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Una comprensiva investigación sobre la transformada de fourier, una herramienta clave en el análisis y representación de señales y sistemas discretos. Se abordan conceptos básicos como la serie de fourier, espectros de fourier, objetivos del estudio y desarrollo teórico. Además, se incluyen ejercicios para prácticas.
Tipo: Transcripciones
1 / 14
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¡No te pierdas las partes importantes!
Gunza Colcha Edison Andrés
Bonilla Mena Jéfferson Iván
Lcda. Padilla Monserrath
Objetivo general
Indagar toda información correspondiente a Transformada de Fourier; mediante una
lectura comprensiva obtenida de fuentes como: libros, Pdf’s, paginas web, revistas, etc.
Para la aplicación en sistemas y procesamiento de señales periódicas.
Objetivos específicos
Identificar y analizar toda información correspondiente a Transformada de Fourier.
Recopilar información del tema mediante una lectura comprensiva obtenida de
fuentes confiables.
En base a los conocimientos obtenidos podremos aplicarlo al procesamiento de
señales.
Series de Fourier de senos y cosenos
a) La serie de Fourier de una función par en el intervalo (−T ;T ) es la serie de
cosenos (Zill, 2006)
f ( t )=
a
0
∑
n= 1
∞
a
n
cos
(
nπ
)
t
Donde:
a
0
∫
0
T
f (t ) dt
a
n
∫
0
T
f ( t) cos
(
nπ
)
tdt
b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (−T ; T ¿ es la serie de
senos (Zill, 2006)
f ( t )= ∑
n= 1
∞
b
n
sin
(
nπ
)
t
Donde:
b
n
∫
0
T
f ( t) sin
(
nπ
)
tdt (4)
Cualquier función periódica f (t) se puede descomponer en suma de funciones
simples sinusoidales, cuya frecuencia
w
0
es múltiplo de la función periódica. Esto se
puede descomponer en una serie armónica infinita expresada como: (Alcaraz)
f ( t )=
a
0
∑
n= 1
∞
ω
0
es la frecuencia de la función periódica y recibe el nombre de frecuencia
fundamental.
a
0
, a
n
, b
n
son los coeficientes de la serie de Fourier que definen las senoides cuya
frecuencia es múltiplo de la fundamental.
Serie de Fourier en notación compleja
Una alternativa a la forma trigonométrica de la serie de Fourier es la forma
compleja o exponencial. Como resultado de las propiedades de la función
exponencial, esta forma es matemáticamente fácil ya que provee una transición más
suave de la consideración de la serie de Fourier para el tratamiento de señales
periódicas. (Glyn, Forma Compleja de la Serie de Fourier)
Para desarrollar la forma compleja de la serie de Fourier
f ( t )=
a
0
∑
n= 1
∞
a
n
cos nωt +
∑
n = 1
∞
b
n
sin nωt
Que representa una función periódica f ( t ) de periodo T , procedemos como sigue.
Sustituyendo los resultados.
sin nωt=
2 i
inωt
−e
−inωt
cos nωt=
inωt
−e
−inωt
Sustituyendo se obtiene:
manera, podemos analizar cómo diferentes frecuencias contribuyen a la señal y qué
contenido frecuencial está presente.
La transformada de Fourier de una función continua se define de la siguiente manera:
F {f ( t) }=F ( ω )=
∫
−∞
∞
f ( t ) e
− jωt
dt
Donde:
F (ω)
es la función resultante en el dominio de la frecuencia.
f (t )
es la función original en el dominio del tiempo.
ω representa la frecuencia angular.
j es la unidad imaginaria.
e
es la base del logaritmo natural.
La serie de Fourier exponencial a partir de la transformada de Fourier
La serie de Fourier exponencial se utiliza para representar una función periódica
mediante suma discreta de exponenciales complejos, mientras que la transformada de
Fourier se utiliza para representar una función general no periódica mediante una
superposición integral de exponenciales complejos. A partir de esto se puede relacionar
la transformada de Fourier con el coeficiente complejo
n
de la serie de Fourier
compleja. (Carrilo González, 2003)
Si a una función periódica
f ( t ) se la analiza solo en un ciclo
f
0
( t ) y se le aplica la
transformada de Fourier a
f
0
( t )
f
0
( t )=
F ( ω )= ∫
−∞
∞
f ( t ) e
− jωt
dt
0
( ω )= ∫
−T
2
T
2
f
0
( t ) e
− jωt
dt
Si
ω=n ω
0
0
n ω
0
∫
−T
2
T
2
f
0
( t) e
− jn ω 0
t
dt
Dividiendo la expresión a cada lado por el periodo T
0
n ω
0
∫
−T
2
T
2
f
0
( t ) e
− jn ω 0
t
dt =C
n
n
0
n ω
0
Por lo tanto, se puede decir que el coeficiente 𝐶𝑛 de la serie de Fourier es la
transformada de Fourier de una función analizada en un periodo dividida para su
periodo.
