¡Descarga Probabilidad y teoría de conjuntos: conceptos básicos y teorema de Bayes y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
TEMA 5: PROBABILIDAD
1 Modelo matem´atico asociado a un experimento aleato-
rio. Espacio de probabilidad.
Para comenzar, es necesario establecer la diferencia entre Estad´ıstica Descriptiva y Proba- bilidad. En ambos casos se est´a tratando con fen´omenos aleatorios, pero en E. Descriptiva se estudian los resultados despu´es de realizar el experimento, mientras que en Probabilidad se estudia el experimento antes de realizarlo. As´ı, en E. Descriptiva estamos utilizando los valores que hemos obtenido al realizar el experimento, mientras que en Probabilidad trataremos los posibles resultados a los que puede conducir el experimento. Por ejemplo, en el caso de las cr´ıas de conejos, no hay ning´un ejemplo en el que haya 5 cr´ıas, mientras que en Probabilidad hay que tener en cuenta esta posibilidad. Consideremos el experimento que consiste en el lanzamiento de un dado; ´este es un experimento aleatorio. En este tema vamos a utilizar este ejemplo para ilustrar los resul- tados que se ir´an obteniendo. El conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio se dice espacio mues- tral y lo denotaremos por Ω.
Ejemplo 1. En nuestro ejemplo del dado, el espacio muestral ser´ıa
Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.
1.1 Sucesos
Definiremos un suceso como un enunciado relativo al experimento, de modo que tras realizar el experimento podemos afirmar si el enunciado se ha cumplido o no. Denotaremos los sucesos por letras may´usculas A, B, ...
Ejemplo 2. (Continuaci´on del Ejemplo 1) En nuestro caso, un posible suceso es A ≡ sali´o 5. Pero tambi´en es un suceso B ≡ sali´o par, C ≡ sali´o 2 ´o 3, etc.
N´otese que un suceso no es necesariamente un resultado posible del experimento. Por otra parte, dado un suceso, ´este puede identificarse con un subconjunto del espacio muestral; este subconjunto es el formado por aquellos resultados que har´ıan que el suceso fuese cierto. El conjunto de sucesos se denota por A y se identificar´a en nuestro caso con el conjunto de todos los subconjuntos de Ω, que se denota por P(Ω).
Ejemplo 3. (Continuaci´on del Ejemplo 1) En nuestro caso, un posible suceso es A ≡ sali´o 5, que se identifica con A = { 5 }. An´alogamente, B ≡ sali´o par, se identifica con B = { 2 , 4 , 6 }.
Por tanto, podemos reducirnos a estudiar lo que pasa con subconjuntos de Ω. Dado un suceso, puede ocurrir que no se pueda descomponer en sucesos m´as simples. Estos sucesos reciben el nombre de sucesos elementales y coinciden con los resultados del experimento.
Ejemplo 4. (Continuaci´on del Ejemplo 1) En nuestro caso, A = { 5 } es un suceso ele- mental.
Se define el suceso imposible como aqu´el que no puede ocurrir. Cualquier suceso imposible se identifica con el subconjunto que no tiene elementos puesto que ning´un resultado posible del experimento hace que se verifique; este subconjunto que no tiene elementos es llamado subconjunto vac´ıo y se denota por ∅.
Ejemplo 5. (Continuaci´on del Ejemplo 1) En nuestro caso, A ≡ sali´o 7, es un suceso imposible.
Se define el suceso seguro como aqu´el que ocurre siempre. Cualquier suceso seguro se identifica con el subconjunto de todos los elementos, llamado subconjunto total y denotado por Ω.
Ejemplo 6. (Continuaci´on del Ejemplo 1) En nuestro caso, A ≡ sali´o algo menor que 7, es un suceso seguro.
Dados dos sucesos, A, B, diremos que A implica B si siempre que ocurre A ocurre B. En el caso de la identificaci´on con subconjuntos, esto quiere decir que A est´a contenido en B, denotado A ⊆ B.
Ejemplo 7. (Continuaci´on del Ejemplo 1) Si A ≡ sali´o 2 y B ≡ sali´o par, entonces A implica B. En t´erminos de subconjuntos A = { 2 } ⊆ B = { 2 , 4 , 6 }.
