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Capítulo 4
Variable aleatoria
Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde a un resultado de un exper- imento aleatorio. Algunos ejemplos son: número de caras obtenidas al lanzar seis veces una moneda, número de llamadas que recibe un teléfono durante una hora, tiempo de fallo de una componente eléctrica, etc. El estudio que haremos en este capítulo será análogo al que lleva- mos a cabo en el capítulo uno con las variables estadísticas. Así retomaremos el concepto de distribución y las características numéricas, como la media y varianza. El papel que allí jugaba la frecuencia relativa lo juega ahora la probabilidad.
4.1. Definición de variable aleatoria. Clasificación.
Sea (Ω, ℘(Ω), P ) un espacio probabilístico. Una función X : Ω → R s → X(s)
es una variable aleatoria, transforma los resultados del espacio muestral en números reales. Las variables aleatorias se clasifican en:
- Discretas: toman un número finito o infinito numerable de valores. Por ejemplo, número de caras obtenidas al lanzar dos monedas.
Ω = {(c, c), (c, +), (+, c), (+, +)}, 63
64 Capítulo 4. Variable aleatoria
X : Ω → R (c, c) 2 (c, +) 1 (+, c) 1 (+, +) 0 X =Número de caras obtenidas es una variable aleatoria que toma valores 0,1,2, y cada uno de ellos lo tomará con una probabilidad.
- Continuas: pueden tomar cualquier valor en R. Por ejemplo, tiempo de fallo de una componente.
4.1.1. Variable aleatoria discreta
Sea (Ω, ℘(Ω), P ) un espacio probabilístico y X una variable aleatoria discreta (v.a.d) que toma valores {xi}∞ i=1 Se llama función de probabilidad p(x) a la función que indica la probabi- lidad de cada posible valor de la v.a.d. X, es decir,
p(xi) = P (X = xi) = pi ,∀i Se ha de verificar que: (i) 0 ≤ pi ≤ 1 ∀i (ii) P∞ i=1 pi = 1
0,1,
Función masa probabilidad
probabilidad (^00 2 4 6 8 )
0,
0,
0,
0,
Ejemplo de f.m.p. de v.a.d.
66 Capítulo 4. Variable aleatoria
La v.a.d. queda caracterizada por su función de probabilidad, p(x), o por su función de distribución F (x). Ejemplo 4.1: En ocasiones algunas líneas aéreas venden más pasajes que los disponibles en un vuelo. Una compañía ha vendido 250 billetes que corresponden a un avión de 200 plazas. Sea X la variable aleatoria que expresa el número de viajeros que se presentan en el aeropuerto para tomar el vuelo. La distribución de X es:
xi 198 199 200 201 202 203 204 205 pi 0.05 0.09 0.15 0.20 0.23 0.17 0.09 0. a. Calcula la probabilidad de que todos los pasajeros que llegan a tomar el vuelo tengan plaza. P (X ≤ 200) = F (200) = P (198) + P (199) + P (200) = 0, 29
b. Calcula la probabilidad de que se quede sin plaza alguno de los viajeros
P (X > 200) = 1 − P (X ≤ 200) = 0, 71
c. Calcula la probabilidad de que lleguen al aeropuerto entre 195 y 200 pasajeros
P (195 ≤ X ≤ 200) = P (198) + P (199) + P (200) = 0, 29
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona que está en lista de espera tenga sitio en el vuelo?. P (X < 200) = P (X ≤ 199) = 0, 14
4.1.2. Variable aleatoria continua
Decíamos que las variables aleatorias continuas (v.a.c.) pueden tomar cualquier valor de la recta real. Generalmente presentarán muchos valores distintos (cada uno con muy escasa frecuencia o probabilidad), por lo que en este caso carece de sentido hablar de probabilidad en un punto aislado y se toman probabilidades por intervalos. Sea (Ω, ℘(Ω), P ) un espacio probabilístico y X una v.a.c. con valores en R.Se llama función de densidad de la v.a.c. X a una función f (x) tal que:
(i) f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ R
4.1. Definición de variable aleatoria. Clasificación. 67
(ii)
Z^ +∞
−∞
f (x)dx = 1
La probabilidad de que X tome valores en un intervalo [a, b], a, b ∈ R, viene dada por:
P (a ≤ X ≤ b) =
Z^ b
a
f (x)dx
0,
(^0) -5 -3 -1 1 3 5
0,
0,
0,
0,
P(a<X<b)
a b
f(x)
Por lo tanto, la probabilidad en un punto a es igual a cero.
