Principios de Conservación de Masa y Flujos de Fluidos - Prof. profe, Resúmenes de Termodinámica

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Termodinámica

Çengel, Y. y Boles, M. (2011). Conservación de masa.

Termodinámica. (pp.220-224). México: Mc Graw-Hill.

ANÁLISIS DE MASA Y ENERGÍA

5-1 ■^ CONSERVACIÓN DE LA MASA La conservación de la masa es uno de los principios fundamentales de la naturaleza. Todos estamos familiarizados con este principio y no es difícil de entender. Una persona no tiene que ser un científico para saber cuánto aderezo de vinagre y aceite se obtiene al mezclar 100 gramos de aceite con 25 gramos de vinagre. Incluso el balanceo de ecuaciones químicas se hace con base en el principio de conservación de la masa. Cuando 16 kg de oxí- geno reaccionan con 2 kg de hidrógeno, se forman 18 kg de agua (Fig. 5-1). En un proceso de electrólisis, el agua se separa en 2 kg de hidrógeno y 16 kg de oxígeno. Al igual que la energía, la masa es una propiedad conservada y que no puede

crearse ni destruirse durante un proceso. Sin embargo, la masa m y la energía

E se pueden convertir entre sí según una fórmula bien conocida que propuso

Albert Einstein (1879-1955): E  mc 2 (5-1)

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y tienen valor c  2.9979  108

m/s. Esta ecuación indica que la masa de un sistema cambia cuando su energía también lo hace. Sin embargo, para todas las interacciones de energía encontradas en la práctica, con excepción de las reacciones nucleares, el cambio en la masa es tan pequeño que ni siquiera lo detectan los dispositivos más sensibles. Por ejem- plo, cuando se forma 1 kg de agua a partir de oxígeno e hidrógeno, la cantidad de

energía liberada es 15.879 MJ, que corresponde a una masa de 1.76  10 ^10 kg.

Una masa de esta magnitud está más allá de la exactitud requerida en casi todos los cálculos de ingeniería, por lo tanto se puede ignorar. Para sistemas cerrados , el principio de conservación de la masa se usa de modo implícito al requerir que la masa del sistema permanezca constante durante un proceso. Sin embargo, para volúmenes de control , la masa puede cruzar las fronteras, de modo que se debe mantener un registro de la cantidad de masa que entra y sale.

Flujos másico y volumétrico La cantidad de masa que pasa por una sección transversal por unidad de

tiempo se llama flujo másico y se denota mediante m

. El punto sobre un sím- bolo se usa para indicar la rapidez de cambio respecto al tiempo , como se explicó en el capítulo 2. Un fluido entra o sale comúnmente de un volumen de control a través de tuberías o ductos. El flujo másico diferencial del fluido que pasa por un pequeño elemento de área dAt en una sección transversal de flujo es propor- cional a dAt , la densidad del fluido r y la componente de la velocidad de flujo normal a dAt , que se denota como Vn , y se expresa como (Fig. 5-2) d m ·^  r Vn dAt (5-2)

Observe que tanto d como d se usan para indicar cantidades diferencia-

les, pero d se emplea por lo regular para cantidades (como calor, trabajo

y transferencia de masa) que son funciones de la trayectoria y tienen dife- renciales inexactas , mientras que d se utiliza para cantidades (por ejemplo, propiedades) que son funciones de punto y tienen diferenciales exactas. Para flujo por un anillo de radio interno r 1 y radio externo r 2 , por ejemplo, 2

1

dA (^) t A (^) t 2 A (^) t 1 p 1 r 22 r 12 2 pero (flujo másico total a

través del anillo), no m

2 ^ m

1. Para valores especificados de^ r 1 y^ r 2 , el valor de la integral de dAt es fijo (de ahí los nombres función de punto y diferencial

2 kg + H 2

16 kg O (^2)

18 kg H 2 O

FIGURA 5-

La masa se conserva incluso durante las reacciones químicas.

