¡Descarga Teoria de la topografía: notes completes y más Monografías, Ensayos en PDF de Topografía solo en Docsity!
10 Angles que es consideren en topografia (^) 71
Fig. 10.
Fig. 10.
10 Angles que es consideren en topografia
10.1 Angles verticals
Mesurem els angles verticals amb el fil horitzontal central del reticle.
Per mesurar l'angle dels punts 1 i 2, tracem una visual des de l'estació fins a enrasar en el punt 1 i realitzem la lectura de l'angle zenital V ; després visem el punt 2 i llegim l'angle 1 zenital V. 2
L'angle vertical és V = V - V. 2 1
Els angles V 1 i V , amb l'origen a la vertical 2 del lloc, són angles zenitals; i els angles que resulten de la diferència dels dos zenitals s'anomenen angles verticals.
Un angle com el VA per a un punt A, més petit de 100 , s'anomena angle d'elevació; i un angleg com el V (^) B per al punt B, més gran de 100 ,g s'anomena angle de descens (Fig. 10.2)
72 Topografia i replantejaments
Fig.10.
Fig. 10.
10.2 Angles horitzontals
La vertical de l'estació, E, amb les verticals en els punts A i B, determina dos plans verticals i ens indica l'angle que formen les dues alineacions, " (Fig. 10.3).
Els angles horitzontals se suavitzen amb el fil vertical central del reticle.
Com que l'angle, ", ha estat mesurat amb un origen d'angles arbitrari, l'angle s'anomena horitzontal.
Si l'origen dels angles fos el nord geogràfic, l'angle mesurat seria un angle azimutal (Fig. 10.4. a ).
Si l'origen dels angles fos el nord magnètic, l'angle mesurat seria un angle rumb (Fig. 10.4. b ).
74 Topografia i replantejaments
Fig. 10.
Fig.10.
Es col·loca la ullera en direcció B i no llegim l'angle, sinó que fixem la ullera al limbe i alliberem aquest de la base de l'aparell. Tornem a A, amb la qual cosa la ullera va arrossegant el limbe una magnitud, ". Desplaçant el zero una magnitud igual (Fig. 10.6. b ) es torna a fixar el limbe a la base de l'aparell i s'allibera la ullera, que, portant-lo a B, torna a recórrer una magnitud ".
Aquesta operació es realitza el nombre de vegades que es cregui convenient i després es realitza l'última lectura.
En el nostre cas, hem fet cinc vegades l'operació. En conseqüencia, la lectura final significa la magnitud de cinc vegades l'angle ", per la qual cosa, dividint per cinc, obtenim l'angle desitjat (Fig. 10.6. c ).
10.5 Mètode de reiteració
Es tracta d'un mètode molt simple, consistent a mesurar l'angle, ", entre A i B en diversos sectors del limbe horitzontal. Amb això s'evita cometre un error de lectura, ja que el fet de realitzar sempre la lectura amb un origen diferent n'elimina la possibili- tat.
Finalment es calcula la mitjana de totes les lectures efectuades i es pren aquesta mitjana com la magni- tud final de ", que s'admet com a bona.
10 Angles que es consideren en topografia (^) 75
Fig. 10.
Fig. 10.
10.6 Agulla magnètica
És una agulla o una xapa de ferro fina, que està imantada. Hi ha imants naturals com, per exemple, el mineral magnetita. Aquesta agulla o imant té la propietat d'orientar-se en la direcció nord-sud magnètica de la Terra.
En física ja ens ensenyaven el clàssic experiment de col·locar sobre un paper llimadures de ferro i a sota, un imant. Les llimadures de ferro s'ordenaven com a la figura 10.8, seguint la direcció nord-sud de l'imant.
10.7 Meridiana magnètica
La Terra és com un gigantesc imant. Té els pols nord i sud magnètics, que no coincideix amb els pols nord i sud geogràfics.
El nord i el sud magnètics es troben separats fins a 1.300 km un de l'altre en segons quines ocasions (Fig. 10.9).
Considerant el pol nord i el pol sud magnètics, podem dibuixar els meri- dians que van del nord magnètic (NM) al sud magnètic (SM), que són els meridians magnètics. D'aquí ve el concepte de meridiana magnètica , que és la direcció NM-SM que pren l'agulla imantada d'una bruíxola.
11 Planimetria (^) 77
Fig. 11.
11 Planimetria
11.1 Determinació topogràfica d'un punt
Els exemples que s'exposen a continuació són per fer l'aixecament d'un punt, i s'ha d'interpretar que tot el que es diu és extensible a tots els punts que es creguin necessaris en la realització d'un aixecament complet.