Espectros de Fourier
Al expresar una función 𝑓(𝑡) mediante la serie de Fourier, se descompone la función
en sus componentes armónicos o de frecuencias. Por tanto, una serie de Fourier puede
ser interpretada como el espectro de frecuencias de la función periódica 𝑓(𝑡). El
espectro de frecuencias se representa dibujando las gráficas de las amplitudes y las fases
de las diversas componentes armónicas contra la frecuencia angular, donde la frecuencia
angular tomará ciertos valores o n muestras: (Hsu H. , 1970)
ω
n
n 2 π
=n ω
0
[
rad
s
]
donde (n= 1 , 2 , 3 , 4 , …)
Espectro de amplitud
a
1
f
1
( t ) +a
2
f
2
( t )+…+a
n
n
( t ) ↔ a
1
1
( ω )+ a
2
2
( ω) +…+a
n
n
( ω)
Desplazamiento en el Dominio t
f ( t ) ↔ F ( ω)
f
t−t
0
↔ F ( ω) e
− jωt
0
Demostración:
{
f
t −t
0
) }
∫
−∞
∞
f
t−t
0
e
− jωt
dt
t−t
0
=τ ; t=τ +t
0
, dt=dτ
{
f
t−t
0
) }
∫
−∞
∞
f ( τ ) e
− jω(τ +t 0
)
dτ=e
− jωt 0
∫
−∞
∞
f ( τ ) e
− jω(τ)
dτ
Cambio de escala en el Dominio t
f ( t ) ↔ F ( ω)
f ( at) ↔
(
ω
a
)
a> 0 F
f (at)
∫
−∞
∞
f ( at ) e
− jωt
dt
at=τ ;t=
τ
a
, dt=
a
dτ
a
∫
−∞
∞
f ( τ ) e
− j
ω
a
τ
dτ=
a
(
ω
)
Se puede demostrar que esta propiedad es válida para a<
Multiplicación por una exponencial Compleja. (o desplazamiento en el dominio ω)
f ( t ) ↔ F ( ω)
e
j ω
0
t
f (t)↔ F (ω−ω
0
F {e
j ω 0
t
f (t )}= ∫
−∞
∞
e
j ω 0
t
f (t) e
− jωt
dt
F {e
j ω 0
t
f (t )}= ∫
−∞
∞
f (t)e
− j (ω−ω 0
)
dt=F (ω−ω
0
Convolución en el dominio t
f
1
( t ). f
2
( t )= ∫
−∞
∞
f
1
( τ ) f
2
( t−τ ) dτ
f
1
( t ) ↔ F
1
( ω ) f
2
( t ) ↔ F
2
( ω ) f
1
( t ). f
2
( t ) ↔ F
1
( ω ) F
2
( ω )
{
f
1
( t). f
2
( t)
}
∫
−∞
∞
[
∫
−∞
∞
f
1
( τ ) f
2
( t−τ ) dτ
]
e
− jωt
dt
∫
−∞
∞
f
1
( τ)
[
∫
−∞
∞
f
2
( t−τ ) e
− jωt
dt
]
dτ
t−τ=σ , dt=dσ
{
f
1
( t). f
2
( t)
}
∫
−∞
∞
f
1
(τ)
[
∫
−∞
∞
f
2
( σ ) e
− jωτ
e
− jωσ
dσ
]
dτ
∫
−∞
∞
f
1
( τ) e
− jωτ
dτ
∫
−∞
∞
f
2
( σ ) e
− jωσ
dσ
1
( ω ) F
2
( ω )
Convolución en el dominio
ω
f
1
( t ). f
2
( t ) ↔
2 π
1
( ω) F
2
( ω)
{
f
1
( t). f
2
( t) }
∫
−∞
∞
2 π
∫
−∞
∞
1
[
∫
−∞
∞
f
2
( t ) e
− j(ω− X )t
dt
]
dX=
2 π
∫
−∞
∞
1
2
( ω−X ) dX
f ( t )=
{
t
F {f ( t) }= ∫
−T
T
A e
− jwt
dt=
[
jw
e
− jwt
]
jw
e
− jwT
−e
jwt
F {f ( t) }=
w
(
e
jwt
−e
− jwT
2 j
)
w
sin ( wT )
Ejercicio 3
Dada la función f(t) con transformada F(ω), calcular la
transformada de Fourier de:
a) f (t) cos(
ω
0 t)
b) f (t) sen(
ω
0 t)
Solución (a)
Solución (b)
Mediante la aplicación de la serie de Fourier se puede entender un poco mejor como
la señal actúa en el tiempo. La idea básica de las series de Fourier es que toda la
función periódica de un periodo T pueda ser expresada como una suma
trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo. Los cuales nos permiten de
manera matemática comprender el comportamiento de nuestros datos, por medio de
una aproximación trigonométrica.
Se concluye que la serie de Fourier puede ser representada como un espectro de
frecuencia el mismo que cuenta con el espectro de amplitud y de fase; el espectro de
amplitud relaciona la amplitud contra la frecuencia angular mientras que el espectro
de fase se especifica como la relación entre la fase y la misma frecuencia angular.
Glyn, J. (s.f.). Forma Compleja de la Serie de Fourier. En Matemática
Avanzada para Ingenieria (págs. 330-334). México: Pearson Educación.
Glyn, J. (s.f.). Funciones Pares e Impares. En Matemática avanzada para
Ingenieria (págs. 293-294). México: Pearson Educación.
Glyn, J. (s.f.). Teorema De Fourier. En J. Glyn, Matemáticas Avanzadas para
Ingenieria (págs. 282-283). México: Pearson Educación.
Hsu, H. (1970). Análisis de Fourier. Nueva York: Addison.
Hsu, H. P. (1970). Propiedades de las Funciones Seno y Coseno. En Análisis
de Fourier (pág. 5). Nueva York: ADDISON-WESLEY IBEROAMECANA,
Bibliografía
de Fourier, T. (s/f). La Transformada de Fourier y sus Propiedades.
Wdfiles.com. Recuperado el 10 de enero de 2024, de http://pds-
fiuner.wdfiles.com/local--files/descargas/clase02_fourier-laplace.pdf
(S/f). Edu.co. Recuperado el 10 de enero de 2024, de
https://proyectos.javerianacali.edu.co/cursos_virtuales/pregrado/senales_y_sist
emas/Lecturas/Modulo2/Unidad2/M2U2Propiedades_TCF.pdf
