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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA • HOJA DE EJERCICIOS NO. 9
TRIGONOMETRÍA
Semestre 2019-B Departamento de Formación Básica
∗ Dados x, y ∈ R tales que tan(x) tan(y) 6 = 1, demuestre
tan(x ± y) =
tan(x) ± tan(y)
1 ∓ tan(x) tan(y)
Luego deduzca que el periodo de tan es π.
- Demostrar las siguientes identidades trigonométricas.
a) cos(x −
π
2
) = sen(x).
b) cos( 2 x) = cos
2 (x) − sen
2 (x).
c)
∗ cos(x) cos(y) =
1
2
(cos(x + y) + cos(x − y)).
d)
∗ tan(x) + tan(y) =
sen(x + y)
cos(x) cos(y)
e) sen( 3 x) = 3 sen(x) − 4 sen
3 (x).
f )
∗ cos
4 (x) − sen
4 (x) = 2 cos
2 (x) − 1.
g)
sen( 4 x) + sen( 2 x)
cos( 4 x) + cos( 2 x)
= tan( 3 x).
h) 1 + cos( 2 x) + cos( 4 x) + cos( 6 x) = 4 cos(x) cos( 2 x) cos( 3 x).
i) 2 csc(x) =
sen(x)
1 + cos(x)
1 + cos(x)
sen(x)
j)
∗
sec(x) − csc(x)
sec(x) + csc(x)
tan(x) − 1
tan(x) + 1
k)
sec
4 (x) − 1
tan
2 (x)
= 2 + tan
2 (x).
l)
∗ sec
2 (x) csc
2 (x) = sec
2 (x) + csc
2 (x).
- Simplificar las siguientes expresiones:
a) (sec(x) + tan(x)) ( 1 − sen(x))
b)
∗
sen
2 (x)
tan
4 (x)
3
csc
3 (x)
cot
6 (x)
2
c) tan(x) +
cos(x)
1 + sen(x)
d)
∗
1 + cot( α ) cot( β )
cot( β ) − cot( α )
e)
sen(x) + cos(x)
cos(x) − sen(x)
cos(x) − sen(x)
sen(x) + cos(x)
f )
∗
sen( 4 x) − sen( 2 x)
cos( 4 x) + cos( 2 x)
g)
∗
cos(x)
1 + cos( 2 x)
sen( 2 x)
1 + cos( 2 x)
- Dado h ∈ R r { 0 }, demostrar que las identidades siguientes son válidas para todo x ∈ R :
a)
∗
sen(x + h) − sen(x)
h
sen(h/2)
h/
cos
x +
h
b)
cos(x + h) − cos(x)
h
sen(h/2)
h/
sen
x +
h
- Demuestre que no existe x ∈ R tal que
sen(x) = 0 y cos(x) = 0.
- Calcular el valor exacto en cada literal:
a) E = sen( 2 x) − cos(x) si tan(x) = 2 y x ∈ I I I.
b)
∗ E = cos( 2 x) − sen(x) si cos(x) =
y x ∈ IV.
c) E = sen ( 3 x) si cos(x) = −
y x ∈ I I I.
d) E = sen ( 2 x) si tan(x) = −
y x 6 ∈ I I.
e)
∗ E = cos ( 2 x) si sec(x) =
y x 6 ∈ I.
f ) E = sen (^) ( 2 x) si tan(x) = −
y x 6 ∈ IV.
g)
∗ E = tan
x
si sen(x) =
y x ∈ I I.
h)
∗ E = sec
x
si tan(x) = −3 y x ∈ I I.
i)
∗ E = cos
3 x
si tan(x) = −
y x ∈ IV.
- Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) 2 sen (x) −
b)
∗ cos
2 (x) + 2 cos (x) − 3 = 0.
c) 2 cos(x) tan(x) = 1.
d)
∗ sen( 2 x) = sen(x).
e)
∗ sen(x) cos(x) = −
f ) cos
x +
π
= sen(x).
g)
∗ sen
x +
π
h) tan
x
i) 6 sen
2 (x) + cos ( 2 x) = 0.
j)
∗ 1 + sen (x) + cos (x) + sen ( 2 x) + cos ( 2 x) = 0.
k) cos ( 2 x) =
1 − tan
2 (x)
1 + tan
2 (x)
l)
∗ cos
2 (x) − 3 sen
2 (x) = 0.
m)
∗ sen
2 (x) − cos
2 (x) =
- Dado x ∈ R que no es múltiplo de 2 π. Para todo n ∈ Z
, demuestre que
a)
∗
n
k= 0
cos(kx) = cos
nx
sen
n + 1
x
sen
x
b)
n
k= 0
sen(kx) = sen
nx
sen
n + 1
x
sen
x
c)
n
k= 0
cos(kx) =
sen
2 n + 1
x
sen
x
∗ Demuestre o refute:
a) cos(x) > −1 para todo x ∈ R.
b) sen(x) =
=⇒ x =
π
c) sen(x) =
=⇒ x =
π
∨ x =
5 π
d) sen(x) + cos(x) ≥ −4 para todo x ∈ R.
∗ Dados θ , φ ∈ R y r > 0; si
x = r cos( θ ) sen( φ )
y = r sen( θ ) sen( φ )
z = r cos( φ );
entonces calcule:
x
2
2
2
.
