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Matemáticas
ANÁLISIS LINEAL
TRANSFORMADA DE FOURIER
Ejercicios Resueltos
CONCEPTOS BÁSICOS
La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en la representación de funciones no periódicas, asimilándolas a una periódica de período infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una función, definida por:
En base a ella se puede representar a la función f mediante una integral, igual que antes lo hacíamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:
La F vendría a jugar, pues, el rol de un “coeficiente”. Ambas expresiones se suelen relacionar mediante la simbología:
En realidad, pocas veces se apela al cálculo directo para obtener una transformada, sino que se las genera a partir de otras conocidas (p. 264 Gabel) más el uso de las propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de estas propiedades en los ejemplos resueltos.
PROBLEMAS RESUELTOS
) Cálculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la función f dada por
Solución
Esta integral es fácil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa practicidad es expresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los cálculos queda:
) Propiedad de simetría. Eligiendo el método más conveniente, calcular la transformada de Fourier de la función:
Solución
En las tablas encontramos que. Por lo tanto estamos tratando de encontrar la transformada de una función que, si estuviera expresada en F 0 7 7 , sería la transformada de una función conocida. Para casos como éste cabe aplicar la propiedad de simetría, que expresa que si f ( t ) F 0 A B F ( F 0 7 7 ), entonces F ( t ) F 0 A B 2 F 0 7 0f (– F 0 7 7 ).
En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresión de tablas y la propiedad de linealidad:. Por lo tanto por la propiedad de simetría podemos escribir. Veamos que u (– F 0 7 7 ) es la imagen especular de u ( F 0 7 7 ), y se puede expresar como u (– F 0 7 7 ) = 1- u ( F 0 7 7 ). Reescribiendo la expresión anterior tendremos finalmente:
) Corrimientos. Aplicando propiedades de la transformada de Fourier, calcular y graficar el espectro de amplitud de la función f ( t ) = 6[ u ( t – 3) – u ( t – 7)].
Solución
La función es un pulso de anchura 4 y amplitud 6 centrado en t = 5. Sabemos de tablas que si g T es un pulso de anchura T y amplitud 1 centrado en t = 0, la
transformada de Fourier es G T ( F 0 7 7 ) = T sinc( F 0 7 7T /2), donde sinc( x ) = sen x / x. Pero aquí el pulso está corrido en 5 unidades. Nuestra función puede decirse entonces que equivale a 6 g (^) 4 ( t – 5).
Para transformar esta última, recordemos la propiedad de retardo, que permite manejar funciones con corrimientos en la variable t. Ella expresa que si f ( t ) F 0 A B F ( F 0 7 7 ), entonces. De esa manera, en nuestro caso particular tenemos:
Para graficar el espectro de amplitud, tengamos en cuenta que la exponencial de un número imaginario puro tiene módulo igual a 1, según se deduce de la expresión de Euler. Tenemos así:
Y la gráfica será:
) Convolución. Un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo tiene la función de respuesta en frecuencia H ( F 0 7 7 ) = 1/(3 + i F 0 7 7 ). Para una cierta entrada x ( t ), se observa que la salida es y ( t ) = e -3 t^ u ( t ) – e -4 t^ u ( t ). Calcular la entrada.
Solución
La propiedad de convolución establece que:
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