¡Descarga Variables aleatorias con solucion y más Ejercicios en PDF de Probabilidad solo en Docsity!
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
Ejercicios Probabilidades y Variables Aleatorias
- La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una
distribución en particular es una variable aleatoria con función de probabilidad dada por:
0 t.o.l.
si 1 x 2 x
f x
i.Calcule F(x) ii.¿Cuál es la probabilidad de que el?
iii.Calcule el valor esperado de la variable aleatoria X.
Solución
i) Sea X: demanda semanal de gas propano (en miles de galones)
Como x es una variable aleatoria continúa, se tiene que:
( ) ( )
2
2
2 2
x
1
x
1
x
1
2
x
1
x
1
2
x
1
2
x
x 1 x
x 2x 1 x
x
x 1 2x 2 2 x
x 1 2 2 x
1 2 x x
2 x 1
x
dx 2 x/ x
dx 2 dx x
dx 2 1 x
Fx f xdx 21
= (^) ∫ =∫ − ∫ ∫ ∫ −∞
por lo tanto
1 si x 2
x 1 si 1 x 2 x
0 si x 1
F x
2
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
ii) El valor esperado de una variable aleatoria continua es por definición:
ln( ) 2 1,
ln 2 ln 1 2 2
/ lnx / 2 2 2
x 2
dx x
dx 2 x dx x
dx 2 x dx x x
Ex x fxdx 2 x 1
0
x
1
x
1
2
x
1
x
1
x
1
2
x
1
x
1
2
2
1
=
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
- Suponga que la variable aleatoria x representa el porcentaje de impureza contenidas en un tambor de aceite comestible que comercializa una empresa con la
siguiente función de distribución de densidad
( )
0 t.o.l.
si 5 x 10 5
x
si x 5 25
x
fx
Determine la función de distribución acumulada ( F(x) ) e interprete F(x = 2,)
Solución
∫ ∫
∫
1 si x 10
dx si 5 x 10 5
x dx 25
x
dx si 0 x 5 25
x
0 si x 0
x
5
5
0
x
0 F x
Desarrollando las integrales anteriores, se tiene que:
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
B) ( )
([ ] [ ])
1 F ( ) 4
1 F 8
1 PX 4
1 PX 8
PX 4
PX 8
PX 4
P X 8 X 4
X 4
P X^8
[ ( ) ( ) ]
[ ]
X 4
P X^8
2
2
C) Sea D 1 el suceso que representa que el primer día la venta supera
los 7 toneladas y D 2 el suceso que representa que el segundo día
la venta supera las 7 toneladas. En forma natural se supone que
1 ; six 10
; si 5 x 10
; si 0 x 5
0 ; si x 0
F x 2
2
x x
x
−∞
1 ; si x 10
dt ; si 5 x 10
10 t
x
dt ; si 0 x 5
t
0 ; si x 0
F x f xdx
x
5
5
0
x
x 0
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
la venta en un día cualquiera es independiente de la venta de
cualquier otro día. Así que la probabilidad que de dos días
elegidos aleatoriamente, en un solo día la venta supere las 7
toneladas está dada por:
( [ ] [ ]) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )
C 1
C 2 1 2
C 1
C 2 1 2
C 1
C P D 1 ∩D 2 ∪D ∩D = PD ∩D + PD ∩D = PD ⋅PD +PD ⋅PD
Con ( ) ( )
PD 1 F 7 1
2
i = − = =
= − = − ; i = 1,
Resultando finalmente:
P( [D D ] [D D 2 ]) (0,18 ) ( 0 , 82 ) ( 0 , 82 ) ( 0 , 18 ) 2 ( 0 , 18 ) ( 0 , 82 ) 0 , 2952
C 1
C 1 ∩ 2 ∪ ∩ = ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ =
d)
Por teorema: ( ) ( )
c
x g c fx* ∂
= , entonces
C=0,05x-0,5, despejando “x”, tenemos que:
C 0 , 5
x
= y^20 0 , 05
c
x = = ∂
Entonces:
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que el contenido de plomo exceda el punto medio, es decir 15 unidades? c) Calcule la probabilidad de que en n de estos elementos elegidos al azar, todos menos
uno excedan el valor 15. d) Si se midiera el contenido de plomo en 1000 de estos elementos y se ordenaran estos
contenidos de menor a mayor, indique un intervalo aproximado [ d1, d2 ] que contenga el 50% central de estos valores.
Solución
0 ;enotro caso
; 10 x 20 x
20
f(x)
2
≤ ≤
= donde X : Contenido de plomo en ciertos elementos
a) x
t
t
dt t
F(x) f(t)dt
10
x
x
10
x
10
2
x
10
∫ ∫
, es decir:
1 ;
;
0 ;
F(x)
x 20
2 10 x 20
x 0
x
20
=
− ≤ ≤
<
b) P(X > 15) = 1 – P(X ≤ 15) = 1 - F(15) = 1 - ( 2 – 20/15 ) = 3
c) Sea la variable aleatoria Y : nº de elementos cuyo contenido de plomo excede las 15
unidades.
