¡Descarga Leyes de los choques: Conservación del Momentum Lineal y de la Energía Cinética - Prof. Gu y más Ejercicios en PDF de Historia del Arte solo en Docsity!
1 Choque entre dos part´ıculas
En este cap´ıtulo consideraremos la colisi´on entre dos part´ıculas. Para empezar consideraremos el choque de dos cuerpos en una dimensi´on, y luego veremos colisiones en el plano. Consideremos pues dos cuerpos que se desplazan a lo largo de una misma l´ınea recta. Llamemos m 1 y m 2 a las masas de los cuerpos. En el caso de un choque, las fuerzas internas entre los cuerpos que chocan (fuerzas normales o de reacci´on entre los cuerpos) son muy grandes comparadas con las posibles fuerzas (e.g., el peso) que act´uan sobre ellas. Adem´as el choque ocurre en un tiempo muy breve. As´ı pues podemos despreciar la acci´on de cualquier fuerza externa sobre las part´ıculas. Como solo consideraremos las fuerzas de reacci´on interna entre los cuerpos que chocan, el momentum lineal total del sistema se conserva durante el choque, i.e., el momentum lineal total justo antes del choque es igual al momentum lineal total del sistema justo despu´es del choque. Como discutiremos primero choques unidimensionales, todas las cantidades como velocidades y momenta que consideraremos son escalares. Llamemos v 1 y v 2 a las velocidades de las part´ıculas de masa m 1 y m 2 respectivamente, justo antes del choque. Por su parte, llamemos v′ 1 y v′ 2 a las velocidades de las mismas part´ıculas justo despu´es del choque. Como hemos argumentado, el momentum lineal del sistema de dos part´ıculas se conserva, de modo que m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v′ 1 + m 2 v′ 2. (1) A partir de ete punto distinguiremos dos tipos de colisiones el´asticas e inel´asticas. Diremos que un choque es el´astico si se conserva la energ´ıa cin´etica del sistema durante el choque. De lo contrario diremos que la colisi´on es inel´astica. Veamos primero las colisiones el´asticas. En t´erminos de las variables que introdujimos m´as arriba, la conservaci´on de energ´ıa cin´etica durante el choque se expresa como
1 2 m 1 v^21 +
m 2 v^22 =
m 1 v′ 2 1 +
m 2 v′ 2 2.^ (2)
El sistema (1), (2) es un sistema de dos ecuaciones algebraicas para las inc´ognitas v′ 1 , v′ 2 que son las velocidades de los cuerpos justo despu´es del choque. La forma m´as simple de resolver este sistema consiste en reescribir las dos ecua- ciones anteriores, de modo que todas las cantidades que involucran a una misma part´ıcula se encuentren al mismo lado de cada ecuaci´on, es decir
m 1 (v 1 − v 1 ′) = −m 2 (v 2 − v′ 2 ), (3)
y m 1 (v 12 − v′^21 ) = −m 2 (v^22 − v′^22 ), (4)
respectivamente. N´otese que hemos simplificado el factor 1/2 en la ´ultima ecuaci´on. Ahora podemos dividir la ecuaci´on (4) por la ecuaci´on (3). Al di- vidir debemos tener en consideraci´on dos posibilidades. O el factor v 1 − v′ 1 = 0 (y por lo tanto lo mismo ocurre con el t´ermino an´alogo que ata˜ne a la part´ıcula 2), ´o es diferente de cero. Dicho factor es cero cuando las dos part´ıculas en efecto no colisionan (porque una no alcanza a la otra), y por lo tanto las velocidades
de cada una de ellas no cambia. Por lo tanto, si efectivamente ocurre la colisi´on, el factor en cuesti´on es no nulo, y lo podemos simplificar al dividir, de modo que obtenemos v 1 + v 1 ′ = +(v 2 + v′ 2 ). (5)
Podemos reescribir esta ´ultima ecuaci´on como
v 2 − v 1 = −(v′ 2 − v′ 1 ). (6)
La cantidad |v 2 − v 1 | representa la rapidez relativa de la part´ıcula 2 con respecto a la part´ıcula 1. Podemos interpretar entonces (6) como la conservaci´on de la rapidez relativa entre las part´ıculas durante el choque. Finalemente resolvemos (3) y (4) para v′ 1 y v′ 2 (estas son ahora dos ecuaciones lineales). Resolviendo obtenemos,
v′ 1 = m 1 − m 2 m 1 + m 2
v 1 + 2 m 2 v 2 m 1 + m 2
y
v′ 2 =
m 2 − m 1 m 1 + m 2
v 2 +
2 m 1 v 1 m 1 + m 2
respectivamente.
