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Números complejos Introducción
Números complejos
1.1 Introducción 1 1.2 Forma binómica de un número complejo 3 1.3 Represen- tación gráfica. Conjugado y módulo de un número complejo 4 1.4 Forma polar y argumento de un número complejo 5 1.5 Funciones elementales 8
1.1 Introducción
Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad, acabaron por ser aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII. Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501–1576) y Bombelli (1526–1572) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596–1650) quien afirmó que “ciertas ecuaciones algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo imaginarias para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución de un problema resulta ser un número complejo esto se interpreta como que el problema no tiene solución. Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema coti- diano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos. Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no se avanzó mucho en la comprensión de los números complejos. El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se preocu- paron de la naturaleza de los mismos; no se preguntaron ¿qué es un número complejo?, sino que se dijeron ¿para qué sirven?, ¿qué puede hacerse con ellos? Es Gauss quien definitivamente con- cede a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las matemáticas al probar en 1799 el conocido como Teorema Fundamental del álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raíz se cuenta tantas veces como su orden, n raíces que también son números complejos. Algunas de sus implicaciones las podemos comentar directamente. Fíjate en cada una de las ecuaciones:
x + 3 = 0 , 2 x + 3 = 0 , x^2 − 2 = 0 , x^2 + 2 x + 2 = 0 ,
cuyas soluciones x = − 3 , x = 3 / 2 , x = ±
2 y x = 1 ±i tienen sentido cuando x es, respectivamente, un número entero, racional, real o complejo. Podría ocurrir que este proceso de ampliación del campo numérico continuara. ¿Qué ocurrirá si ahora consideramos ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos? Por ejemplo:
x^5 + ( 1 − i)x^4 + ( 1 / 5 − i
2 )x^2 − 8 x + 3 − i/
¿Cómo serán sus soluciones? ¿Aparecerán también nuevos tipos de números? El teorema funda- mental del álgebra nos dice que esa ecuación tiene soluciones que también son números complejos y, por tanto, que no aparecerán ya por este procedimiento nuevos tipos de números.
Introducción Números complejos
El término, hoy usado de “números complejos” se debe a Gauss, quien también hizo popular la letra “i” que Euler (1707–1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpreta los números complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como el nacimiento de la teoría de funciones de variable compleja, pues se publica en dicho año la Memoria sobre la Integración Compleja que Cauchy había escrito ya en 1814. En estas notas vamos a dar solamente unos breves conceptos de distintas formas de expresar los números complejos y cómo se trabaja con ellos. Pero antes de empezar una advertencia: aunque históricamente (y vulgarmente) se llama i a la raíz cuadrada de − 1 esta expresión no es totalmente cierta. Si así fuera obtendríamos la siguiente cadena de igualdades que no es posible,...¿verdad?
1 =
− 1 = ii = i^2 = − 1.
Suma de números complejos
v
u
u + w
Figura 1.1 La suma de números comple- jos es la suma usual de vectores en el plano
Recordemos que para dotar a un conjunto, en este caso R × R, de estructura de cuerpo se necesita una suma y un producto que verifiquen ciertas propiedades. La suma no es nada nuevo, es la suma de R^2 como espacio vectorial, es decir, si (a, b), (c, d) son dos elementos de R^2 , definimos su suma como
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
Es evidente (por otra parte nosotros ya lo sabíamos del es- tudio de espacios vectoriales) que esta suma cumple las pro- piedades que tiene que cumplir:
- Asociativa.
- Conmutativa.
- Existencia de neutro (( 0 , 0 )).
- Existencia de inverso (−(a, b) = (−a, −b)). La representación gráfica de la suma es conocida. Dos nú- meros complejos z = a + ib y w = c + id determinan un para- lelogramo cuya diagonal (ver figura 1.1) es z + w.
Producto de números complejos
El producto sí es nuevo. Dados (a, b), (c, d) ∈ R^2 , definimos su producto como
(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Tampoco es difícil comprobar que este producto es adecuado, en el sentido de que verifica las propiedades
- Asociativa,
- Conmutativa,
- Existencia de elemento neutro (el neutro para el producto es ( 1 , 0 ), comprúebalo).
- Si (a, b) ≠ ( 0 , 0 ) entonces su inverso es
(a, b)−^1 =
( (^) a a^2 + b^2 ,^
−b a^2 + b^2
Comprueba también que (a, b)(a, b)−^1 = ( 1 , 0 ).
- Distributiva: (a, b)((c, d) + (e, f )) = (a, b)(c, d) + (a, b)(e, f ).