11.2 Coordenades polars
Aquest mètode consisteix a fixar un origen d'angles, O, i un origen de distàncies (Fig. 11.1).
Amb aquests elements com a base de l'aixecament, es pren l'angle, " (^) P, i la distància AP; és a dir, el punt està determinat per un angle i una distància.
78 Topografia i replantejaments
Fig. 11.
11.3 Coordenades cartesianes
El mètode de coordenades cartesianes pren com a origen dos eixos cartesians, X i Y, amb un origen, O, que divideix el sistema en quatre quadrants (Fig. 11.2).
Les X a la dreta de l'eix de les Y, són positives i a l'esquerra d'aquest eix són negatives.
Les Y per sobre de l'eix de les X són positives i per sota d'aquest eix són negatives.
El punt 1 del primer quadrant té +X 1 +Y 1
El punt 2 del segon quadrant té +X 2 -Y 2
El punt 3 del tercer quadrant té -X 2 -Y 2
El punt 4 del quart quadrant té -X 4 +Y 4
80 Topografia i replantejaments
Fig. 11.
Per a aquest procediment d'angles interns entre la base i l'alineació del punt, fa falta un croquis, com en el mètode de coordenades bipolars lineals, per poder indicar si el punt es troba a un costat o a altre de la base.
A aquest mètode se li pot eliminar aquest inconvenient: en lloc d'utilitzar angles interns fem servir rumbs i amb això queda eliminat l'inconvenient del croquis. En tenim un exemple a la figura 11.6:
Amb aquest procediment s'obtenen angles referits a un origen per la qual cosa el punt queda totalment determinat en el corresponent lloc del pla.
Els rumbs utilitzats en aquest sistema poden ser rumbs amb origen a NM o angles referits a qualsevol origen arbitrari.
Punts Rumbs llegitsdes de A Rumbs llegitsdes de B
1 R 1 R 1
2 R 2 R 2
3 R 3 R 3
4 R 4 R 4
11 Planimetria (^) 81
Fig. 12.
12 Mètode de coordenades cartesianes
12.1 Quadrants i signes
Al gràfic de la figura 12.1 podem veure dos eixos de coordenades, X i Y, amb origen en el centre, O. Aquests eixos divideixen l'espai en els quadrants primer, segon, tercer i quart. Les X són positives a la dreta de l'eix de les Y, i són negatives a l'esquerra d'aquest eix. Les Y són positives per sobre de l'eix de les X, i són negatives per sota d'aquest eix. Per tant, els punts del primer quadrant tenen les coordenades +X +Y. Els punts del segon quadrant tenen les coordenades +X -Y. Els punts del tercer quadrant tenen les coordenades -X -Y. I les coordenades d'un punt del quart quadrant són -X +Y.
2 BA
2 CB
2 DC
2 AD
' % X ' ' & X
' % Y ' ' & Y
12 Mètode de coordenades cartesianes (^) 83
A la figura 12.2 s'ha traçat un itinerari de quatre estacions A, B, C i D. Tenim, doncs, a partir de l'estació
d'origen, A, la distància D (^) ABi el rumb. Amb aquest rumb i aquesta distància podem calcular les
coordenades relatives de AB, que són +X (^) AB +Y (^) AB, ja que l'estació B respecte de la A es troba en el primer quadrant, per motiu del qual ambdues coordenades són positives.
Després ens aturem a B i amb la distància D (^) BCi el rumb calculem les coordenades relatives de B a C,
que són +X (^) BC -YBC , ja que l'estació C respecte de la B es troba en el segon quadrant i és per aquest motiu que la X és positiva i la Y negativa.
A continuació ens estacionem a C i visem l'estació D, i amb la distància D (^) CDi el rumb calculem les
coordenades relatives de C a D, que són -X (^) CD -Y (^) CD; totes dues són negatives, ja que l'estació D respecte de la C es troba en el tercer quadrant.
Finalment, ens estacionem a D i visem i llegim l'estació A de tancament i, amb les dades, la distància DDA
i el rumb , podem calcular les coordenades relatives, que resulten ser -X (^) DA +Y (^) DA, ja que com que
l'estació A respecte de la D es troba en el quart quadrant, la X és negativa i la Y és positiva.