Dados dos sucesos, A, B, diremos que A y B son equivalentes si A implica B y B implica A. En el caso de la identificaci´on con subconjuntos, esto quiere decir que A = B. En realidad, la equivalencia quiere decir que estamos diciendo lo mismo de dos formas diferentes.
Ejemplo 8. (Continuaci´on del Ejemplo 1) En nuestro caso, A ≡ sali´o par y B ≡ sali´o 2, 4 ´o 6, son sucesos equivalentes.
Dados dos sucesos, A, B, diremos que A y B son incompatibles si siempre que ocurre A no ocurre B y viceversa, es decir, no pueden ocurrir simult´aneamente. En el caso de la identificaci´on con subconjuntos, esto quiere decir que A y B no tienen ning´un elemento en com´un. N´otese que esto no significa que si A no ocurre, necesariamente tenga que ocurrir B; es posible que no ocurra ninguno de los dos.
Ejemplo 9. (Continuaci´on del Ejemplo 1) Si A ≡ sali´o 5, y B ≡ sali´o par, entonces A y B son incompatibles. En t´erminos de subconjuntos A = { 5 } y B = { 2 , 4 , 6 }, que no tienen ning´un elemento en com´un.
A B
A (Ω, A, ∪, ∩,c^ ) se le llama espacio probabilizable.
1.2 Probabilidad
Ya estamos en condiciones de dar la definici´on axiom´atica de probabilidad. Dado un experimento aleatorio con un espacio muestral Ω y un conjunto de sucesos A, se define la probabilidad como una aplicaci´on
P : A → [0, 1]
que satisface las siguientes propiedades:
- P (A) ≥ 0 cualquiera que sea el suceso A.
- P (Ω) = 1.
- A 1 ∩ A 2 = ∅, entonces P (A 1 ∪ A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ).
Aunque esta definici´on parece muy abstracta (lo es si no se est´a familiarizado con operaciones entre conjuntos y resultados de Teor´ıa de la Medida), en realidad la definici´on est´a reflejando algunas de las propiedades que de manera intuitiva deber´ıa verificar la probabilidad. En este sentido, es muy ´util considerar la probabilidad de un suceso como la proporci´on de veces que pasa ese suceso.
Ejemplo 14. (Continuaci´on del Ejemplo 1) Como veremos posteriormente, la probabili- dad en nuestro ejemplo viene dada por
P (A) =
|A|
donde |A| denota el cardinal de A, es decir, el n´umero de elementos que tiene A. N´otese que intuitivamente es lo que esper´abamos, en el sentido de que la probabilidad de cualquier valor posible al lanzar el dado deber´ıa ser 16.
Hay que tener en cuenta que si lanzamos el dado 6 veces, no necesariamente nos saldr´a un valor cada vez; tal vez el valor 2 salga 2 veces y 6 no salga nunca. Esto no implica que P (2) = 26 y P (6) = 0. Esto es debido a que la probabilidad presupone la frecuencia cuando lanzamos el dado infinitas veces. Si tenemos en mente la idea de la proporci´on, el primer axioma no dice m´as que dado un suceso, su probabilidad nunca es negativa, y esto es l´ogico, pues la proporci´on de veces que pasa algo nunca es negativa; podr´ıa pasar que el suceso no pasase nunca, pero en este caso la proporci´on valdr´ıa cero. El segundo axioma nos dice que la proporci´on de veces que pasa el suceso seguro es 1, lo que vuelve a ser l´ogico, porque el suceso seguro pasa siempre. Finalmente, el tercer axioma nos dice que si cogemos dos sucesos que no pueden aparecer al mismo tiempo, la proporci´on de veces que aparece el suceso uni´on es la suma de las proporciones de cada suceso.
Ejemplo 15. (Continuaci´on del Ejemplo 1) Si consideramos A = { 2 }, B = { 4 , 6 }, en- tonces P (A) = 16 , P (B) = 26. Por otra parte, A ∪ B = { 2 , 4 , 6 } y, por tanto, P (A ∪ B) = 36.
N´otese que si los sucesos no son incompatibles, la probabilidad de la uni´on no es necesariamente la suma de probabilidades, pues la probabilidad de la intersecci´on se estar´ıa considerando por duplicado.
Ejemplo 16. (Continuaci´on del Ejemplo 1) Si consideramos A = { 2 , 4 }, B = { 4 , 6 }, entonces P (A) = 26 , P (B) = 26. Por otra parte, A ∪ B = { 2 , 4 , 6 } y, por tanto, P (A ∪ B) = 3 6 =^
4
A la terna (Ω, A, P ) se le llama espacio de probabilidad.