Representación gráfica. Conjugado y módulo de un número complejo Números complejos
R ←→ {(a, 0 ); a ∈ R} a ←→ (a, 0 )
De ahora en adelante siempre usaremos esta identificación; es decir, para nosotros van a ser indis- tinguibles el complejo (a, 0 ) y el número real a. Como consecuencia, cualquier número complejo (a, b) se puede escribir de la forma
(a, b) = (a, 0 ) + ( 0 , b) = (a, 0 ) + (b, 0 )( 0 , 1 ) = a + b( 0 , 1 ).
Si ahora llamamos ( 0 , 1 ) = i, obtenemos que el número complejo z = (a, b) (se le suele llamar a los números complejos con letras como z, u, v,...) se puede poner como z = a + ib. Esto es lo Forma binómica que se llama la forma binómica de un número complejo. Al número real a se le llama la parte Parte real e real del complejo y al número b se le llama la parte imaginaria. A i también se le llama la unidad imaginaria (^) imaginaria. Es claro que i no es ningún número real (no es un par con la segunda componente 0 ) y cumple una propiedad que nos será útil y que, seguramente, ya conocías
i^2 = ii = ( 0 , 1 )( 0 , 1 ) = (− 1 , 0 ) = − 1 ,
es decir, el cuadrado de i es − 1. Esto nos permite que las fórmulas para la suma y el producto de números complejos, cuando están puestos en forma binómica, sean fáciles de recordar, ya que, formalmente, los vamos a sumar y multiplicar como si fueran números reales y simplemente tendremos en cuenta que i^2 = − 1. Nos referimos a lo siguiente: antes hemos definido la suma de dos números complejos (puestos como pares) de la forma (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Esta misma operación, puesta en forma binómica, quedaría a + ib + c + id = a + c + i(b + d), que es la suma formal de las parejas a + ib y c + id, sacando al final factor común el i.
z = a + bi
a
b
−b z = a − bi
|z|
Figura 1.2 Representación de un número complejo
Para el producto sucede igual. Si multiplicamos dos complejos en forma de pares (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). Esto puesto en forma binómica sería (a + ib)(c + id) = ac − bd + i(ad + bc). Pero este resultado es lo que se obtiene multiplicando formalmente a + ib por c + id y tenemos en cuenta que i^2 = − 1.
(a + ib)(c + id) = ac + ibc + iad + i^2 bd = ac − bd + i(ad + bc).
1.3 Representación gráfica. Conjugado y módulo de un número com-
plejo
Según hemos definido, el número complejo a + ib no es más que el elemento (a, b) del plano Plano complejo R^2 y, en ese sentido, se habla del plano complejo. El eje horizontal recibe el nombre de eje real, y el eje vertical recibe el nombre de eje imaginario.
Conjugado Definición 1.2. Si z = a+ib es un número complejo (con a y b reales), entonces el conjugado Módulo (^) √ de z se define como z = a − ib y el módulo o valor absoluto de z, se define como: | z | = a^2 + b^2.
Números complejos Forma polar y argumento de un número complejo
Observa que
a^2 + b^2 está definido sin ambigüedad; es la raíz cuadrada del número real no negativo a^2 + b^2. Geométricamente, z es la reflexión de z respecto al eje real, mientras que | z | es la distancia del punto (a, b) a ( 0 , 0 ) o, también, la longitud o norma euclídea del vector (a, b) (ver figura 1.2). La distancia entre dos números complejos z y w se define como | z − w |. La representación gráfica de la suma es conocida. Dos números complejos z = a+ib y w = c +id determinan un paralelogramo cuya diagonal (ver Figura 1.1) es z + w. Proposición 1.3. Sean z , w ∈ C_. Entonces a)_ z = z , b) z + w = z + w , c) zw = z w_. d)_ | z |^2 = zz , e) max {| Re(z) | , | Im(z) |} ≤ | z | ≤ | Re(z) | + | Im(z) | , f) | zw | = | z | | w | , g) | z + w | ≤ | z | + | w |. Desigualdad triangu- lar Demostración. La comprobación de estas afirmaciones es inmediata. Por ejemplo, para comprobar que la propiedad f) se verifica, basta observar que | zw | y | z | | w | son números positivos cuyos cuadrados coinciden, pues | zw |^2 = zwzw = zwzw = zzww = | z |^2 | w |^2 = (| z | | w |)^2.