→

→

dAt Vn

V

n

Superficie de control

FIGURA 5-

La velocidad normal Vn a una superficie es la componente de la velocidad perpen- dicular a la superficie.

2

1

 m

m

total

ANÁLISIS DE MASA Y ENERGÍA

Principio de conservación de la masa El principio de conservación de la masa para un volumen de control se puede expresar como: la transferencia neta de masa hacia o desde el volumen

de control durante un intervalo de tiempo  t es igual al cambio neto (incre-

mento o disminución) en la masa total dentro del volumen de control durante

 t. Es decir,

a

Masa total que entra al VC durante ¢ t b^ ^ a

Masa total que sale del VC durante ¢ t b^ ^ a^

Cambio neto de masa dentro del VC durante ¢ t b o bien, m entrada  m salida  ¢ m VC 1 kg 2 (5-8)

donde  m VC  m final  m inicial es el cambio en la masa del volumen de control

durante el proceso (Fig. 5-5). También se puede expresar en la forma de tasa como m^ #^ entrada m^ #^ salida  dm VC> dt 1 kg>s (^2) (5-9)

donde m

entrada y^ m

salida son los flujos másicos hacia adentro y hacia afuera del volumen de control, y dm VC/ dt es la misma rapidez de cambio de masa con res- pecto al tiempo dentro de las fronteras del volumen de control. Comúnmente se hace referencia a las ecuaciones 5-8 y 5-9 como balance de masa y son aplica- bles a cualquier volumen de control que experimenta alguna clase de proceso. Considere un volumen de control de forma arbitraria, como se ilustra en la

figura 5-6. La masa de un volumen diferencial dV dentro del volumen de con-

trol es dm  r dV. La masa total dentro del volumen de control en cualquier

instante t se determina mediante integración como

Masa total dentro del VC: m (^) VC  (^)  VC

r dV (5-10)

Entonces la rapidez con la que cambia la cantidad de masa dentro del volu- men de control, por consiguiente, se puede expresar como

Rapidez de cambio de la masa dentro del VC:

dm VC dt

d dt VC

r dV (^) (5-11)

Para el caso especial en que ninguna masa cruza la superficie de control (es decir, el volumen de control es semejante a un sistema cerrado), el principio de conservación de la masa se reduce al de un sistema que se puede expresar como dm VC/ dt  0. Esta relación es válida si el volumen de control es fijo, móvil o se deforma. Ahora considere flujo másico que entra o sale del volumen de control por un área diferencial dA en la superficie de control de un volumen de control fijo;

donde n

→

es el vector unitario exterior de dA normal a dA y V

→ la velocidad de flujo en dA respecto a un sistema de coordenadas fijo, como se ilustra en la figura

5-6. En general, la velocidad puede cruzar dA a un ángulo u de la normal de dA ,

y el flujo másico es proporcional a la componente normal de la velocidad V

→

n 

V

→

cos u el cual varía de un flujo de salida máximo de V

→

para u  0 (el flujo es

normal a dA ) a un mínimo de cero para u  90° (el flujo es tangente a dA ) y a

un flujo de entrada máximo de V

→

para u  180 ° (el flujo es normal a dA pero en

dirección contraria). Si se utiliza el concepto del producto punto de dos vectores, la magnitud de la componente normal de la velocidad se puede expresar como

Componente normal de la velocidad: (5-12) El flujo másico por dA es proporcional a la densidad del fluido r, la velocidad normal V (^) n y el área de flujo dA , así que se expresa como Flujo másico diferencial: (5-13)

m entrada = 50 kg

Agua

Δ m tina de baño

=^ m^ entrada

-^ m^ salida = 20 kg

m salida = 30 kg

FIGURA 5-

Principio de conservación de la masa para una tina de baño ordinaria.

