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Transformada de fourier, Apuntes de Ingeniería de Telecomunicaciones

Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM)Ingeniería de Telecomunicaciones

Propiedades de la transformada de fourier y sus respectivos ejemplos

Tipo: Apuntes

2017/2018

Subido el 07/05/2018

janeth-rodriguez-1
janeth-rodriguez-1 🇵🇪

4

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bg1
Matem´aticas
Avanzadas
para
Ingenier´ıa:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matem´aticas
F{f(x)}
TI:F{f(x)}
F{Pτ(x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F{δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslaci´on x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslaci´on ω
Derivaci´on x
Derivaci´on ω
Matem´aticas Avanzadas para Ingenier´ıa:
Transformada de Fourier
Departamento de Matem´aticas
MA3002
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
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pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
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¡Descarga Transformada de fourier y más Apuntes en PDF de Ingeniería de Telecomunicaciones solo en Docsity!

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Matem´aticas Avanzadas para Ingenier´ıa:

Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

MA

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Transformada de Fourier

Dada una funci´on f (x) una funci´on, no necesariamente

peri´odica, tal que

|f (x)| dx < ∞

entonces la transformada de Fourier de f (x) se define como

ˆf (ω) = F (ω) = F {f (x)} =

f (x) e

−ω i x

dx

La transformada inversa de Fourier de F (ω) se define como

f (x) = F

{F (ω)} =

F (ω) e

+i x ω

dω

En el contexto de las se˜nales se usa el s´ımbolo j en lugar de i y

se usa como variable independiente t.

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Ejemplo 1

Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:

Pτ (x) = f (x) =

0 para −∞ < x < −

1 para −

τ < x <

0 para

τ < x < ∞

−τ / 2 τ / 2

1

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Ejemplo 1

Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:

Pτ (x) = f (x) =

0 para −∞ < x < −

1 para −

τ < x <

0 para

τ < x < ∞

−τ / 2 τ / 2

1

F {f (x)} =

f (x) e

−ω i x

dx

e

−ω i x

dx = −

ω i

[

e

−ω i x

]x=τ / 2

x=−τ / 2

ω i

[

e

−ω i τ / 2

− e

ω i τ / 2

]

ω i [(cos(ω τ /2)^ −^ sen(ω τ /2)^ i)^ −

(cos(ω τ /2) + sen(ω τ /2) i)]

sen(

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Tabla

f (x) fˆ (ω)

Pτ (x) 2

sen( 12 τ ω)

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Propiedad de Linealidad

Si f (x) y g (x) admiten transformada de Fourier, entonces

tambi´en c 1 f (x) + c 2 g (x) la admite y

F {c 1 f (x) + c 2 g (x)} = c 1 F {f (x)} + c 2 F {g (x)}

F

c 1 ˆf (ω) + c 2 ˆg (ω)

= c 1 f (x) + c 2 g (x)

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Ejemplo 2

Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular de

altura b:

f (x) =

0 para −∞ < x < −

b para −

τ < x <

0 para

2 τ^ <^ x^ <^ ∞

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Ejemplo 2

Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular de

altura b:

f (x) =

0 para −∞ < x < −

b para −

τ < x <

0 para

2 τ^ <^ x^ <^ ∞

F {f (x)} = F {b Pτ (x)}

= b F {Pτ (x)}

= b 2

sen( 12 τ ω)

= 2 b

sen(

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Ejemplo 3

Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de

Dirac):

Pensamos que la funci´on δ(x)

es el l´ımite de funciones pulso

de ancho τ y con altura 1/τ ,

de manera que el ´area de los

rect´angulos formados sea 1.

δ(x) = lim

Pτ (x)

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Ejemplo 3

Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de

Dirac):

Pensamos que la funci´on δ(x)

es el l´ımite de funciones pulso

de ancho τ y con altura 1/τ ,

de manera que el ´area de los

rect´angulos formados sea 1.

δ(x) = lim

Pτ (x)

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Ejemplo 3

Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de

Dirac):

Pensamos que la funci´on δ(x)

es el l´ımite de funciones pulso

de ancho τ y con altura 1/τ ,

de manera que el ´area de los

rect´angulos formados sea 1.

δ(x) = lim

Pτ (x)

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Ejemplo 3

Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de

Dirac):

Pensamos que la funci´on δ(x)

es el l´ımite de funciones pulso

de ancho τ y con altura 1/τ ,

de manera que el ´area de los

rect´angulos formados sea 1.

δ(x) = lim

Pτ (x)

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Soluci´on del ejemplo 3 en la TI

Avanzadas para Ingenier´ıa: Transformada de Fourier

Departamento de Matem´aticas

F {f (x)}

TI:F {f (x)}

F {Pτ (x)}

Linealidad

Ejemplo 2

F {δ(x)}

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslaci´on x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslaci´on ω

Derivaci´on x

Tabla

f (x) ˆf (ω)

Pτ (x) 2

sen( 12 τ ω)

P 2 a(x)

sen(a ω)

δ(x) 1