Para demostrar la última afirmación es suficiente probar que | z + w |^2 ≤ (| z |+| w |)^2. En efecto: | z + w |^2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + ww + zw + zw = | z |^2 + | w |^2 + 2 Re (zw) ≤ | z |^2 + | w |^2 + 2 | Re (zw) | ≤ | z |^2 + | w |^2 + 2 | zw | = | z |^2 + | w |^2 + 2 | z | | w | = | z |^2 + | w |^2 + 2 | z | | w | = (| z | + | w |)^2.
Observación 1.4. De la demostración de la última afirmación se deduce que | z + w | = | z |+| w | si, y sólo si, Re(zw) = | zw |, esto es, si zw ∈ R+ 0 , o lo que es lo mismo zw = ρ donde ρ ∈ R+ 0. Esta igualdad, puede escribirse de forma equivalente multiplicando por w como z | w |^2 = ρw, esto es, z = λw para algún λ ∈ R+ 0 lo que quiere decir que z y w están en una misma semirrecta a partir del origen. Ejemplo 1.5. La división de números complejos es fácil teniendo en cuenta que el producto de un complejo y su conjugado da como resultado el módulo al cuadrado de dicho número complejo. 1 + i 2 − i
= 1 +^ i 2 − i
2 + i 2 + i
= 1 +^3 i 5
La división o el producto de dos números complejos no es difícil, pero sí que puede ser aburrido calcular ( 1 + i)^10. ¿Existe algo como el binomio de Newton para números reales? Compruébalo tú mismo. Lo que sí es muy fácil es su módulo: ∣∣ ∣ (^) ( 1 + i)^10
∣ (^) = | 1 + i |^10 =
10 = 25 ./
1.4 Forma polar y argumento de un número complejo
Hay otras formas de representar los números complejos. Una de ellas es la forma polar. Supon- gamos que tenemos un número complejo z = a + ib ≠ 0. Este complejo se corresponde con la pareja de números reales (a, b) que podemos representar en el plano.
Números complejos Forma polar y argumento de un número complejo
θ =
arctan
( (^) b a
, si a > 0 , π 2 ,^ si^ a^ =^0 y^ b >^0 , − π 2 , si a = 0 y b < 0 arctan
( (^) b a
- π si a < 0 y b > 0 , arctan
( (^) b a
− π si a < 0 y b < 0.
También se puede calcular el argumento de un número complejo mediante la fórmula
arg(z) =
2 arctan
( (^) Im(z) Re(z)+| z |
, si z /∈ R−, π , si z ∈ R−.
Ejemplo 1.8. Si tenemos el complejo z = − 2 + 2
3 i, entonces su módulo será |z| =
√^4 +^12 =
16 = 4 , mientras que el argumento se calcula de la siguiente forma. Como la parte real es negativa y la parte imaginaria es positiva, el argumento es
θ = arctan
π 3 +^ π^ =^
2 π
Así − 2 + 2
3 i = 4 23 π ./ Para pasar de la forma polar de un complejo a la forma binómica es aún más fácil. Utilizando las fórmulas de la trigonometría se tiene que si z = ρθ su forma binómica será z = ρ cos(θ) + iρ sen(θ). Realmente la fórmula ρ(cos(θ)+i sen(θ)) se llama la forma o expresión trigonométrica Forma trigonométri- del complejo z. ca Ejemplo 1.9. El complejo 5 − 34 π escrito en forma binómica es
5 −^34 π = 5 cos
( (^) − 3 π 4
( (^) − 3 π 4
2 −^ i^5
1.4.1 Formula de De Moivre. Interpretación geométrica del producto
Si tenemos dos números complejos no nulos
z = | z | (cos(θ 1 ) + i sen(θ 1 )) , w = | w | (cos(θ 2 ) + i sen(θ 2 )).
y los multiplicamos, obtenemos que zw = | z | | w | (cos(θ 1 ) + i sen(θ 1 )) (cos(θ 2 ) + i sen(θ 2 )) = | zw | (cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) − sen(θ 1 ) sen(θ 2 ) + i(sen(θ 1 ) cos(θ 2 ) + cos(θ 1 ) sen(θ 2 ))) = | zw | (cos (θ 1 + θ 2 ) + i sen (θ 1 + θ 2 )).
Es decir: para multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos. Por ejemplo, para calcular ( 1 + i)^4 como | 1 + i | =
2 y arg( 1 + i) = π / 4 , se sigue que ( 1 + i)^4 = − 4. Obsérvese que aunque los dos argumentos sean argumentos principales la suma no tiene por qué ser argumento principal. Así pues, el producto de dos números complejos es geométricamente un giro (pues se suman los argumentos de los números que estamos multiplicando) seguido de una homotecia (el producto de los módulos de ambos números). Como consecuencia, es fácil demostrar mediante inducción la siguiente fórmula que será de gran utilidad.