Comentarios:
i) Uno puede concluir de inmediato a partir de estas dos expresiones que si las masas de las part´ıculas son iguales (i.e., si m 1 = m 2 ), entonces las part´ıculas durante el choque intercambian sus velocidades, i.e., v 2 ′ = v 1 y v′ 1 = v 2 respec- tivamente.
ii) Tambi´en uno puede comprobar de (7) y (8), que de acuerdo a la intuici´on, si 2 est´a en reposo originalmente y es mucho mas masiva que 1 (i.e., m 2 ≫ m 1 ), entonces 2 sigue en reposo despu´es del choque y m 1 invierte su velocidad, i.e., v′ 1 = −v 1. Esto es lo que ocurre, por ejemplo cuando una part´ıcula choca contra una pared.
1.1 Choque pl´astico en una dimensi´on
En la secci´on anterior hemos resuelto completamente el choque el´astico en una dimensi´on. Antes de analizar los choques inel´asticos en general conviene discutir otro caso extremo, que se conoce como choque pl´astico. En el choque pl´astico ambas part´ıculas quedan pegadas (i.e., siguen juntas) despu´es del choque. En este tipo de choques no se conserva la energ´ıa. De hecho es muy simple calcular la perdida de energ´ıa. Como en la secci´on anterior, consideremos dos part´ıculas de masas m 1 y m 2 respectivamente que se mueven a lo largo de la misma l´ınea, con velocidades v 1 y v 2 respectivamente. Llamemos vf a la velocidad com´un de las part´ıculas justo despu´es del choque. Aplicando conservaci´on del momentum lineal, del sistema tenemos m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )vf. (9)
en que la ´ultima igualdad sigue de la conservaci´on del momentum lineal. Por otra parte las velocidades relativas de las part´ıculas, antes y despues del choque son, vr ≡ v 1 − v 2 (17)
y v r′ = v′ 1 − v 2 ′, (18)
respectivamente. Mediante ´algebra elemental encontramos que,
v 1 = VCM + m 2 m 1 + m 2
vr ,
y
v 2 = VCM −
m 1 m 1 + m 2
vr.
De la misma forma, despu´es del choque,
v′ 1 = VCM +
m 2 m 1 + m 2
v′ r ,
y
v′ 2 = VCM − m 1 m 1 + m 2
v′ r.
Utilizaremos estas expresiones para las velocidades de las part´ıculas en la ecuaci´on (2) para el balance de enrg´ıa cin´etica. Un c´alculo directo nos muestra que
1 2 m 1 v 12 +
m 2 v 22 =
M V CM^2 +
m 1 m 2 M v^2 r ,
donde M = m 1 +m 2 , y una expresi´on an´aloga vale despu´es del choque. Entonces la ecuaci´on (2) se escribe como
1 2
m 1 m 2 M
v r^2 =
m 1 m 2 M
v′r 2 + Q
o, lo que es lo mismo,
v^2 r = v′r 2 +
2 M Q
m 1 + m 2
que es la expresi´on que busc´abamos. Si el choque es el´astico, Q = 0 y las velocidades relativas de las part´ıculas son iguales antes y despu´es del choque. Si el choque es inel´astico y se pierde energ´ıa cin´etica, Q > 0 y
|v r′ | < |vr |. (19)
El coeficiente de restituci´on, e, se define como el cuociente
e ≡
|v r′ | |vr |
De acuerdo a (19) y a la definici´on del coeficiente de restituci´on, 0 ≤≤ 1. El caso e = 1 corresponde al choque el´astico, en tanto que el caso e = 0 corresponde al choque pl´astico.
