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UNIDAD N° 1: TEORÍA DE CONJUNTOS – CONJUNTOS NUMÉRICOS
- Noción intuitiva de conjunto …….……………………………….............................................. ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD
- Formas de definir un conjunto……………………………………………………….…...…….
- Conjuntos notables……………………………………………………………………………...
- Conjuntos numéricos…………………………………………………………………….……...
- Números Naturales: N….………………………………….………………..………………
- Números enteros: Z..……………………………………….…………………………….
- Números racionales: Q….…………….….………………….………………………….......
- Números irracionales: I…..……………… ……………….………………………….......
- Números reales: R…….……………………………………….…………………………....
- Números Complejos: C.…….………………………………….…………………………...
- Actividad..…..………………………………………………………………………………….
- Diagramas de Venn……………………………………………………….…………………….
- Actividad..…..………………………………………………………………………………….
- Representación gráfica de números reales……………………………………………………...
- Actividades..…..………………………………………………………………………………….
- Inclusión – subconjuntos….…………………………………………………….………...……..
- Actividades..…..………………………………………………………………………………….
- Operaciones con números reales……………………………………………..………………....
- Suma o resta de números fraccionarios…………………………………………………….. - Fracciones de igual denominador.…......…………………………………………………… - Fracciones de distinto denominador…...…………...……………….………………………
- Multiplicación de números fraccionarios………..…………………………….……...…….
- División de números fraccionarios……..………………………….………….……...…….
- Potenciación de números fraccionarios……..…………………………...…….……...……. - De exponente natural……..………………………………………….……….….…...……. - De exponente entero negativo……..……………………………….………………....…….
- Radicación de números fraccionarios……..……………………………….…….…...…….
- Propiedades de algunas operaciones………………………...…………………….……...…….
- Propiedad distributiva del producto respecto a la suma……..……………..….……...…….
- Propiedad distributiva del cociente respecto a la suma……..…………….…………..…….
- Propiedades de la potenciación……..……………………...………………….……...…….
- Potencia de un producto……..……………………………………………..….……...…….
- Potencia de un cociente………..…………………………….…………………...…...…….
- Potencias de potencias………..…………………………….………………………...…….
- Producto de potencias de igual base……..…………………...……………….……...…….
- Cociente de potencias de igual base……...………………………...………….……...…….
- Propiedades de la radicación……..……………………………...…………….……...…….
- Radicación de un producto…………...……………………….……………….……...…….
- Radicación de un cociente……...…………………………………..………….……...…….
- Radicación como potencia de exponente fraccionario……..………………….……...……
- Actividades…..………………………………………………………………………………….
- Subconjuntos de los números reales: intervalos………………………………….….…...…….
- Tipos de intervalos……………………………….……………………………….….…...…….
- Intervalo abierto……..……………….……………………………………….….…...…….
- Intervalo cerrado……..……………………………………………………….….…...…….
- Intervalo semiabierto……...………….……………………………………….….…...…….
- Intervalo Infinito……..……………………………………………………….….…...…….
- Actividades…..………………………………………………………………………………….
- Operaciones con conjuntos……………………………………………………….….…...…….
- Unión…………………………………………….……….……………….….…...……..….
- Intersección…..……………………………………………………………….….…...…….
- Complemento……..…………………….…………………………………….….…...…….
- Diferencia……..…………………………………...………………………….….…...…….
- Propiedades de las operaciones entre conjuntos………………………………….….…...…….
- Propiedad conmutativa……..…………………...…………………………….….…...…….
- Propiedad asociativa……..……………………………………..…………….….…...…….
- Propiedad distributiva……..………………………………………………….….…...…….
- Propiedad de idempotencia……..…………………………………………….….…...…….
- Leyes de De Morgan……..………..………………………………………….….…...…….
- Actividades…..………………………………………………………………………………….
- Operaciones con intervalos……………………………………………………….….…...…….
- Unión……….…………………………..…………………………………….….…...…….
- Intersección…………………………………..………………………………….….…...….
- Diferencia…….…………...………………………………………………….….…...…….
CONJUNTOS
NOCIÓN INTUITIVA DE CONJUNTO
La palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una agrupación o colección de objetos que
reciben el nombre de elementos. Esta idea nos sirve para introducirnos en el concepto de
conjuntos que, en Matemática es un término primitivo. Es decir no lo definimos, no contestamos
a la pregunta ¿qué es?
