Números Complejos: Aplicaciones, Operaciones y Teorema de Moivre, Guías, Proyectos, Investigaciones de Ecuaciones Diferenciales Aplicadas

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO

DE HIDALGO

ESCUELA SUPERIOR DE TIZAYUCA

TRANSFORMADA DE LAPALACE Y Z

INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS DE

AUTOMATIZACIÓN

Contenido del programa

 Unidad I Conocer los fundamentos de los números complejos para diseño de sistemas de control mediante ejercicios para los casos más comunes de aplicación.  1.- Números complejos  1.1. Funciones holomorfa  1.2. Series de potencias  1.3. Integración sobre caminos. El teorema de Caushy Goursat  1.4. Índice y teorema general de Caushy  1.5. Cálculo de residuos y aplicaciones

Contenido del programa

 Unidad III Utilizar el método de la transformada Z para el análisis y desarrollo de sistemas de control digital.  3. Transformada Z  3.1. Definición de la transformada Z unilateral  3.2. Propiedades de la causal  3.3. Relación entre la transformada Z unilateral y la transformada de Laplace  3.4. Aproximación de integrales con sumas finitas  3.5. Integrales de Riemann  3.6. Software para matemáticas

Valores de la UAEH

 CAPÍTULO II

 De sus principios fundamentales  Artículo 5. Son normas permanentes en el quehacer de la Universidad los principios de libertad de cátedra, investigación y libre manifestación de las ideas , en un marco permanente de respeto a la pluralidad de pensamiento y a la tolerancia que deben guardarse entre sí los miembros de la comunidad universitaria, la tutela de los derechos humanos, la observancia de la equidad de género y el fomento de los valores de respeto, honestidad, transparencia, lealtad y responsabilidad , con especial atención a la prevención de adicciones y de distribución y consumo de estupefacientes.

¿Cómo surgen los números complejos **A finales del siglo XV El matemático Francés Nicolás Chuquet, consideró las raíces de números negativos (Tal solución es imposible) …… Leibniz (1646-

1716. factorizó la expresión** 𝒙 𝟒

• 𝒂 𝟒 **afirmando que los números imaginarios son una serie de seres anfibios Abraham de Moivre (1667-

1754. planteó algoritmos y procesos para calcular potencias y raíces de los números complejos …….. Leonhard Euler usó el símbolo para la unidad imaginaria y estableció que** 𝒊 𝟐 = −𝟏 **El frances Jean D’Alembert (1717-1783), demostró que el conjunto de los números complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.

---

Jean Robert Argand y Carl Friedrich Gauss consideró a los números complejos en la forma** 𝒂 + 𝒃𝒊 **Augustin Louis Cauchy (1789-

1857. desarrollo la teoría de las funciones de variable compleja …… William Hamilton (1805-1865) interpretó la acción de números complejo.**

¿En que se aplican los números

complejos?

 Los números complejos se han convertido

en una ayuda para solucionar problemas de

navegación, electrónica, astronomía, y en la

solución de sistemas dinámicos.

Operaciones fundamentales de los complejos

• 2 + 3𝑖 + 4 − 5𝑖 = 2 + 4 + 3 − 5 𝑖 = 6 − 2𝑖 La suma
• 2 + 3𝑖 − 4 − 5𝑖 = 2 − 4 + 3 + 5 𝑖 = La diferencia • = − 2 + 8𝑖 El producto^ •^2 +^ 3𝑖^ ∗^4 −^ 5𝑖^ =23+2i

2 +3𝑖 ( 4 −5𝑖) ∗ 4 +5𝑖 ( 4 +5𝑖) = − 7 +22𝑖 41 El cociente

Módulo y Argumento de números complejos Módulo y argumento del número complejo a +bi es de la siguiente forma:  Módulo 𝜌 = 𝑎 2

• 𝑏 2  Argumento tan 𝜔 = 𝑏 𝑎  El argumento es igual a 𝜔

Me preparo

Me preparo

Investigación y Exposición

El alumno investigará el TEOREMA DE MOIVRE.

- El alumno investigará las Funciones elementales.

• El alumno investigará como obtener las Raíces de Números Complejos Realizará una presentación en Power Point por equipos de 3 integrantes y las expondrán al grupo.

Teorema de Moivre

Si multiplicamos n números complejos, a partir de la expresión del producto de dos números complejos obtenemos que el producto de n números complejos equivale a un complejo cuyo módulo es el producto de los n módulos y el argumento, la suma de los n argumentos. De esta forma:

Ejemplo

Suponga que: 𝑧 1 = 𝑟 1 (𝑐𝑜𝑠𝜃 1 + 𝑗 sin 𝜃 1 ) y 𝑧 2

2

2

• 𝑗 sin 𝜃 2 ). Demuestre que: a) 𝑧 1

2

1

2 cos 𝜃 1

2

• 𝑗 sin 𝜃 1

2 b) 𝑧 1 𝑧 2

𝑟 1 𝑟 2 cos 𝜃 1 − 𝜃 2 + 𝑗 sin 𝜃 1 − 𝜃 2

Raíces de números

complejos

𝑛

La raíz enésima de un número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la n raíz enésima del módulo: 𝑟

′

𝑛

Su argumento es: 𝛼 ′ =

𝑛 𝑟 𝛼

𝛼

donde k= 0,1,2, …. (n-1)