Aquestes coordenades que hem estat manejant són relatives perquè són coordenades d'una estació a una altra, és a dir, si considerem les coordenades relatives de BC, veiem que C respecte de B és en el segon quadrant, i això fa que X sigui positiva i que Y sigui negativa. Si ara volem les coordenades de CB, veiem que la distància és la mateixa i que el rumb també és ±200 ; per tant, les funcions trigonomètriques són lesg mateixes i la distància també, per la qual cosa les coordenades en valor absolut són iguals, però de signe contrari, ja que abans l'estació C respecte de la B era en el segon quadrant, cosa que motivava que la X fos positiva i la Y, negativa; això no obstant, l'estació B respecte de l'estació C és en el quart quadrant i, aleshores, tenim la X negativa i la Y positiva; podem dir, doncs, que
+X (^) BC = -X (^) CB i -Y (^) BC = +YCB
Hem d'observar a la figura que si partim de l'estació A i ho tanquem en aquesta estació, el recorregut de les X positives i el de les X negatives ha de ser igual en valor absolut, si no fos així, no arribaríem a A o en passaríem de llarg, per la qual cosa queda demostrat que la suma de positives i de negatives ha de ser igual.
Com a conseqüència, la diferència d'ambdues sumes en valor absolut ha de ser zero.
Ocorre el mateix amb les Y, si partim de A i ho tanquem a la mateixa A. És evident que hem recorregut el mateix camí per a les Y positives que per a les Y negatives, i s'ha complert que
La diferència de les dues sumes en valor absolut ha de ser zero.
Això que acabem de fer és el tancament de les coordenades relatives d'un itinerari tancat.
84 Topografia i replantejaments
Si la diferència d'ambdues sumes, tant per a les X com per a les Y, no és zero, sinó que hi ha un error, o diferència, s'ha de comprovar si aquest error entra dins la tolerància. Si és així, s'ha de passar a la compensació de l'error esmentat i tancar definitivament l'itinerari.
El tancament dels itineraris es tracta en la pròxima lliçó, amb exemples numèrics.
12.3 Coordenades cartesianes definitives
Les coordenades relatives compensades són relatives, tal com s'ha dit, perquè són reversibles canviant de signe. Hem demostrat que
+X (^) BC = -X (^) CB i -Y (^) BC = +YCB
Aquestes coordenades canvien de signe segons el quadrant en què es troba l'estació corresponent. A continuació calcularem, doncs, les coordenades definitives, que són les particulars de cada estació.
Estacions
Coordenades relatives Coordenades definitives X Y X Y
A (^) + X + Y X = X Y = Y AB AB A^ A^ A^ A B X (^) B = X +(XA AB) Y (^) B = Y +(YA AB)
- X (^) BC - YBC C X (^) C = X +(XA AB+X BC) Y (^) C = Y +(YA AB-Y BC)
- X (^) CD - YCD D X (^) D = X +(XA AB+X BC-X CD) Y (^) D = Y +(YA AB-Y BC-Y CD)
- X (^) DA + YDA A X (^) A = X +(XA AB+X BC-X CD-X DA) Y (^) A = Y +(YA AB-Y BC-Y CD+Y DA)
Amb el quadre superior i seguint la figura 12.2, on es troba representat l'itinerari, podem deduir le coordenades definitives de les estacions.
Fixem les coordenades de l'estació d'origen de forma que tot l'itinerari se'ns situï en el primer quadrant. D'aquesta manera totes les coordenades són positives.
L'origen de coordenades és O i les definitives de l'estació A són
X (^) A i YA
Per seguir bé el que estem fent, primer observem la figura i després el quadre adjunt.
Les coordenades definitives de l'estació B són les definitives de l'estació anterior A ± les relatives; és a dir, que
2 BA ' 132,14g
2 AB ' 332,14g
13 Mètode d'itinerari (^) 87
Fig. 13.
13 Mètode d'itinerari
13.1 Enllaçament de les estacions
Les estacions d'un itinerari s'enllacen per la distància i el rumb invers.
L'estació A de la figura 13.1 està enllaçada amb la B de la manera següent:
El rumb de A a B és i la distància, D (^) AB.
En A, diametralment oposat a 132,14 , tenim 132,14 + 200 = 332,14.g
Quan ens estacionem a B operem tal com segueix:
- Col·loquem en el limbe horitzontal el rumb invers , que és el rumb directe ±200 .g
- Amb aquest rumb invers fixat a la ullera, visem l'estació A, amb la qual cosa el rum BA és .
5 B
TX $ K '^ X^
2
200
TY $ K '^ Y^
2
200
88^ Topografia i replantejaments
- Diametralment oposat tenim 132,14, o sigui, el rumb directe , amb la qual cosa, el O, nord magnètic, s'ha col·locat a l'estació B, exactament paral·lel a l'estació A.