P (X = a) =
Z^ a
a
f (x)dx = 0
Observaciones: (i) f (x) no representa la probabilidad de que la variable X tome el valor x. Sólamente al integrarla se obtienen probabilidades. (ii) La función de densidad presenta la forma del histograma. (iii) P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) al ser la probabilidad en un punto cero. Sea (Ω, ℘(Ω), P ) un espacio probabilístico, X una v.a.c. con valores en R.y f (x) su función de densidad. Se llama función de distribución de la v.a.c. X, F (x), a la probabilidad de que X tome valores inferiores o iguales a x,
F (x) = P (X ≤ x) =
Z^ x
−∞
f (u)du, x ∈ R
La función de distribución de una v.a.c. presenta las siguientes propiedades:
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4.2. Características de una variable aleatoria 69
c. Calcula la probabilidad de que en un mes se supere una venta de 0.8 (millones).
P (X > 0 ,8) = 1 − F (0,8) = 1 − 0 ,99 = 0, 01
d. Calcula la probabilidad de que en un mes el número de ventas esté comprendido entre 0. y 0.8 (millones).
P (0, 6 ≤ X ≤ 0 ,8) = F (0,8) − F (0,6) = 0, 99 − 0 ,94 = 0, 05
e. Si se quiere tener una garantía del 95 % de que no se agote el producto en un mes deter- minado, ¿qué cantidad c del mismo debe pedirse a fábrica?.
P (X ≤ c) = F (c) = 0, 95 ,
3(c + c
3 3 −^ c
c = 0, 63.
4.2. Características de una variable aleatoria
4.2.1. Esperanza matemática
Se define la esperanza matemática (o simplemente esperanza) de una v.a. X como su valor medio. Se denota por E(X) o μ, y se calcula de la siguiente forma:
X^ ∞
i=
xipi
Z +∞
−∞ xf (x)dx
Propiedades de la esperanza:
(i) Si C es una constante, E(C) = C. (ii) ∀ a, b ∈ R, E(aX + b) = aE(X) + b (iii) Si g(X) es una función de X, entonces:
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70 Capítulo 4. Variable aleatoria
- Si X es discreta: E(g(X)) =
X^ ∞
i=
g(xi)pi
- Si X es continua: E(g(X)) =
Z +∞
−∞ g(x)f (x)dx (iv) Si X 1 , ..., Xn son variables aleatorias, E(Pni=1 Xi) = Pni=1 E(Xi).
4.2.2. Momentos de una variable aleatoria
Dada una v.a X, se define su momento de orden k (k = 0, 1 , 2 , ...) respecto a la media o momento central de orden k como la esperanza de (X − μ)k^ :
μk = E((X − μ)k) Se define su momento de orden k (k = 0, 1 , 2 , ...) respecto al origen o momento no central de orden k como la esperanza de Xk^ :
αk = E(Xk) Observaciones:
- α 0 = 1
- α 1 = μ
- μ 0 = 1
- μ 1 = 0 El segundo momento central se llama también varianza, y se denota por V ar(X) o σ^2 ,
V ar(X) = E((X − μ)^2 ) =
P∞
R i=1(xi^ −^ μ)^2 pi^ si^ X^ es discreta +∞ −∞ (x^ −^ μ)^2 f^ (x)dx^ si^ X^ es continua A la raiz cuadrada de la varianza se le llama desviación típica y se denota por σ. Propiedades de la varianza: (i) V ar(X) = E(X^2 ) − E^2 (X) (ii) Si C es una constante, V ar(C) = 0. (iii) Si a, b son constantes: V ar(aX + b) = a^2 V ar(X).