Funciones elementales Números complejos
u
w
u · w
θ 1
θ 2
θ 1 + θ 2
Figura 1.4 Interpretación geométrica del producto
Fórmula de Proposición 1.10. Si z es un complejo no nulo, θ es un argumento de z y n es un número entero, De Moivre (^) se verifica que zn (^) = | z |n^ (cos(nθ) + i sen(nθ)) , y, en particular, nθ ∈ Arg(zn).
Ejemplo 1.11. Aunque ya es conocido, veamos cómo podemos aplicar la fórmula de De Moivre para calcular cos( 2 x), con x real. Utilizando que cos(x) + i sen(x) es un número complejo de módulo uno, la fórmula de De Moivre nos dice que
cos( 2 x) + i sen( 2 x) = (cos(x) + i sen(x))^2 = cos^2 (x) + (i sen(x))^2 + 2 i cos(x) sen(x) =
cos^2 (x) − sen^2 (x)
Igualando parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria obtenemos que
cos( 2 x) = cos^2 (x) − sen^2 (x) y que sen( 2 x) = 2 cos(x) sen(x)./
1.5 Funciones elementales
1.5.1 Raíces de un número complejo
Aplicando la fórmula de De Moivre vamos a obtener las raíces n-ésimas de un número complejo. Para empezar por el caso más fácil vamos a suponer como complejo el número real 1. Vamos a llamar raíces n-ésimas de la unidad a aquellos números complejos z que verifiquen que zn^ = 1. Trabajando con la forma trigonométrica de z = | z | (cos(θ) + i sen(θ) y teniendo en cuenta que el módulo de 1 es 1 y su argumento principal es 0 , obtenemos que
zn^ = | z |n^ (cos(nθ) + i sen(nθ)) = 1 = 1 (cos( 0 ) + i sen( 0 )),
de donde | z |n^ = 1 y por tanto | z | = 1. Por otra parte igualando los argumentos tenemos que nθ = 0. Se podría pensar que de aquí se puede obtener únicamente que θ = 0 pero eso sería si consideraramos solamente argumentos principales. Realmente cualquier múltiplo entero de 2 π es un argumento de 1 y entonces lo que obtenemos es que nθ = 2 kπ para k ∈ Z y entonces θ = 2 kπn , para k ∈ Z. Dándole valores a k y numerando las correspondientes soluciones, obtenemos para los enteros comprendidos entre k = 0 y k = n − 1
θ 0 = 0 , θ 1 = 2 π n
, θ 2 = 4 π n
,... θn− 1 = 2 (n^ −^1 )π n
Funciones elementales Números complejos
cos(t) = e
it (^) + e−it 2
, sen(t) = e
it (^) − e−it 2 i
(t ∈ R).
Se prueba fácilmente que ez+w^ = ezew^ para todos z, w ∈ C. Se deduce que para todo z ∈ C y todo k ∈ Z es ez^ = ez+^2 kπ i. Lo que nos dice que la exponencial compleja es una función periódica con período 2 π i. Naturalmente, esto supone una gran diferencia con la exponencial real que es una función inyectiva. Observa que la exponencial no se anula nunca pues |ez| = eRe(z)^ > 0.
Justificación
¿Por qué hemos definido la función exponencial de esta forma? En un principio sólo tenemos la restricción de que su valor coincida con el de la función exponencial que ya conocemos en los números reales. Si queremos que se siga cumpliendo que ex^ ey^ = ex+y^ , podemos avanzar algo. Si z ∈ C, debería cumplirse que
ez^ = eRe(z)+i^ Im(z)^ = eRe(z)^ ei^ Im(z).
Por tanto, sólo nos hace falta definir eit^ con t real. ¿Por que hemos elegido cómo definición eit^ = cos(t)+i sen(t)? Una posible justificación es que la definición está hecha así para que las derivadas vayan bien: si ( eit^
= ieit^ = i (cos(t) + i sen(t)) = − sen(t) + i cos(t),
entonces coincide con
(cos(t)^ +^ i^ sen(t))′^ = −^ sen(t)^ +^ i^ cos(t).
El segundo motivo necesita conocer el desarrollo de Taylor de la las funciones exponencial, seno y coseno. En la Sección ?? tienes los detalles.
