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MANUAL DE TRIGONOMETR´IA
1. Funciones trigonom´etricas del doble del ´angulo
- C´alculo de sin(2a). Como punto de partida se utiliza la identidad trigonom´etrica sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a, (1) se propone el cambio de variable b = a, y se sustituye en la ecuaci´on (1) sin(2a) = sin(a + a) = sin a cos a + sin a cos a, (2) haciendo reducci´on de t´erminos semejantes en la ecuaci´on (2), se obtiene
sin(2a) = 2 sin a cos a (3)
- C´alculo de cos(2a). An´alogamente, el punto de partida se utiliza la identidad trigonom´etrica cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b, (4) se propone que b = a, y se sustituye en la (4) cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a − sin a sin a, (5) realizando las operaciones pertinentes, se obtiene
cos(2a) = cos^2 a − sin^2 a (6)
Por otro lado, se puede de obtener la ecuaci´on (6) en funci´on solamente del coseno, se utiliza la identidad trigonom´etrica: sin^2 a + cos^2 a = 1 y se despeja el sin^2 a de la identidad anterior sin^2 a = 1 − cos^2 a, (7) por lo que se sustituye la identidad (7) en la ecuaci´on (6), como sigue cos(2a) = cos^2 −(1 − cos^2 a)
cos(2a) = 2 cos^2 a − 1. (8)
- C´alculo de tan(2a). Empleando la f´ormula de tan(a + b), la cual se define como
tan(a + b) =
tan a + tan b 1 − tan a tan b
se realiza el cambio de variable b = a resultando: tan(a + a) = tan a + tan a 1 − tan a tan a
tan(2a) = 2 tan a 1 − tan^2 a
2. Funciones trigonom´etricas del triple ´angulo
- C´alculo de sin(3a). Utilizando la identidad trigonom´etrica de la ecuaci´on (1), la cual se define como: sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a, y hacemos b = 2a, resulta: sin(a + 2a) = sin a cos 2a + sin(2a)(cos a), (11) sustituyendo lo obtenido en las ecuaciones (8) y (3) en la ecuaci´on (11) se obtiene sin(3a) = (sin a)(cos^2 a − sin^2 a) + (2 sin a cos a)(cos a), = sin a cos^2 a − sin^3 +2 sin a cos^2 a.
Y como cos^2 a = 1 − sin^2 a, se sustituye en la ecuaci´on anterior y resulta: sin(3a) = (sin a)(1 − sin^2 a) − sin^3 a + (2 sin a)(1 − sin^2 a), = sin a − sin^3 a − sin^3 a + 2 sin a − 2 sin^3 a,
sin(3a) = 3 sin a − 4 sin^3 a (13)
- C´alculo de cos(3a). Si en la f´ormula: cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b, hacemos b = 2a, resulta: cos(a + 2a) = cos a cos 2a − sin a sin 2a, (14) sustituyendo las ecuaciones (6) y (3), las cuales fueron obtenidas anteriormente, en la ecuaci´on (14) se tiene cos(3a) = (cos a)(cos^2 a − sin^2 a) − (sin a)(2 sin a cos a), = cos^3 a − cos a sin^2 a − 2 cos a sin^2 a, = cos^3 − cos a sin^2 a − 2 cos a sin^2 a, sustituyendo sin^2 a = 1 − cos^2 a, tendremos cos(3a) = cos^3 a − (cos a)(1 − cos^2 ) − (2 sin a)(1 − cos^2 a), = cos^3 a − cos a + cos^3 a − 2 cos a + 2 cos^3 a,
cos(3a) = 4 cos^3 a − 3 cos a. (15)
(x 2
. Si en la f´ormula:
cos(2a) = 2 cos^2 a − 1 ,
hacemos a = x 2
y se sustituye en la ecuaci´on anterior:
cos^2
x 2
= 2 cos^2
(x 2
cos x = 2 cos^2
(x 2
por ´ultimo se despeja cos^2
(x 2
de la ecuaci´on anterior
cos^2
(x 2
1 + cos x 2
cos
(x 2
1 + cos x 2
(x 2
. De la f´ormula:
tan
(x 2
sin
(x 2
cos
(x 2
tan
(x 2
1 −cos x 2 √ 1+cos x 2
1 −cos x 2 1+cos x 2
tan
(x 2
1 − cos x 1 + cos x
4. Ejemplo
Sea sin a =
, calcule el (a) seno, (b) coseno y la (c) tangente del ´angulo 2a.
Soluci´on:
(a) De la ecuaci´on (3) se sabe que la f´ormula para el sin(2a) = 2 sin a cos a. No se puede utilizar directamente la f´ormula anterior debido a que no conocemos el valor de cos(2a), as´ı que se busca con la relaci´on cos^2 a + sin^2 a = 1,
cos a =
1 − sin^2 a =
Por lo tanto, ya con el valor del cos a se utiliza la f´ormula inicial con la cual se obtiene
sin(2a) = 2 sin a cos a = 2
(b) Para calcular el cos(2a) se pueden utilizar las formulas (6) ´o (8), para este ejercicio se emplea la segunda. Para ello, sabemos que
cos(2a) = 2 cos^2 a − 1 ,
cos(2a) = 2
cos(2a) = 2
(c) Por ´ultimo, para el c´alculo de la tangente se tiene que calcular el valor de tan a. Se tiene la identidad y se sustituyen sus respectivos valores
tan a = sin a cos a
3 5 4 5
por lo que se tiene que sustituir en la f´ormula,
tan(2a) = 2 tan a 1 − tan^2 a
2(^34 )
4
3 2 1 − 169
3 2 7 16
5. Ejercicios propuestos
- Sea sin θ =
, calcular el seno, el coseno y la tangente del ´angulo 3θ.
- Si sin β =
, calcular el seno, el coseno y la tangente del ´angulo β 2
- Si cos α =
, calcular el seno, el coseno y la tangente de los ´angulos 2α y 3α.
- Si cos x =
2, calcule el seno, el coseno y la tangente del ´angulo doble.