Los conjuntos se designan con letras mayúsculas imprenta: A, B , C, … y los elementos con
letras minúsculas imprenta: a, b, c, d….
Si a es un elemento del conjunto A , dicho elemento pertenece al conjunto y escribimos a A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se simboliza a A.
FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO
Si queremos indicar el conjunto de las vocales podemos escribir:
A = {x / x sea una vocal} ó A = {a, e, i, o, u}
Un conjunto está definido por extensión o enumeración, cuando entre llaves figuran todos sus
elementos.
Ejemplos:
a) A = a, e, i, o, u
b) {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
Un conjunto está definido por comprensión , cuando se enuncia la propiedad que caracteriza a
sus elementos.
Ejemplos:
a) A = {x / x sea una vocal}
b) {x / x es día de la semana}
CONJUNTOS NOTABLES
Conjunto Vacío: se simboliza con y es aquel conjunto que no posee elementos.
Ejemplo : A = {números impares entre 5 y 7} = ∅
No existe ningún número impar entre los números 5 y 7.
Conjunto Universal: se simboliza con U y es aquel conjunto que contiene todos los elementos
del tema en estudio; por lo tanto no es fijo y se debe fijar de antemano.
Nota: Si un conjunto tiene n elementos, se dice que es finito , caso contrario el conjunto es
infinito.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturales:
Los números naturales fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos. El
conjunto de los números naturales tiene infinitos elementos y se simboliza
Los puntos suspensivos indican que en no hay último elemento, pero sí existe primer elemento
que es el número 1y además todo número natural, llamémosle x, tiene su número natural
consecutivo o siguiente, x + 1.
Al conjunto de los naturales con el cero incluido, se simboliza:
Los números naturales constituyen un conjunto cerrado para las operaciones de suma y
multiplicación ya que, al operar con cualquiera de sus elementos, el resultado siempre será un
número natural: 5 + 6 = 11; 8.5 = 40.
No ocurre lo mismo, en cambio, con la resta ; por ejemplo 8 – 3 es un número natural, pero 3 – 8
no es un número natural; como consecuencia de ello surgen los números negativos.
Números enteros:
Los números enteros abarcan a los números naturales , el cero y a los números negativos.
Todo número natural es un número entero.
Los números enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una
cuenta bancaria, un año de la era antes de Cristo, el número de una planta del sótano de un
edificio, la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, etc.
El conjunto de los números enteros es cerrado para la suma, la resta y el producto; sin embargo,
la división de dos números a:b no siempre es un número entero. Es por ello que surge el conjunto
de los números fraccionarios o racionales.
Números Complejos: C
Al tratar de resolver igualdades como x
2
- 4 = 0, aparecen expresiones como 4 que no es
posible resolver en el conjunto de los números reales, ya que ningún número real elevado al
cuadrado es igual a – 4.
Por ello surgieron los números imaginarios para que sea posible la radicación de números
reales negativos: (^) 4 = (^4) .( 1 )= 4. (^) 1 = 2.i
Se denomina unidad imaginaria a i = (^) 1 y es tal que i 2 = -
Al conjunto formado por los números reales y los números imaginarios se lo denomina n úmeros
Complejos.
Todo número natural es un número complejo.
Todo número entero es un número complejo.
Todo número racional es un número complejo.
Todo número irracional es un número complejo.
Todo número real es un número complejo.
ACTIVIDAD
Dados los siguientes conjuntos: A = {0, 2, 4, 6, 8},
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
C = {x/x es dígito mayor que 3}
Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes afirmaciones:
a) 7 B e) 0 A
b) 3 C f) 9 C
c) 8 A g) 11 A
d) (^5) B h) (^8) B
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS
DIAGRAMAS DE VENN
Los conjuntos pueden representarse gráficamente mediante diagramas de Venn, en honor al
matemático John Venn.
El conjunto universal se representa con un rectángulo, y el diagrama para un conjunto A
cualquiera es una curva cerrada en cuyo interior se colocan puntos que representan a los
elementos del conjunto A.