72 Capítulo 4. Variable aleatoria
(i) Esta función determina unívocamente la distribución de probabilidad de la variable aleato- ria (ii) A partir de ella se pueden generar los momentos no centrados de la variable: αk = E(Xk) = ∂
kGX (t) ∂tk
t=
esto es, el momento no central de orden k es igual a la derivada k-ésima respecto a t de la función generatriz de momentos evaluada en t = 0. Por ejemplo, μ = G´(0), σ^2 = G´´(0) − [G´(0)]^2
4.4. Ejercicios
- El control de la calidad de ciertos productos se realiza contando el número de defectos por unidad y comprobando si dicho número está comprendido entre ciertos límites llamados límites de control. Si el número de defectos por unidad en cierto proceso de fabricación es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad dada por: P (X = x) = e
− 0 , (^60) , 6 x x! , x^ = 0,^1 ,^2 , ... a) Determina el número medio de defectos por unidad. Nota: x! = x(x − 1)(x − 2).... ex^ =
X^ ∞
n=
xn n! b) Si los límites de control vienen dados por Límite inferior de control: λ − 3
λ Límite superior de control: λ + 3
λ siendo λ = E[X], y se considera que el proceso está bajo control estadístico cuan- do el número de defectos que se van observando en una muestra de unidades está comprendido entre dichos límites.
4.4. Ejercicios 73
- Calcula la probabilidad de que una unidad de producción no caiga entre los límites de control.
- Calcula la probabilidad de que en una muestra de 5 unidades, al menos 1 no caiga entre los límites de control.
- El tiempo necesario en milisegundos para completar una reacción química está aproximado por una función de distribución dada por:
F (x) = 1 − e−^0 ,^01 x, x ≥ 0
a) Obtén la función de densidad. b) Calcula el tiempo esperado para completar la reacción. c) Calcula el porcentaje de reacciones completas antes de 200 milisegundos.
- El espesor de un recubrimiento conductor (en micrometros) tiene una función de densidad dada por f (x) = 600x−^2 , 100 < x < 120
a) Obtén la función de distribución. b) Calcula la probabilidad de que el espesor sea inferior a 110 μm c) Calcula la probabilidad de que el espesor esté comprendido entre 115 y 118 μm. d) Si el costo promedio del recubrimiento es de 0.5 euros por micrometro de espesor en cada pieza, ¿cuál es el costo promedio del recubrimiento por pieza?.
- La ley de probabilidad de una variable aleatoria X viene dada por:
p(x) =
k si x = 0 2 k si x = 1 3 k si x = 2 a) Determina k así como P (X ≤ 2), P (0 < X < 2). b) Encuentra el menor valor x 0 tal que P (X ≤ x 0 ) > 0 , 5. c) Calcula la media y la varianza. d) Determina la función de distribución de X y represéntala.
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4.4. Ejercicios 75
b) f (x) =
2 e−^2 x^ si x ∈ [0, ∞) 0 en otro caso
- El kilometraje (en miles de km) que los automovilistas logran de cierto tipo de neumáticos es una variable aleatoria con función de densidad
f (x) =
k e
− 20 x (^) si x > 0 0 en otro caso a) Calcula el valor de k para que f (x) sea función de densidad. b) Calcula la probabilidad de que el neumático dure a lo sumo 10.000 km. c) Calcula la probabilidad de que el neumático dure entre 16.000 y 24.000 km. d) Calcula la probabilidad de que el neumático supere el kilometraje medio o esperado.
- Consideremos el experimento aleatorio de seleccionar 4 bolas al azar sin reemplazamiento de una urna que contiene 7 bolas rojas y 3 negras. Definamos la v.a X como el número de bolas rojas extraidas. Calcula:
a) La función de probabilidad y la de distribución de X. b) P (1 ≤ X ≤ 3), P (1 < X ≤ 3) y P (1 ≤ X < 3). c) Contesta las cuestiones anteriores si el experimento se realiza con reemplazamiento.
- Se lanza una serie de cohetes hasta que se alcanza el primer lanzamiento con éxito. Si no tiene lugar el éxito en la quinta prueba, finalizan los lanzamientos. La probabilidad de éxito es 0.8 y los lanzamientos son independientes. El costo del primer lanzamiento es C y el de los sucesivos C/ 3. Cada vez que tiene lugar un éxito se obtienen unos ingresos de valor I. Sea X el resultado económico del proceso (ingresos-costos).
a) Obtener su función de probabilidad. b) Si I = 90 euros y C = 30 euros, ¿se esperan ganancias o pérdidas?.
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