2 Choque el´astico en dos dimensiones.
En esta secci´on vamos a considerar una caso especial de choque el´astico en dos dimensiones. Vamos a estudiar el choque de una part´ıcula m´ovil, que llamaremos proyectil, contra un blanco fijo.
V1f
V2f
m 1 m 2
φ
θ v
Figure 1: Choque el´astico en dos dimensiones
Consideremos entonces el sistema de la figura, en que el proyectil, de masa m 1 y velocidad v incide sobre un blanco fijo de masa m 2. Llamemos, v 1 f y v 2 f las magnitudes de las velocidades del proyectil y del blanco, respectivamente, despu´es del choque. Llamemos tambi´en θ al angulo, medido con respecto a la direcci´on inicial del movimiento del proyectil, con que emerge el proyectil luego del choque. Finalmente llamemos φ al ´angulo con que emerge el blanco, medido tambi´en con respecto a la l´ınea de incidencia del proyectil. Tenemos entonces cuatro variables que determinar, i.e., las dos velocidades y los dos ´angulos. Tres de estas cantidades quedan determinadas por consideraciones cinem´aticas: la conservaci´on de momentum lineal y la conservaci´on de la energ´ıa cin´etica. La cuarta inc´ognita quedar´a determinada por las caracter´ısticas espec´ıficas de la interacci´on entre las part´ıculas en el momento del choque. Empecemos por imponer las leyes de conservaci´on. Si elegimos ejes coordenados cartesianos en el plano, con el eje x coincidiendo con la direcci´on incidente del proyectil, y el origen coincidiendo con la posici´on inicial del blanco fijo (ver figura) Usando estas coordenadas, las leyes de conservaci´on del momentum lineal se pueden expresar del modo siguiente: i) la conservaci´on del momentum lineal a lo largo del eje x queda dada por
m 1 v = m 1 v 1 f cos θ + m 2 v 2 f cos φ. (21)
ii) La conservaci´on del momentum a lo largo del eje y se expresa como
0 = m 1 v 1 f senθ − m 2 v 2 f senφ. (22)
Como el choque es el´astico, se conserva la energ´ıa cin´etica y as´ı tenemos,
1 2 m 1 v^2 =
m 1 v^21 f +
m 2 v 22 f. (23)
y as´ı hemos despejado θ en t´erminos de w y de φ. Por otra parte, si tomamos el cuadrado de (27), luego el cuadrado de (28) y los sumamos, obtenemos
u^2 = 1 + r^2 w^2 − 2 r w cos φ. (31)
Ahora podemos combinar (29) y (31) para deshacernos de u y, de este modo, obtener una ecuaci´on que solo contiene a w:
r(1 + r)w^2 − 2 r w cos φ = 0. (32)
Esta ´ultima ecuaci´on es una ecuaci´on cuadr´atica para la variable w en t´erminos de φ. Admite dos soluciones, w = 0 (que corresponde en realidad al caso en que el proyectil no impacta al blanco, i.e., que no hay choque), y
w =
2 cos φ (1 + r)
Una vez determinado w, por medio de (33), podemos determinar facilmente u y θ, por medio de (29) y (30) respectivamente.
Comentario: Si las masas del proyectil y del blanco son iguales, i.e., si r = 1, las soluciones posibles dadas por (33) son: a) w = 0, y b) w = cos φ. La primera soluci´on corresponde a la ausencia de choque. La soluci´on w = cos φ es la soluci´on general en este caso. Reemplazando este valor de w en (29), determina u = senφ. Finalmente, de (30) obtenemos tan θ = cot φ, lo que a su vez implica
θ + φ = π 2
es decir, si las dos part´ıculas tienen la misma masa y el choque es el´astico, las trayectorias de las part´ıculas que emergen del choque forman un ´angulo recto.