Això és l'enllaçament de dues estacions per rumb invers. És anomenat, també, enllaçament directe de Moinot.
13.2 Itinerari tancat, I
Estacions Rumbs^ Distàncies Llegits Correcció Corregits De cara D'esquena Mitjana
R 380,08 128,26 128, R 47,48 94,78 94, R 124,04 131,44 131, R 225,53 79,32 79, R 156,96 130,78 130, R 246,65 83,88 83, R 331,00 66,90 66, R 287,02 117,52 117, R 22,31 92,56 92, R 380, R
Amb les dades de la pàgina anterior, calculeu i compenseu les coordenades cartesianes d'aquest itinerari, I, tancat.
Coordenades definitives de R1 X = 12,264,04 m Y = 27.111,
Tolerància angular =
Tolerància per a coordenades T = 0,15% o aplicant essent K = 1.
3 m^ B
5 m^ B
5 B
T ' 5 B' 5 x 3 ' 15
90^ Topografia i replantejaments
Primer es comprova si el rumb de sortida és igual al rumb de tancament; si no és així, es calcula la diferència.
rumb R1 R2 de sortida = 380, rumb R1 R2 de tancament = 380,
error de tancament = 0,
S'ha de comprovar si aquest error de 13 min és admissible.
Les toleràncies angulars admeses pel cadastre suís són
per a poligonals principals
per a poligonals secundàries
essent m el nombre d'eixos del polígon.
En aquests exercicis prendrem en consideració les poligonals secundàries, per la qual cosa aplicarem. El resultat serà en minuts.
L'error comès de 13 min és més petit que la tolerància de 15 min; per tant, es pot passar ja a la compensació angular.
En el càlcul de les coordenades, 13 min no influeixen en el resultat, per la qual cosa, es reparteix l'error en minuts sencers, tal com s'indica a l'exercici resolt.
Com que l'error és acumulatiu, es compensa, tal com es pot veure a la segona columna de la correcció angular.
Es procedeix a corregir els angles i se suma o es resta la correcció, segons que correspongui.
Per a les distàncies no s'han de fer més operacions que buscar-ne la mitjana.
Amb les distàncies mitjanes i els rumbs corregits, s'inicia el càlcul de coordenades relatives. Per exemple:
Coordenades relatives de R1 a R2 Coordenades relatives de R9 a R
sinus de 380,08 x 128,20 = X = -39,46 sinus de 22,19 x 92,52 = X = +31,
cosinus de 380,08 x 128,20 = Y = +86,96 cosinus de 22,19 x 92,52 = Y = +86,
' % X ' & X
' % Y ' & Y
TX ' K^ '^ X^
2 200
' 1,11m
TY ' K ' Y 2
' 1,13 m
FX ' 0,
FY ' 0,
13 Mètode d'itinerari (^) 91
Com que l'itinerari és tancat, és a dir, com que es parteix d'una estació A i es retorna a aquesta mateixa estació, es compleix que:
La diferència entre i ha de ser zero.
La diferència entre i ha de ser zero.
Es realitza aquesta comprovació i es troba un error de 0,47 per a les X, i de 0,07 per a les Y, error que s'ha de compensar, però abans cal comprovar que l'esmentat error estigui dins de la tolerància que li correspongui.
En aquest exercici ens donen una tolerància de 0,15%.
La suma total de les X és 600,71 x 0,15% = 0,90 m La suma total de les Y és 619,49 x 0,15% = 0,93 m
Aplicant aquestes fórmules encara augmenta la tolerància, amb la qual queda confirmada la validesa dels errors i es pot passar a fer-ne la compensació.
Per realitzar-ho es calcula el coeficient de repartiment, que és l'error unitari o l'error per metre.
El recorregut total de les X, en valor absolut, és 600,71 m i l'error és de 0,47 m. Per tant, l'error unitari o coeficient de repartiment és
Per a les Y es procedeix de la mateixa manera:
13.2.2 Compensació de les X
Es multiplica cada X pel coeficient de repartiment trobat i es col·loca a la columna C corresponent.
Aquest repartiment proporcional s'estima en centímetres, per la qual cosa s'ha de tenir en compte si l'última xifra està afectada per excés o per defecte.
La suma d'aquests repartiments ha de ser igual a l'error total.
A continuació, i en el cas concret de les X, es veu que perquè la suma de les X positives i negatives siguin