2 Propiedades de la probabilidad
Como se dijo anteriormente, los diagramas de Venn representan cada suceso como una regi´on cerrada del espacio, dentro de la cual est´an los resultados que hacen que el suceso sea cierto. Si consideramos el suceso seguro como una regi´on de ´area 1, cada suceso es una regi´on contenida en la regi´on segura. Pues bien, la probabilidad puede interpretarse como el ´area de esa regi´on. Veamos ahora algunas otras propiedades que verifican las medidas de probabilidad. Para ellos nos basaremos en este ejemplo:
Ejemplo 17. Consideremos de nuevo el n´umero de cr´ıas de conejo en una camada, donde Ω = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, pero ahora supongamos que estudios anteriores han permi- tido obtener las siguientes probabilidades para cada uno de los siguientes resultados:
xi 0 1 2 3 4 5 6 pi 0.04 0.06 0.30 0.30 0.15 0.05 0.
Se podr´ıa argumentar que la probabilidad deber´ıa ser definida sobre cualquier subcon- junto de Ω y no s´olo sobre los sucesos elementales. Sin embargo, veremos a continuaci´on
Para entender esta propiedad es muy ´util recurrir a los diagramas de Venn. En este caso, en nuestro ejemplo tendr´ıamos una situaci´on como la dada en la Figura 1. Entonces puede verse que al unir A y B, hay una regi´on que se cuenta dos veces y que, por tanto, es necesario eliminarla una vez; esta regi´on coincide con lo que tienen en com´un las regiones A y B, que viene dado por su intersecci´on A ∩ B.
- Dado cualquier suceso A, se tiene P (Ac) = 1 − P (A). Ejemplo 20. (Continuaci´on del Ejemplo 17) Si A = { 0 , 1 }, se tiene que P (Ac) = P ({ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }) = 1 − P (A) = 1 − 0 .1 = 0. 9.
Desde el punto de vista de proporciones, este resultado es l´ogico pues no dice m´as que la proporci´on de veces que no pasa algo es 1 menos la proporci´on de veces que pasa ese suceso o, dicho de otra forma, la proporci´on de veces que no se gana es 1 menos la proporci´on de veces que se gana. O sea, que dado cualquier resultado del experimento siempre podemos decir si pasa o no pasa.
- P (∅) = 0. Esta propiedad nos dice que la probabilidad de que pase algo imposible es cero, o sea, que lo que no puede pasar no pasa nunca.
- Dado cualquier suceso A, se tiene 0 ≤ P (A) ≤ 1. Esta propiedad nos dice que la proporci´on de veces que pasa algo est´a entre 0 y 1.
- Dados A y B tales que A ⊆ B, entonces P (A) ≤ P (B). Ejemplo 21. (Continuaci´on del Ejemplo 17) Si A = { 0 , 1 } y B = { 0 , 1 , 2 }, entonces puede verse que P (A) = 0. 1 < P (B) = 0. 4. Si C = { 0 , 1 , 7 }, entonces P (A) = P (C).
Esta propiedad no dice m´as que si un suceso implica otro, este ´ultimo aparecer´a al menos con la misma frecuencia. Esto es l´ogico, pues siempre que aparece A aparece B. En otras palabras, si podemos apostar por m´as resultados que otro jugador, tenemos al menos la misma probabilidad de ganar. Aunque en este ejemplo la forma de conseguir la igualdad es a˜nadiendo al subcon- junto m´as grande resultados que no pueden ocurrir, veremos m´as adelante situa- ciones en que a˜nadiendo resultados posibles tambi´en se da la igualdad (ser´an casos en los que el espacio muestral tenga cardinal infinito).
N´otese que estas propiedades son tan l´ogicas como los tres axiomas de la definici´on de probabilidad; entonces, ¿por qu´e no incluirlas en la definici´on? En primer lugar, hay una raz´on pr´actica: se har´ıa extraordinariamente pesado dar la definici´on enumerando todas las propiedades l´ogicas que se verifican. Sin embargo, la raz´on de fondo est´a en las propiedades matem´aticas de los axiomas; desde un punto de vista matem´atico, todas estas propiedades pueden demostrarse a partir de los axiomas; en realidad, las axiom´aticas tratan de dar el menor n´umero de propiedades posibles (y no siempre las m´as l´ogicas) mediante las cuales se puedan deducir los otros resultados (que tampoco tienen que ser tan evidentes como los que hemos visto en esta secci´on).