1.5.3 Logaritmos complejos
El comportamiento periódico de la exponencial compleja se va a traducir, como vamos a ver enseguida, en que la ecuación ew^ = z, donde z es un número complejo no cero, va a tener infinitas soluciones w ∈ C. Como
ew^ = eRe(w)^ (cos(Im(w)) + i sen(Im(w))).
Para que ew^ = z es necesario y suficiente que: a) | ew^ | = | z |, esto es, eRe(w)^ = | z |, es decir, Re(w) = log | z | (logaritmo natural del número real positivo | z |). b) Arg (ew^ ) = Arg (z), esto es, Im(w) ∈ Arg(z) y esto se cumple si, y sólo si Im(w) = arg(w) + 2 kπ , con k ∈ Z. Hemos probado que {w ∈ C: ew^ = z} = {log | z | + i(arg(z) + 2 kπ ), k ∈ Z}. Por tanto, existen infinitos números complejos w que satisfacen la ecuación ew^ = z. Cualquiera de ellos se llama un Logaritmo logaritmo de z. El conjunto de todos ellos lo representaremos por Log(z). De entre todos ellos Logaritmo principal elegimos uno, llamado logaritmo principal , definido por
log(z) = log | z | + i arg(z),
para todo z ∈ C∗. Observa que cualquier otro logaritmo de z es de la forma log(z) + i 2 kπ para algún entero k.
Números complejos Funciones elementales
Observación 1.14. Es importante que nos demos cuenta de que la igualdad log(zw) = log(z) + log(w), que es válida para números reales positivos, no es siempre cierta cierta para números complejos. Por ejemplo:
log(− 1 + i
3 ) = log
∣− 1 + i
∣ + i arg(− 1 + i
= log( 2 ) + i
arctan(−
3 ) + π
= log( 2 ) + i 2 π 3 log(−
3 + i) = log
3 + i
∣ + i arg(−
3 + i)
= log( 2 ) + i
arctan(− 1 /
3 ) + π
= log( 2 ) + i 5 π 6 log
(− 1 + i
3 + i)
= log(− 4 i) = log( 4 ) − i π 2 ≠ log(− 1 + i
3 ) + log(−
3 + i) = log( 4 ) + i 3 π 2
Lo que sí está claro es que el número log(z) + log(w) ∈ Log(zw), es decir, log(z) + log(w) es un logaritmo de zw pero no tiene por qué ser el logaritmo principal de zw. Como la función z , arg(z) es continua^1 en C \ R− 0 y discontinua en R− 0 , se deduce que el logaritmo principal es discontinuo en R− 0 y continuo en C \ R− 0.
1.5.4 Potencias complejas
Recuerda que dados dos números reales a > 0 y b ∈ R, la potencia de base a y exponente b se define como ab^ = eb^ log(a). Ahora, dados a, b ∈ C, con a ≠ 0 , sabemos que hay infinitos logaritmos de a, todos ellos son de la forma log(a) + i 2 kπ , con k ∈ Z. Por ello, cualquier número complejo de la forma eb(log(a)+i^2 kπ )^ donde k ∈ Z, es una potencia de base a y exponente b. De todas ellas se destaca una: ab^ = eb^ log(a)
y dicho número se llama valor principal de la potencia de base a y exponente b. Observa que si Valor principal b = 1 /n donde n ∈ N, el número
a^1 /n^ = exp
n log(a)
= exp
( (^) log(a) n
= | z |^1 /n
cos
( (^) arg(a) n
( (^) arg(a) n
es el valor principal de la raíz n-ésima de a que antes hemos notado por n^ √a. Esta definición da lugar a las funciones exponenciales complejas de base a, z , az, definidas por az^ = exp(z log(a)). Tam- bién permite definir la función potencia compleja de exponente b, z , zb^ como zb^ = exp(b log(z)). Las funciones exponenciales cumplen evidentemente la igualdad az+w^ = az^ + aw^ pero las fun- ciones potencias no cumplen, en general como vimos al estudiar las raíces, la propiedad (zw)b^ = zbwb. Esta igualdad se da en el caso de que
exp(b log(zw)) = exp(b log(z) + b log(w))
o, puesto que la función exponencial es periódica de periodo 2 π i, cuando se verifique que
(^1) No hemos hablado todavía de funciones continuas, mucho menos de continuidad de funciones complejas, pero la idea intuitiva de que cuando z se acerca a z 0 , el argumento principal de z se acerca al argumento principal de z 0 sigue siendo válida.
