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TRIGONOMETRÍA
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las
semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.
MEDIDA DE ÁNGULOS
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y
negativo en caso contrario
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de
sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.
Grado sexagesimal (°)
Un grado tiene 60 minutos ( ' ) y un minuto tiene 60 segundos ( '' ).
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide igual que el radio.
Radián (rad)
1 𝜋𝜋 rad = 180°
30º rad
Paso de grados a radianes
180° = 𝜋𝜋 rad
30º = x rad
3 rad^ º
Paso de radianes a grados
𝜋𝜋 rad = 180° 𝜋𝜋 3 rad = x º
Razones trigonométricas
Seno
Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.
Coseno
Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.
Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. Se denota por tg B.
Cosecante
Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B. Se denota por cosec B.
Signo de las razones trigonométricas
Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º
Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:
Seno, coseno y tangente de 45º
Razones trigonométricas de ángulos notables
Identidades trígonométricas fundamentales
sen² α + cos² α = 1 (1)
Si en (1) dividimos todo entre cos² α tenemos:
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐^ ∝ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟐𝟐^ ∝ +^
𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟐𝟐^ ∝
𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟐𝟐^ ∝ =^
𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟐𝟐^ ∝ ,^ simplificando
1 + tg² α =sec² α ya que 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔^
𝟐𝟐 (^) ∝ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟐𝟐^ ∝ =^ 𝒕𝒕𝒕𝒕
𝟐𝟐 (^) ∝ y 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟐𝟐^ ∝ =^ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄
𝟐𝟐 (^) ∝
Si en (1) dividimos todo entre 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠^2 ∝
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐^ ∝ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔∝ +^
𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝟐𝟐^ ∝
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐^ ∝ =^
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟐𝟐^ ∝ ,^ simplificando
cosec² α = 1 + cotg² α ya que 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔
𝟐𝟐 (^) ∝ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟐𝟐^ ∝ =^ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒕𝒕𝒕𝒕
𝟐𝟐 (^) ∝ y 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟐𝟐^ ∝ =^ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄
𝟐𝟐 (^) ∝
Ejemplos:
1.- Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las razones trigonométricas del ángulo α.
Como sen² α + cos² α = 1 despejando cos² α = 1 - sen² α luego 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝛂𝛂 = �𝟏𝟏 − 𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬² 𝛂𝛂
Sustituyendo:
Como 𝑡𝑡𝑔𝑔 ∝=
cos ∝
Ejemplo:
Ángulos opuestos
Son aquéllos cuya suma es 360º ó 2 𝝅𝝅 radianes.
Ejemplo:
Ángulos complementarios
Son aquéllos cuya suma es 90º ó 𝝅𝝅 𝟐𝟐 radianes.
Ejemplo:
