CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
INTENSIVO
2026
2.2
✓I.T DEL ARCO TRIPLE.
✓
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS.
(
✓ FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
SENO, COSENO, TANGENTE Y COTANGENTE).
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Material de estudio para las razones trigonométricas del arco triple.
Tipo: Diapositivas
2025/2026
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CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
INTENSIVO
DEL ARCO TRIPLE.
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS.
✓ FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
SENO, COSENO, TANGENTE Y COTANGENTE).
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO TRIPLE
Ejemplos:
- Si sen x = 2 / 3 , entonces tenemos que:
sen 3x = 3sen x − 4sen
3
(x) ⇒ sen 3x = 3
2
3
2
3
3
22
27
- Si cos 60° = 1 / 2 , entonces tenemos que:
cos 180° = 4 cos
3
60° − 3cos 60° ⇒ cos 180° = 4
1
2
3
1
2
- Si tan θ = − 1 / 2 , entonces tenemos que:
tan 6θ =
3 tan 2θ − tan
3
2θ
1 − 3 tan
2
2θ
Pero, tan 2θ =
2 tan(θ)
1 − tan
2
θ
2
⇒ tan 6θ =
3 tan 2θ − tan
3
2θ
1 − 3 tan
2
2θ
3
2
PROBLEMA 01
CLAVE: C
Simplifique
4 sen
3
θ + sen 3θ
4 cos
3
θ − cos 3θ
A) sen θ B) cos θ C) tan θ D) cot θ E) sec θ
PROBLEMA 02
CLAVE: C
Reduzca:
3 cot 20 ° −
2 sen 50 ° − 1
A) sen(20°) B) sen(40°) C) 1 D) cos(40°) E) cos(20°)
- Identidades adicionales I:
Ejemplos
7 sen 3x = 4sen x sen 60° − x sen(60° + x)
8 cos 3x = 4cos x cos 60° − x cos(60° + x)
9 tan 3x = tan x tan 60° − x tan(60° + x)
4 sen 10 ° sen 50 ° sen 70 °
= sen 30 ° = 0 , 5
tan 20 ° tan 40 ° tan 80 ° = tan 60 ° = 3
4. Triángulo notable de 𝟏𝟖° - 𝟕𝟐° y 𝟑𝟔° − 𝟓𝟒°
Partimos de: sen 36° = cos 54°
2 sen 18° cos 18° = cos 18° 2 cos 36° − 1
∴ sen 18° =
Además:
⇒ cos 36° =
2 sen 18° = 2 1 − 2 sen
2
4 sen
2
18° + 2 sen 18° − 1 = 0
Por fórmula general: sen 18° =
2
Pero: sen 18° > 0
cos 36° = 1 − 2 sen
2
PROBLEMA 04
CLAVE: B
Calcule el valor de
2 sen 66 ° − 1
tan( 39 °) + tan 51 °
A)
B)
C)
D)
E)
en x + y = sen x cos y + cos(x)sen y
en x − y = sen x cos y − cos(x)sen y
Dado que
en x + y + sen x − y = 2sen x cos y
en x + y − sen x − y = 2cos x sen y
acemos (1)+(2) y (1)−(2) respectivamente:
… (1)
… (2)
sen α + sen β = 2sen
α + β
2
cos
α − β
2
Sea
de donde:
x =
α + β
2
y =
α − β
2
,
sen α − sen β = 2cos
α + β
2
sen
α − β
2
En (3) y (4):
… (3)
… (4)
x + y = α
x − y = β
I.1.1 Transformación de suma o diferencia de senos a producto
Demostración
sen + sen = 2 sen
cos
sen − sen = 2 cos
sen
cos x + y = cos x cos y − sen(x)sen y
cos x − y = cos x cos y + sen(x)sen y
Dado que
cos x + y + cos x − y = 2cos x cos y
cos x + y − cos x − y = −2sen x sen y
Hacemos (1)+(2) y (1)−(2) respectivamente:
… (1)
… (2)
cos α + cos β = 2cos
α + β
2
cos
α − β
2
Sea
de donde:
x =
α + β
2
y =
α − β
2
,
cos α − cos β = −2sen
α + β
2
sen
α − β
2
En (3) y (4):
… (3)
… (4)
x + y = α
x − y = β
I.1.2 Transformación de suma o diferencia de cosenos a producto
Demostración
cos + cos = 2 cos
cos
cos − cos = − 2 sen
sen
PROBLEMA 06
CLAVE: B
Determine el equivalente de la expresión
cos β + sen 4 β − cos 7 β
sen 7 β − sen β + cos 4 β
A) cot 4 β B)tan 4 β C)sec 4 β D)csc 4 β E) 1
Sea
E = sen x + sen y + sen z − sen x + y + z
E = 2sen
x + y
cos
x − y
+ 2cos
x + y + 2z
sen
−x − y
E = 2sen
x + y
cos
x − y
− cos
x + y + 2z
I.2. Identidades auxiliares
Demostración 1.2.
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4 sen
x + y
2
sen
y + z
2
sen
x + z
2
cos x + cos y + cos z + cos x + y + z = 4 cos
x + y
2
cos
y + z
2
cos
x + z
2
Si A + B + C = 180° , entonces
Identidades auxiliares condicionales
I.2.3.
sen A + sen B + sen C = 4 cos
A
cos
B
cos
C
cos A + cos B + cos C = 4 sen
A
sen
B
sen
C
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A sen B sen C
cos 2A + cos 2B + cos 2C = − 4 cos A cos B cos C − 1
Aplicamos
en A + sen B + sen C − sen A + B + C = 4sen
A + B
sen
B + C
sen
C + A
Dado que
A + B
C
= 90° ⟹ sen
A + B
= cos
C
0
⟹ sen A + sen B + sen C = 4cos
C
cos
A
cos
B
Demostración I.2.3.
sen x + sen y + sen z − sen x + y + z = 4sen
x + y
sen
y + z
sen
z + x
180°