El diagrama de Venn más general para representar dos conjuntos cualesquiera es:
o simplemente
ACTIVIDAD
Representar, en un mismo diagrama de Venn, los siguientes conjuntos:
U = {x/x es dígito}, A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, C = {x/x es dígito mayor que 3}
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES
Los números reales se representan geométricamente en la recta numérica, esto es, se indica sobre una
recta un punto fijo O que se llama origen y que corresponde al número real cero.
Considerando un segmento unitario como unidad de medida, a la derecha de O se indican los puntos
que corresponden a los números reales positivos ( R + ) y a la izquierda de O los puntos que
corresponden a los números reales negativos ( R
- ).
De esta manera, a cada número real le corresponde un único punto de la recta, y a cada punto de la
recta, un único número real.
Para representar gráficamente un número fraccionario en la recta numérica, se divide la unidad en
tantas partes como lo indique el denominador de la fracción y luego se toman tantas partes de la
subdivisión como lo indique el numerador.
Ejemplo:
Negativos Positivos
0
¼
½
1
U
A
U
A B
Los diagramas de Venn sólo se utilizan para representar gráficamente conjuntos finitos.
U U
A
U
A B^
A
B
b) 0 y 1
c) 0,7 y 0,
d) 2,34 y 2,
e) 2,34 y 2,
f) 0,9 y 1
5. Representar en la recta real los siguientes números: -4 ; 2
INCLUSIÓN - SUBCONJUNTOS
Se dice que el conjunto A está contenido en B (o que A es un subconjunto de B), y se simboliza
A B, si todos los elementos de A son elementos de B.
Gráficamente:
En caso contrario, se dice que A no está contenido en B (o que A no es subconjunto de B) y se
simboliza AB.
Ejemplos:
a) Q RC
b) {2, 4, 6} {2, 4, 6, 8}
c) {1, 3, 6, 7} {1, 3, 6, 9}
d) U = {x / x 0 y x 7}
A U
B U
C U
D U
D C
Observación: Para cualquier conjunto A se verifica que:
A
A A
A U
A
B
U
A B
C
D
Ejemplos
Q R C
Naturales:
Cero: 0 Enteros :
Racionales: Q Reales: R
Negativos:
-
Fraccionarios
(Decimales) Irracionales :
ACTIVIDADES
1. En base a los conjuntos dados colocar o según corresponda:
U = {x / x es número natural}
A = {x / x es número natural impar}
B = {x / x es número natural múltiplo de 2}
C = {x / x = 4.n, con n número natural}
a) A......U e) B….C
b) A......B f) C…..A
c) C…..B g) A…..C
d) B…..A h) B…..U
2. Dados A = {a, b, c} y B = {1, 2}, decir si es verdadero o falso:
a) {a, b} A..............
b) {a} A..................
c) 1 B.....................
d) {1, 2} B.............
La pertenencia vincula elementos con conjuntos y la inclusión vincula conjuntos con conjuntos.
Si se simplifica antes de multiplicar se obtiene: 3
División de números fraccionarios
Para dividir dos números fraccionarios se procede de la siguiente manera:
Ejemplos:
a) 15
10
b) 24
3 2 1
Si se simplifica antes de multiplicar se obtiene: 3
Potenciación de números fraccionarios
a) De exponente natural:
n
n n
b
a
b
a
, con b 0
b) De exponente entero negativo:
n
a
b
a
b
b
a
, con b 0, a 0
En particular: ^ n
n
a
a
a (^)
con a 0
Ejemplos:
a) 16
2
(^22)
^
En la división de fracciones se simplifica horizontal.
b.c
a.d
d
c : b
a
b) 9
2
-2 (^22)
^
c) 16 1
2
-2 (^22)
^
d)
(^22)
Radicación de números fraccionarios
n
n n b
a
b
a , con b 0
Si n es par entonces b
a debe ser mayor o igual a cero.