Y ∼ Bin( n ; p = P(X > 15) = 3
(^1) ) donde
p (1 p) ; y 0,1,2. ,n y
n P(Y y)
y n y ⋅ ⋅ − = LL
−
Luego, n
n 1 1
2 n
3
n
n P(Y n ) 1 1
1
^ ⋅
−
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
0,33 Toca / Esta Esta
0,67 (^) Tocac^ / Esta 0,
0,35 p^ Toca / Euro Euro
(1-p) (^) Tocac^ / Euro
0,
0,25 (^) Toca / Asia
Asia
0,75 (^) Tocac^ / Asia
d) Si X 1 ≤ X 2 ≤ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ≤ X1.000 , son los valores de la variable aleatoria en 1.000 de estos elementos, entonces los límites d 1 , y d 2 que contienen al 50% central de los casos,
corresponden a los valores del primer y tercer cuartil, esto es d 1 = Q 1 (X) y d 2 = Q 2 (X).
Si usamos la función de probabilidad acumulada, resultan las siguientes ecuaciones:
i) F(d 1 ) = 0,25 = 4
1
1
d
20 2 − =^ 4
1 d 1 = 7
80 = 11,
i) F(d 2 ) = 0,75 = 4
3
1
d
20 2 − = 4
3 d 2 = 5
80 = 16
- En un negocio de automóviles, hay un 25% de estos vehículos que fueron fabricados
en Estados Unidos, un 35% en Europa y el resto en Asia. Se sabe que un 33% de los automóviles fabricados en EE.UU. tiene toca-CD; uno de cada cuatro automóviles
fabricados en Asia posee toca-CD y que el 27,7% del total de automóviles tiene toca- CD.
a) Si se selecciona un automóvil al azar, ¿Cuál es la probabilidad que no posea toca-CD, si
se fabricó en Europa?.
b) Si se selecciona un automóvil al azar y resulta que posee toca-CD, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea fabricado en Estados Unidos o Asia?.
Solución
Sean los sucesos:
Esta : El automóvil es fabricado en Estados Unidos
Euro : El automóvil es fabricado en Europa
Asia : El automóvil es fabricado en Asia
Toca : El automóvil posee toca-CD
Podemos representar los sucesos como se muestra en el
diagrama de árbol:
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
Utilizando el teorema de bayes, tenemos que:
( [ ] )
[ ]
[ ]
P ( Toca)
PToca/Asia*P(Asia)
PToca
PToca/Esta*P(Esta) P Esta∪Asia Toca = +
( [ ] )
P Esta Asia Toca
- En Santiago, que un ejecutivo sea egresado de una universidad privada o que tenga un
magíster, es de 60%. De que sea egresado de una universidad privada es de 20% y la de
que tenga magíster es de 50%.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo escogido al azar tenga magíster, si egresó
de una universidad privada?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo haya egresado de una universidad privada sin
haber sacado un magíster?.
Solución
Sean los sucesos:
Priv : El alumno es egresado de una universidad privada
Mag : El alumno posee Magíster
Según la información que nos dan, tenemos que:
P ( Pr iv∪ Mag) = 0 , 60 ; P( Priv) = 0 , 20 ; P( Mag) = 0 , 50
a) ( )
P ( Priv)
PMag Priv P Mag Priv
Sabemos que:
P( Mag∪Priv)=P (Mag ) +P( Priv) −P(Mag∩Priv)
Despejando P( Mag∩ Priv)tenemos que:
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
P( Mag∩Priv)=P ( Mag) + P( Priv) − P( Mag∪Priv)
Entonces:
P ( Priv)
PMag PPriv PMag Priv
PPriv
PMag Priv P Mag Priv
0 , 20
0 , 10
0 , 20
0 , 50 0 , 20 0 , 60 = =
b) P ( Priv Mag) P( Priv) P( Priv Mag) 0 , 20 0 , 10 0 , 10
c ∩ = − ∩ = − =
- Un examen detallado de los registros de una compañía de tarjetas de crédito encuentra
que el primer mes, el 60% de quienes poseen tarjeta pagan totalmente su cuenta mensual.
