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TRIGONOMETRÍA PLANA
Razones trigonométricas
Seno del ángulo α: r
y sen α = ; Cosecante del ángulo α: y
r cos ec=
Coseno del ángulo α: r
x cos α = ; Secante del ángulo α: x
r sec α=
Tangente del ángulo α: x
y tg α = ; Cotangente del ángulo α: y
x cot gα=
Fórmulas más utilizadas:
sen cos 1
2 2 α + α= ;^ +^ α= α
2 2 1 tg sec ; + α= α
2 2 1 cotg cosec
Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos:
sen(a +b)=senacosb+cosasen b
cos(a +b)=cosacosb−senasen b
1 tgatg b
tga tgb tg(a b) −
Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos:
sen(a −b)=senacosb−cosasen b
cos(a −b)=cosacosb+senasen b
1 tgatg b
tga tgb tg(a b)
Razones trigonométricas del ángulo doble:
sen( 2 a)= 2 senacos a; cos( 2 a) cos a sen a
2 2 = − ; 1 tg a
2 tga tg( 2 a) 2 −
Razones trigonométricas del ángulo mitad:
1 cosa
a sen
1 cosa
a cos
1 cosa
1 cosa
a tg
Suma y diferencia de senos y cósenos:
A B
cos 2
A B
sen A senB 2 sen
+ = ;^
A B
sen 2
A B
sen A senB 2 cos
A B
cos 2
A B
cos A cosB 2 cos
A B
sen 2
A B
cos A cosB 2 sen
En un triángulo plano, de lados a, b y c, y ángulos A, B y C, se verifica:
Teorema del seno: senC
c
senB
b
senA
a = =
Teorema del coseno: a b c 2 bccosA
2 2 2 = + −
Teorema de la tangente:
A B
tg
A B
tg
a b
a b
−
Fórmula de Briggs: p(p a)
(p b)(p a)
2
A
tg −
= siendo 2
a b c p
= el semiperímetro
r
x
y α
a
b
c
A
C
B
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Superficie de un triángulo esférico.
2 r S 180º 180º
π = α + β + γ − ; r=radio de la esfera y α, β, γ=ángulos del triángulo
esférico
Superficie de un polígono esférico:
Siendo: A 1 , A 2 , …,An ángulos del polígono. n = nº de lados del polígono
En un triángulo esférico, de lados a, b y c, y ángulos A, B y C, se verifica:
Teorema del seno (1º grupo de Bessel)
sen a sen b sen c
sen A sen B sen C
Teorema del coseno para lados (2º grupo de Bessel)
cos a = cos b· cos c + sen b· sen c· cos A
cos b = cos a cos c + sen a ·sen c cos B
cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C
Teorema de la cotangente (3º grupo de Bessel)
cotg a ⋅ sen b = cos b ⋅ cos C + sen C ⋅ cotg A
cotg a ⋅ sen c = cos c ⋅ cos B + sen B ⋅ cotg A
cotg b ⋅ sen a = cos a ⋅ cos C + sen C ⋅ cotg B
cotg b ⋅ sen c = cos c ⋅ cos A + sen A ⋅ cotg B
cotg c ⋅ sen a = cos a ⋅ cos B + sen B ⋅ cotg C
cotg c ⋅ sen b = cos b ⋅ cos A + sen A ⋅ cotg C
Teorema del coseno para ángulos (4º grupo de Bessel)
cos A = - cos B⋅cos C + sen B⋅sen C⋅cos a
cos B = - cos A⋅cos C + sen A⋅sen C⋅cos b
cos C = - cos A⋅cos B + sen A⋅sen B⋅cos c
Analogías de Neper
a-b cos A+B 2 C tg cotg 2 a^ b 2 cos 2
a-b sen A B 2 C tg cotg 2 a^ b 2 sen 2
A-B
cos a+b 2 c tg tg 2 A^ B 2 cos 2
A-B
s en a-b 2 c tg tg 2 A^ B 2 s en 2
Regla de Neper de los elementos circulares
Puestos los elementos del triángulo esférico en los vértices de un pentágono y en el
orden que indica la figura, el coseno de cada vértice es igual al producto:
a) De los senos de los vértices opuestos.
b) De las cotangentes de los vértices adyacentes.
2
1 2 n
r S A A ... A (n-2) 180º 180º
π = + + + − ⋅
a
B C
90º - c (^) 90º - b
A = 90º
