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INTEGRALES DOBLES 9 TEMA 4 INTEGRALES DOBLES INTEGBAL DOBLE Definición Sea R una región cerrada y acotada del plano IR2, Sea f:1R2 > IR una función definida sobre la región R. Los pasos que conducen a la definición de integral doble son: 1. Consideramos una cuadrícula que contenga a R siendo Aj ¡=1,...,n rectán- gulos de la cuadrícula, de áreas respectivas AA;, totalmente contenidos en R. 2. Escogemos (x¡, y) punto arbitrario de A; para i =1,...,n. n 3. Calculamos lasuma — ) f(x, y)AA, a 4. Consideramos cuadrículas cada vez más finas que contengan a R, de modo que las dimensiones de cada rectángulo tiendan a 0, y el número de rectán- gulos contenidos en R sea cada vez mayor. Entonces definimos: n ll f(x, y) dA ¿lin 2, 1079994 Eunciones integrabl La función escalar de dos variables f definida en la región R cerrada y acotada se dice que es integrable sobre R si y sólo si verifica la existencia del límite anterior y su valor es finito. El valor del límite recibe el nombre de integral doble de f sobre R. INTEGRALES DOBLES 10 ngición suficien integrabilida: Si la función f es continua en la región R cerrada y acotada entonces f es inte- grable sobre R. Interpr ¡ón la 1 ral | (1) Si f(x, y)=1 enR, entonces Área (R) = f 1dA R (2) Si f(x, y)20 en R, entonces [| f(x, y) dA R representa el volumen del sólido de paredes laterales rectas limitado arriba por la superficie z =f (x, y) y abajo por la región R en el plano z =0. z *x (3) Si f(x y) 29 (x, y), entonces S [ty -9(0% y ]0dA R representa el volumen del sólido limitado entre las superficies z =f(x, y) y z = 9 (x, y), siendo R la región del plano z = O cuya frontera es la proyección de la curva intersección de ambas superficies. ropi la integra! dobi (1) Í) k (xy) dA = k [ £(x, y) dA ke IR R R (2) ff [10 +90 y Ida = Jf 1(x,y dA + |] 9 (x y) da R R R INTEGRALES DOBLES 12 Teorema (a) Si R es una región de tipo l, y f(x, y) es continua en R: y 20 Jtryda=f f ftydyox R a 9,6 (b) Si R es una región de tipo Il, y f(x, y) es continua en R: nov) d Iptenda = ff tiyaxdy R NO) mbi variabl En coordenadas rectangulares cartesianas dA = dx dy. Sea ahora el cambio de coordenadas dado por la aplicación: x=X (u, v) y = Y (u, v) siendo T la región del plano uv que se aplica en la región R del plano xy. Si se cumplen las condiciones siguientes: - Las funciones X, Y, dX/0u, IX /dv, Y / du, aY / dv son continuas en T. - La aplicación de T sobre R es biyectiva. - El jacobiano de la aplicación J (u, v) + 0. entonces: ff Oy) ax dy = fJ t(X(u, Y), Y (u, v)) 1d (uv) ] du dv R T Cambios de variable usuales 1. Coordenadas polares Xx=rc050 ] y (1,0) =r y = rsen0 INTEGRALES DOBLES 13 2. Coordenadas polares descentradas X=X, +T COS 0 ) J(r,0)=r y =y,+rsen8 3. Coordenadas elípticas x=arcos0 maso] J(r,0)=abr 4. Transformaciones lineales x=Au+Bv J(uv)=AD-BC— AD-BCx0 y=Cu+Dv Aplicacion: la integral dobl Supongamos que tenemos un cuerpo plano acotado (lámina de grosor des- preciable), de forma que su masa total está distribuida en forma conocida siguiendo una función de densidad superficial y = yu (x, y). Entonces: Masa de R = M(R) = S y (x, y) dx dy R (1) Centro de masas de un cuerpo plano Si denotamos por (Xx, Y) las coordenadas del centro de masas: a ena 59 ron (2) Momentos de inercia de un cuerpo plano Sea r una recta y denotemos por d (x, y) la distancia de la recta r al punto (x, y) de la región R. El momento de inercia del cuerpo plano respecto a la recta r resulta ser: l = l lx, y) 1 (x, y) dx dy En particular, los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados son: INTEGRALES DOBLES 15 1.1 1.2 TEMA 1. PROBLEMAS Calcular las siguientes integrales dobles, sobre el rectángulo R que se indica. (a) Jixy+ydA R=(0,1]x [0,1] R tp) Jy+x-3%hda R=[0,11x[1,3] R (c) Sí sen?x sen*y dA R=[0,x] x[0,x] R (dd) ff tmseny-ye)da R=[-1,1]x[0,1/2] R Dibujar la región de integración y calcular las siguientes integrales dobles: (a) Ñ x COS (x + y) dA R triángulo de vértices (0,0), (1,0) y (m,10) R 0 fed R=((x,y) e IB” / [+ [yl <1) R (c) S Lé + y% da R región limitada por la recta y =x R y por la parábola y = x2 (d) Ñ 2xy dA R región limitada por las rectas R y=0, y=x, x+y=2 (e) SJ ey? dA R región limitada por las rectas R y=1,y=2,x=0, y=x (n S pé- y?) da R región limitada por la gráfica de R y = sen x y el segmento [0,1] en y=0 INTEGRALES DOBLES 16 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Calcular la integral doble ly -]dA R = [-1,1] x [0,2] R Calcular las integrales dobles I f(x, y) dA para las funciones f y los rec- R tángulos R que se indican. x+y És y< 2x (a) timy= R = [0,1] x [0,1] 0 en caso contrario es y es y <1 (b) f(x y) = 2.» R s [-1,1] x 1,1] o x+yó>1 2 (x + y) x0. Calcular el volumen del sólido interior al cilindro x? + y2=2ax ya la esfera x2 + y? +22 = da?, Calcular el volumen del sólido interior a las esferas x2 + y2 + 22= al y x2 + y2 + (2 - a)? = el, Y 2_2 Calcular el volumen del sólido limitado por el paraboloide + 5 == y elplano x=a. (a) Calcular el valor del área de la superficie plana exterior a la circunferencia x? + y2=1 e interior a la cardioide r=1 +c0s 6, (b) Encontrar la masa de esta superficie si su densidad superficial es proporcional a la distancia al origen. Calcular las coordenadas del centro de masas de un pétalo de la rosa r=asen28 si su densidad superficial es constante. Calcular los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados del cuerpo delgado plano de contorno x2+ y2=1 para y=0 e y=0, sisu función de densidad superficial es y (Xx, y) = 1+ y. INTEGRALES DOBLES 21 O o | 2 ay = E (d) Ñ (xx sen y - y e*) dA R = [-1,1] x [0,2/2] R R=[-1,1] x[0,1/2] -1