3 Regla de Laplace
Hasta ahora hemos visto las propiedades que tiene que verificar una probabilidad; sin embargo, dado un problema real, ¿c´omo hallamos la probabilidad que modela el fen´omeno aleatorio? A continuaci´on vamos a ver una posibilidad para asignar probabilidades a sucesos conocida como Regla de Laplace. La Regla de Laplace se basa en el llamado postulado de indiferencia: Si un fen´omeno aleatorio cualquiera puede dar lugar a k sucesos elementales distintos y no se conoce raz´on alguna que favorezca la aparici´on de un resultado respecto de los otros, debe admitirse que todos tienen igual probabilidad (igual a (^1) k ).
Ejemplo 22. (Continuaci´on del Ejemplo 1) En este caso estamos en las condiciones del postulado de indiferencia. Por tanto, podemos asignar probabilidad 16 a todos los posibles resultados.
N´otese que se est´a suponiendo que el n´umero de posibles resultados es finito. En caso de haber infinitos resultados posibles, no puede aplicarse el postulado de indiferencia incluso aunque todos los resultados parezcan igualmente l´ogicos, pues ∞ no es un n´umero entero. Aplicando ahora los resultados de la secci´on anterior, sabemos que la probabilidad de cualquier suceso se puede hallar sumando las probabilidades de los sucesos elementales contenidos en ´el. Esto es lo que nos dice la Regla de Laplace, que se enuncia de la siguiente manera: Si el postulado de indiferencia es aplicable, la probabilidad de un suceso es el cociente entre el n´umero de casos favorables y el n´umero de casos posibles. Es decir,
P (A) =
cantidad de resultados favorables al suceso A cantidad de resultados posibles del experimento
Ejemplo 23. (Continuaci´on del Ejemplo 1) En nuestro caso del dado,
P ({ 1 , 2 , 3 }) =
, P (par) =
, P ({ 1 , 2 , 3 , 4 }) =
El problema ahora se reduce a contar el n´umero de casos posibles de un experimento y el n´umero de casos favorables de un suceso. Por ejemplo, si escogemos ordenadamente cuatro cartas de una baraja de 40, ¿cu´antos resultados posibles tiene el experimento? Para resolver este problema, se usan t´ecnicas de Combinatoria; en nuestro caso, usaremos las t´ecnicas m´as b´asicas: permutaciones, combinaciones y variaciones. La Regla de Laplace s´olo puede aplicarse en aquellas situaciones en que el postulado de indiferencia es cierto. As´ı, en el ejemplo del n´umero de cr´ıas por camada, no parecen igualmente l´ogicos los resultados 2 y 6. Otro ejemplo en el que no se puede aplicar la Regla de Laplace es para hallar la probabilidad de las notas de un examen, pues tampoco parece igualmente probable el valor 5 que el valor 10 (´o 0).
B
Bc
A ∩ Bc A ∩ B
N´otese que por la propia definici´on de probabilidad condicionada, es necesario que P (B) > 0 , pues no puede dividirse por 0. Desde un punto de vista intuitivo esto es razonable, pues si sabemos que ha ocurrido algo, necesariamente ese suceso tiene que poder ocurrir (aunque, como veremos posteriormente, hay sucesos con probabilidad 0 y que pueden ocurrir). En ocasiones, la nueva probabilidad condicionada no tiene que ser necesariamente diferente de la probabilidad inicial:
Ejemplo 25. (Continuaci´on del Ejemplo 1) En el caso anterior, A = { 2 , 3 }, entonces P (A) = 26 = 13 , mientras que P (A/B) = 13.
En realidad, esto implica que conocer que ha pasado B no influye en lo l´ogico que es que haya pasado A. Bas´andonos en este resultado, decimos que A es independiente de B si P (A/B) = P (A).
Ahora bien, si A es independiente de B entonces
P (A) = P (A/B) =
P (A ∩ B)
P (B)
de donde se obtiene P (A)P (B) = P (A ∩ B).