3 Choque de esferas, o de discos duros
Como discutimos en la secci´on anterior, las leyes de conservaci´on solo permiten determinar tres de las cuatro variables que caracterizan un choque en dos dimen- siones. Para determinar completamente el resultado de un choque es necesario considerar el detalle de la interacci´on entre los cuerpos que chocan. Eso haremos en esta secci´on, para un caso muy especial de choques que son los choques entre discos duros o entre esferas duras (los t´ıpicos choques importantes en el billar). En la figura hemos dibujado dos discos duros, el proyectil de radio R 1 y el blanco de radio R 2. Llamemos l´ınea de impacto a la recta paralela a la velocidad incidente del proyectil, que pasa por el centro del dico “blanco”. Se llama par´ametro de impacto a la distancia entre la trayectoria actual del proyectil y la l´ınea de impacto. En la figura hemos designado por b al par´ametro de impacto. Nuestro prop´osito es determinar el ´angulo φ con que emerge el blanco luego del choque, en t´erminos del par´ametro de impacto. Dada la discusi´on de la secci´on anterior, una vez determinado φ, tenemos determinadas todas las dem´as cantidades despu´es del choque. En el instante en que se produce el choque, los discos interact´uan entre ellos por medio de la normal N , que es perpendicular al plano de contacto. En
V1f
V2f
m 2
m 1
φ
θ
v
b
N
-N
linea de impacto
plano de contacto
Figure 3: Choque de discos duros en dos dimensiones
la figura siguiente hemos dibujado en detalle el instante en que se produce el choque. Como la ´unica fuerza que experimenta el “blanco” es la normal N , y como antes del choque ´este se encontraba en reposo, el momentum final del blanco estar´a dirigido a lo largo de la normal. Entonces podemos calcular el ´angulo φ a partir de simple trigonometr´ıa del tri´angulo OP Q de la figura.
P Q
O
R
R
plano de contacto
linea de impacto φ
φ
1
b 2
Figure 4: Choque de discos duros en dos dimensiones (detalle)
As´ı obtenemos, senφ =
b R 1 + R 2
- Dos cil´ındros de caucho (de los que se usan en hockey sobre hielo) A y B cada uno de masa m = 0, 2[kg] chocan en el punto O y son deflectados a lo largo de las l´ıneas punteadas que se muestran en la figura. Determine las velocidades de A y B despu´es del choque, suponiendo que la superficie de hielo es suave.
5 Notas Bibliogr´aficas e Hist´oricas
Las leyes de choque fueron descritas por primera vez por John Wallis, Christopher Wren y Christiaan Huygens. De acuerdo al libro de Ren´e Dugas, Histoire de la M´ecanique, Eds. J. Gabay 1996, Paris, (C´ap. V, p. 165), en el a˜no 1668, la So- ciedad Real de Londres llam´o a concurso para determinar las leyes de las colisiones de los cuerpos. El 26 de noviembre de 1668, Wallis present´o un ensayo sobre el choque inel´astico de los cuerpos. El 17 de diciembre de 1668, y el 4 de enero de 1669, Wren y Huygens, independientemente presentaron ensayos sobre los choques el´asticos. El en- sayo de Wallis apareci´o publicada en su tratado Mechanica, sive de Motu aparecido en Londres entre 1669 y 1671. El ensayo de Wren apareci´o publicado en la revista Philo- sophical Transactions en 1669. Finalmente el ensayo de Huygens aparece publicado en su obra p´ostuma De Motu corporum ex percusione, aparecido en 1703. Christopher Wren (1632–1723) es un destacado arquitecto ingl´es que jug´o un papel fundamental en la reconstrucci´on de Londres luego del gran incendio de 1666. Wren fue el arqui- tecto de la Catedral de San Pablo en Londres. Para leer mas sobre las contribuciones cient´ıficas de Wren se puede consultar el libro de J. Arthur Bennett, The math science of Christopher Wren, Cambridge University Press, 2002. La historia del desarrollo de las leyes de colisiones est´a presentada en el libro de W. J. Stronge, Impact Mechanics, Cambridge University Press, 2000.
©cRafael Benguria, 4 de Octubre de 2013.