→

→

Volumen de control (VC)

Superficie de control (SC)

dV

dm dA

n

V

u

FIGURA 5-

Volumen de control diferencial dV y la superficie de control diferencial dA utilizada en la obtención de la relación de conservación de la masa.

 m^ ^ + Vn dA +
V cos . dA +
V

3

 n^3  dA

Vn V cos. V

3

 3 n

CAPÍTULO 5

El flujo neto que entra o sale del volumen de control por toda la superficie de

control se obtiene integrando d m

sobre la totalidad de esta última,

Flujo másico neto: m

neto ^  SC

d m^ #^  (^)  SC

r Vn dA  (^)  SC

r 1 V

S

n S 2 dA (^) (5-14)

Note que V

→

· n →  V cos u es positivo para u  90 ° (flujo hacia fuera) y nega-

tivo para u  90 ° (flujo hacia dentro). Por lo tanto, la dirección del flujo se

explica de forma automática y la integral de superficie de la ecuación 5-14 da

directamente el flujo másico neto. Un valor positivo para m

neto indica salida neta de flujo y otro negativo indica entrada neta de flujo de masa.

Al reacomodar los términos de la ecuación 5-9 como dm VC/ dt  m

salida 

m

entrada ^ 0, la relación de conservación de la masa para un volumen de con-

trol fijo se puede expresar como

Conservación general de la masa:

d dt VC r dV  (^)  SC

r 1 V

S

# S n^2 dA  0 (5-15)

Ésta expresa que la rapidez de cambio de la masa dentro del volumen de con- trol más el flujo másico neto por la superficie de control es igual a cero. Si se divide en dos partes la integral de superficie en la ecuación 5-15, una para los flujos salientes (positiva) y otra para los entrantes (negativa), la relación general de conservación de la masa también se puede expresar como

d dt (^) VC r d ˛˛ V (^) a salida

r P^ Vn P^ dA (^) a entrada

r P^ Vn P^ dA 0 (5-16)

donde A representa el área para una entrada o salida y el signo de la sumatoria se usa para remarcar que están consideradas todas las entradas y salidas. Si se utiliza la definición de flujo másico, la ecuación 5-16 también puede ser expresada como

d dt VC r dV  (^) a entrada

m

 (^) a salida

m

o

dm VC dt  (^) a entrada

m

 (^) a salida

m

(5-17)

Las ecuaciones 5-15 y 5-16 son válidas también para volúmenes de control móviles o con deformación siempre y cuando la velocidad absoluta V

→ se reem- place por la velocidad relativa V

→

r ,^ que corresponde a la del fluido en relación

con la superficie de control.

Balance de masa para procesos

de flujo estacionario

Durante un proceso de flujo estacionario, la cantidad total de masa contenida dentro de un volumen de control no cambia con el tiempo ( m VC  constante). Entonces el principio de conservación de la masa requiere que la cantidad total de masa que entra a un volumen de control sea igual a la cantidad total de masa que sale del mismo. Por ejemplo, para una tobera de manguera de jardín que opera de forma estacionaria, la cantidad de agua que entra a ella por unidad de tiempo es igual a la cantidad de agua que sale por unidad de tiempo. Cuando se trata de procesos de flujo estacionario, el interés no se centra en la cantidad de masa que entra o sale de un dispositivo con el tiempo, pero sí se está interesado en la cantidad de masa que fluye por unidad de tiempo,

es decir, el flujo másico m

. El principio de conservación de la masa para un

sistema general de flujo estacionario con entradas y salidas múltiples se puede expresar en forma de tasa como (Fig. 5-7)

Flujo estacionario: (^) a entrada

m

 (^) a salida

m

1 kg>s 2 (5-18)

m˙ 1 = 2 kg/s m˙ 2 = 3 kg/s

m˙ 3 = m˙ 1 + m˙ 2 = 5 kg/s

VC

FIGURA 5-

Principio de conservación de la masa para un sistema de flujo estacionario con dos entradas y una salida.