Por tanto, si P (A) > 0 , se tiene P (B) = P^ ( PA (∩AB) )= P (B/A). As´ı, si A es independiente de B, tambi´en B es independiente de A. Esto significa que tenemos una simetr´ıa. As´ı, en lo que sigue diremos que A y B son independientes cuando se cumple
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
N´otese que en este caso ya no tenemos probabilidades condicionadas ni hay ninguna probabilidad que divida, por lo que esta f´ormula es v´alida aunque alguno de los sucesos tenga probabilidad 0. De hecho, si P (A) = 0, siempre se tendr´a que A es independiente de cualquier otro suceso. Esto es l´ogico desde un punto de vista intuitivo, pues si A es imposible, la informaci´on de que ha ocurrido otro suceso no lo hace posible.
Se puede comprobar que si A y B son independientes, tambi´en lo son A y Bc, Ac^ y B, y tambi´en Ac^ y Bc. N´otese que esto es l´ogico, pues si saber que ha pasado B no cambia la probabilidad de A, tampoco debe cambiar la probabilidad de Ac.
Ejemplo 26. (Continuaci´on del Ejemplo 1) En nuestro caso, A = { 2 , 3 } y B = { 2 , 4 , 6 } eran independientes. Esto implica que P (Ac/B) = P (Ac) = 23 , como puede comprobarse f´acilmente.
Cuando tenemos n sucesos, la definici´on de independencia es que sean independientes dos a dos, tres a tres, etc. Matem´aticamente, A 1 , ..., An son independientes si y s´olo si
P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai)P (Aj ) ∀i, j independencia dos a dos P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) = P (Ai)P (Aj )P (Ak) ∀i, j, k independencia tres a tres ... ... ...
5 Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes
Los Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes son dos herramientas muy ´utiles para resolver problemas de Probabilidad.
5.1 Particiones
Antes de enunciar estos resultados, necesitamos introducir el concepto de partici´on. Dado un conjunto Ω, se dice que una serie de subconjuntos {A 1 , ..., Ak} de Ω determinan una partici´on si se verifican las dos condiciones siguientes:
- A 1 ∪ ... ∪ Ak = Ω.
- Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j.
En realidad, lo que estamos haciendo con una partici´on es dividir el conjunto Ω en trozos m´as peque˜nos. La primera condici´on establece que si volvi´esemos a unir cada trozo se volver´ıa a recuperar el conjunto total; dicho de otra manera, dado cualquier elemento de Ω, siempre existir´a un conjunto Ai en el cu´al est´e. La segunda condici´on establece que s´olo existe un Ai que contenga a este elemento. Por ejemplo, el conjunto de las notas puede particionarse en
{suspensos, aprobados, notables, sobresalientes, matriculas de honor}.
N´otese que dada una nota, esta nota est´a en alguna de las categor´ıas anteriores y s´olo en una de ellas.
Ejemplo 27. (Continuaci´on del Ejemplo 1) Dado el ejemplo del dado, podemos parti- cionar el espacio muestral Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } en {A, B} donde A ≡ pares = { 2 , 4 , 6 } y B ≡ impares = { 1 , 3 , 5 }. No es una partici´on A = { 2 , 4 , 6 } y C = { 3 , 5 } pues 1 no est´a en ninguno de los dos. Tampoco es partici´on A = { 2 , 4 , 6 } y D = { 1 , 2 , 3 , 5 } pues 2 aparece en los dos.
Ejemplo 29. Se lanza un dado 3 veces. En cada lanzamiento, si sale par se introduce una bola blanca en una urna, mientras que si sale impar, se introduce una bola negra. A continuaci´on, se saca una bola de la urna, ¿cu´al es la probabilidad de que sea blanca? En este caso tenemos el problema de que no sabemos cu´al es la composici´on de la urna en el momento de la extracci´on. Si lo supi´esemos (por ejemplo, si hubiese dos bolas blancas y una negra), s´ı ser´ıamos capaces de resolver el problema (en el caso anterior ser´ıa 23 ). Si consideramos como partici´on las posibles composiciones de la urna tenemos la par- tici´on {tres bolas blancas, dos bolas blancas y una negra, una bola blanca y dos negras, tres bolas negras}. Tenemos entonces la partici´on de resultados siguiente:
A 1 ≡^ Salen tres impares A 2 ≡ Salen dos impares y un par A 3 ≡ Sale un impar y dos pares A 4 ≡ Salen tres pares En primer lugar, n´otese que no es igualmente probable que salgan tres pares y que salgan dos pares y un impar, pues en el segundo caso tenemos la libertad de determinar en qu´e lanzamiento sali´o el n´umero impar. Los posibles resultados del experimento son
Ω = {P P P, P P I, P IP, IP P, P II, IP I, IIP, III},
donde I ≡ sale impar y P ≡ sale par. En este caso s´ı tenemos que los ocho resultados posibles son equiprobables, luego aplicando la Regla de Laplace obtenemos
P (A 1 ) =
, P (A 2 ) =
, P (A 3 ) =
, P (A 4 ) =
Denotemos B ≡ Sale una bola blanca. Nos queda hallar P (B/Ai), i = 1, ..., 4. En este caso tenemos la ventaja de que en cada situaci´on ya sabemos la composici´on de la urna; luego aplicando la Regla de Laplace (cada una de las tres bolas tiene la misma probabilidad de salir), se obtiene:
P (B/A 1 ) = 0, P (B/A 2 ) =
, P (B/A 3 ) =
, P (B/A 4 ) = 1.
