ ∫ S
F dS = −
∫ (^2) π 0
du
∫ (^) π 0
2 kC · a^3 sen v dv = − 8 πk C a^3.
En este caso particular, podr´ıamos haber simplificado los c´alculos teniendo en cuenta que, si denotamos por −→r = (x, y, z) un punto de la superficie, el vector unitario normal exterior es tambi´en −→n = (x,y,z a )= −→r a. Como −→ F (x, y, z) = − 2 k · C · −→r , entonces −→ F · −→n = − 2 k · C · a. Por tanto, ∫ ∫ S
−→ F · −→n = − 2 k · C · a · ´area (S) = − 8 πk C a (^3).
- Si E(x, y, z) = (2x, 2 y, 2 z) es un campo el´ectrico, encontrar el flujo de E que sale a trav´es de la superficie cerrada S que consta de la semiesfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, z ≥ 0, y su base. Como los puntos de la circunferencia x^2 + y^2 = 1, z = 0, son singulares, debemos descomponer la superficie en dos partes, de modo que llamaremos S 1 a la semiesfera y S 2 al c´ırculo que forma la tapa inferior. Una parametrizaci´on de S 1 viene dada por la funci´on
Φ 1 (u, v) = (cos u sen v, sen u sen v, cos v), 0 ≤ u ≤ 2 π, 0 ≤ v ≤ π/ 2.
El vector normal a la superficie es
Tu × Tv = (− cos u sen^2 v, − sen u sen^2 v, − sen v cos v)
(observar que la componente −→ k de dicho vector es negativa por lo que el vector normal apunta hacia el interior de la superficie; el resultado de la integral ser´a opuesto al flujo deseado). As´ı pues, el flujo a trav´es de S 1 es
∫ ∫ S 1
E dS =
∫ (^2) π 0
du
∫ (^) π/ 2 0
2(cos^2 u sen^3 v + sen^2 u sen^3 v + sen v cos^2 v) dv = 4π.
An´alogamente, si parametrizamos la superficie S 2 por
Φ 2 (u, v) = (u cos v, u sen v, 0), 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2 π,
el vector normal asociado es
Tu × Tv = (cos v, sen v, 0) × (−u sen v, u cos v, 0) = (0, 0 , u)
(que apunta hacia el interior de la superficie pues la componente −→ k es positiva; el resultado de la integral tendr´a valor opuesto al flujo deseado). El flujo a trav´es de la superficie es ∫ ∫ S 2
E dS =
0
du
∫ (^2) π 0
0 dv = 0.
La suma de ambos resultados da, en definitiva, que ∫ ∫ S
E dS = 4π.