Ejemplos:
a) 5
b) 3
3
3 (^3)
PROPIEDADES DE ALGUNAS OPERACIONES
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma:
R
R
a b c a b a c con a,b, c
a b c a c b c con a,b,c
Propiedad distributiva del cociente respecto a la suma:
a b :ca:cb:c con a,b,cR c 0
Propiedades de la potenciación:
a 1
0 , con a 0
n
Potencia de un producto: a b a b ; conpQ
p p p
Potencia de un cociente ; conp b 0 b
a
b
a p
p p
^
Q
x + x 2x
2
x.x 2x
2.x.3.x 4x 2
x
2
2 6x
2
2.x + 4.x (2x)
3
(2x) 2 6x
2.x.4.x 2 x 2
2. Colocar el símbolo = o según corresponda, para que los siguientes enunciados sean
verdaderos.
a) (20 – 7) – 8 ………. 20 – (7 – 8)
b) (5 + 3)
2 ………. 5
2
2
c) 15
d) 15
e) 25
f) 25
g) 1- 3
h) – x 2 ………. (-x) 2
i) 3.
2 ………. 6
2
3. Indicar para qué valores de x tienen significado las siguientes expresiones en el conjunto de
los números reales.
a) x
h) x 9
2
b) x 2
i) x- 5
c) x 1
j) x
d) 3 2
x
k) 3 x
e) 2 x
l) x 1
3
f)
x 3 x 3
m) 3 x 5
g) x 3
2
n) (^3) x 3
4. Clasificar en verdaderos o falsos los siguientes enunciados.
a) Si a>0 y b>0 entonces a.b >
b) Si a>0 y b>0 entonces a.b = b.a
c) Si a>0 y b<0 entonces a
3
b
5
d) Si a>0 entonces a.3 < -
e) Si b>0 entonces 4 < b.b.b
5. Resolver las siguientes operaciones e indicar al o los conjuntos a los que pertenece el
resultado.
a) 4 5 8 2 : 7
3 m)
: 2 5
1 0
b) 5
n)
3 2
c) 3
(^4) ñ). 50 2
3 3 =
d) 3
3 = (^) o) 3 1
1 2 ( 2 ) 3
^
e) 16
1 = p)
7 5 2 2 2 =
f)
5
4
5
1
= q)
1 3
3 2
g)
4
1
1
4
3
= r)
3 1
1 ( 2) 3
^
h)
2
(^20) (^) s)
1 3 1
1 2
SUBCONJUNTOS DE LOS NÚMEROS REALES: INTERVALOS
Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos valores fijos que
se denominan extremos del intervalo.
TIPOS DE INTERVALOS
Intervalo Abierto (a, b) es el conjunto de los números reales mayores que a y menores
que b con a < b, donde a y b son los extremos que No pertenecen al intervalo.
Se escribe: (a, b) = { x R / a < x < b}
Intervalo Cerrado [a, b] es el conjunto de los números reales mayores o iguales que a y
menores o iguales que b con a < b, donde a y b son los extremos que Sí pertenecen al
intervalo.
Se escribe: [a, b] = { x R / a x b}
Se pueden realizar las combinaciones con los extremos llamándolos:
Intervalos semiabiertos cuando son de la forma:
(a, b] = { x R / a < x b}
[a, b) = { x R / a x < b}
Intervalos Infinitos: Se presentan las siguientes posibilidades
a) ( , b) conjunto de los números reales menores que b.
(− , b) = {x R / x b}
b) ( , b] conjunto de los números reales menores o iguales que b.
( − , b] = {x R / x b}
c) (a, ) conjunto de los números reales mayores que a.
(a, ) = {x R / x > a}
( a
) b
[ a
] b
[ a
) b ) b ] b ( a
( a
] b
d) [a, ) conjunto de los números reales mayores o iguales que a.
[a, (^) ) = {x R / x a}
En resumen se presenta la siguiente tabla:
Denominación
Notación de Intervalos
Notación como subconjunto de los reales
Forma gráfica
Intervalo abierto (a, b) {x R / a < x < b}
Intervalo cerrado [a, b] (^) {x R / a x b}
Intervalos semiabiertos
(a, b]
[a, b)
{x R / a < x b}
{x R / a x < b}
Intervalos infinitos
(, b)
(, b]
(a, )
[a, )
{x R / x < b}
{x R / x b}
{x R / x > a}
{x R / x a}
Observaciones:
Los símbolos y − se leen “infinito positivo” e “infinito negativo” respectivamente.
Los intervalos no se expresan por extensión
Los intervalos no se representan gráficamente mediante diagramas de Venn.
Los intervalos se representan gráficamente en la recta real.
[
a
a
b
[
a
]
b
a
]
b
[
a
b ) b ] b ( a [ a