Entonces, la probabilidad que nos piden es
P (B) =
× 1 +
×
×
× 0 =
5.3 Teorema de Bayes
Supongamos ahora la siguiente situaci´on:
Ejemplo 30. (Continuaci´on del Ejemplo 29) Si ahora hemos extra´ıdo una bola la urna y ha sido blanca, ¿cu´al es la probabilidad de que las tres bolas sean blancas? En este ejemplo, nos piden la probabilidad de haber sacado tres n´umeros pares, pero teniendo en cuenta la informaci´on adicional de que al extraer una bola ha salido blanca. Esta informaci´on influye en el resultado, pues nos indica que al menos en un lanzamiento ha salido par. Por ejemplo, si nos hubiesen preguntado la probabilidad de haber obtenido tres n´umeros impares, con la informaci´on que tenemos ya sabr´ıamos que es imposible.
En muchas situaciones, es necesario calcular probabilidades condicionadas y a priori no es sencillo calcularlas directamente. Supongamos que el t´ermino que no condiciona puede ser considerado como un elemento de una partici´on del conjunto de resultados.
Ejemplo 31. (Continuaci´on del Ejemplo 29) En el ejemplo anterior, nos piden la prob- abilidad de obtener tres n´umeros pares, y es un elemento de la partici´on del conjunto de resultados del experimento como hab´ıamos visto al usar el Teorema de la Probabilidad Total. En nuestro caso, nos piden P (A 4 /B).
En este caso, nuestro problema se puede modelar por calcular P (Ai/B), donde Ai es un elemento de la partici´on. Supongamos que nosotros pudi´esemos calcular la probabilidad condicionada al rev´es, es decir, P (B/Ai). En este caso se tiene
P (Ai/B) =
P (Ai ∩ B) P (B)
P (Ai)P (B/Ai) P (B)
Es muy posible que P (B) no sea sencillo de calcular; sin embargo, podemos aplicar el Teorema de la Probabilidad Total, obteniendo
P (Ai/B) =
P (Ai)P (B/Ai) P (A 1 )P (B/A 1 ) + ... + P (Ak)P (B/Ak)
expresi´on que se conoce como Teorema de Bayes.
Ejemplo 32. (Continuaci´on del Ejemplo 29) En nuestro caso podemos calcular f´acilmente P (B/A 4 ) = 1, pues si s´olo salen pares, las tres bolas son blancas y B es seguro. Ahora debemos calcular todos los dem´as t´erminos de la f´ormula de Bayes. Ya sabemos que
P (A 1 ) =
, P (A 2 ) =
, P (A 3 ) =
, P (A 4 ) =
Por otra parte, ya sabemos que
P (B/A 1 ) = 0, P (B/A 2 ) =
, P (B/A 3 ) =
, P (B/A 4 ) = 1.
Finalmente, aplicando la Regla de Bayes
P (A 4 /B) =
1 8 ×^1 1 8 ×^ 0 +^
3 8 ×^
1 3 +^
3 8 ×^
2 3 +^
1 8 ×^1
1 8 1 2
El valor del denominador es 12 , precisamente el valor que hab´ıamos obtenido al usar el Teorema de la Probabilidad Total. N´otese que con la informaci´on muestral, la probabilidad de obtener 3 n´umeros pares pasa de ser 18 a ser 14.