También el estudio muestra que el 90% de los clientes que pagan totalmente una cuenta
mensual el primer mes, lo hacen los meses siguientes, y que sólo el 20% de los clientes que
no pagan totalmente su cuenta mensual el primer mes, cubren totalmente su deuda los
meses siguientes.
a) Suponga que se selecciona al azar a un usuario de la tarjeta y se observa el pago de tres
cuotas mensuales consecutivas. Construya el espacio muestral asociado a este experimento
aleatorio.
b) Suponga que se selecciona al azar a un usuario de la tarjeta, ¿ cuál es la probabilidad
que dicha persona pague totalmente su deuda mensual en tres meses consecutivos ?.
c) Encuentre la probabilidad que un cliente elegido al azar pague totalmente la segunda
cuota mensual.
Solución
Sean los sucesos:
A (^) i: El usuario de la tarjeta paga totalmente la cuota mensual en el mes “i”. c A (^) i : El usuario de la tarjeta no paga totalmente la cuota mensual el mes “i”.
a) El espacio mensual (no equi-probable) asociado al experimento está dado por:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (^)
A A A , A A A , A A A , A A A
A A A , A A A , A A A , A A A
c 3
c 2
c 3 1
c 2
c 1
c 2 3
c 2 3 1
c 1
c 3
c 3 1 2
c 1 2
c 1 2 3 1 2 3
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
B 2 :El individuo es hembra
A: El individuo se encuentra enfermo
Sabemos que:
P(B)
P(B) 2 P(B) 1
P(B) P(B) 1
1
1 1
1 2
Entonces:
P ( B 1 ) =1/
P ( B 2 ) =2/3^ (es el doble de machos)
P ( A / B 1 )= 0 , 1 ; P ( A / B 2 )= 0 , 18
Por bayes tenemos que:
1
1 1 1 1 = =
∑ i =
PBi P A Bi
PB P A B
P A
PB A
PB A
- El diámetro de cierto tipo de rodamiento esférico, es una variable aleatoria X, con
función de densidad de probabilidad:
(1/2) (K – x) 0 ≤ X ≤ 2 (en mm.)
f(x) =
0 t. o. l.
a) Obtenga la Función de Distribución Acumulada. Determine previamente el valor de K.
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de tres rodamientos difieran del diámetro esperado en menos de 0,1 mm? c) Si el diámetro del rodamiento oscila entre 0,5 y 1,5 mm., se considera aceptable
para su utilización, en tanto, si el diámetro de éste varía entre 0,3 y 0,5 ó 1,5 y 1, mm., es necesario rectificarlo a un costo de $ 25, en caso contrario se desecha.
Además, se sabe que el costo de fabricación de un rodamiento es de $ 60. Suponga que se vende la producción de una semana, que alcanza a 5.000 unidades y el precio de
venta unitario es de $ 100. ¿Cuál sería la utilidad esperada? (Hints: Utilidad = Precio de Venta – Costo)
Solución
a)
2
0
2
0
2
0
∫ ∫
∫
K
KdX X dX
K X dX
= ∫ −
x
F x X dX 0
2
x f
x X x
x
F x
b)
P ( x−E(x)< 0 , 1 ) =P(− 0 , 1 <x−E(x)< 0 , 1 )=P(− 0 , 1 +E(x)<x< 0 , 1 +E(x))
Debemos encontrar E(x)
E(x) X( 1 / 2 )( 2 X)dX 2 / 3 0 , 66
2
0
= (^) ∫ − = =
Entonces
P( − 0 , 1 +E(x)<x< 0 , 1 +E(x)=P( 0 , 5555 <X< 0 , 7666 )
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
f(X) = (100 – X)/ 10.000 0 ≤ X < 100
0 en t. o. l.
a) Calcule P ( X − E ( X )≤ 2 • σ)=e interprete el resultado.
b) Sea Y = 2X – 5 otra variable aleatoria que es función real de X. Determine la función de densidad de Y.
c) Si se lanzan los tres proyectiles, ¿Cuál es la probabilidad de que quede destruida la autopista?
Solución
P ( X − E ( X )≤ 2 • σ) =P(-30<X<30)=0,
E(x)=
4
100
0
2
0
100
2 2 = + + − = ∫ ∫ −
E X X X dX X X dX
σ( x )= 40 , 82
0
81 , 64
81 , 64
0
− < < = ∫ + + ∫ − = −
P X X dX X dX
b)
Teorema: Y
X
g y f H y ∂
− ( ) ( ( ))
1
H(X)=Y=2 X-5 X=(Y+5)/2 = 1 / 2
Y
X
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
to l
Y
y
Y
y
g y
c)
La probabilidad que un proyectil impacte es P(-40<X<40)=0,
La probabilidad que alguno de los tres impacten es 1- ( 1 2 3 )
c c c P I I I , donde I (^) i es el suceso
impacto del proyectil i y
c I (^) i es el no impacto.
c c c P I I I = 1 −
3 0 , 64 =0,
Los impactos o no impactos son independientes en cada lanzamiento del proyectil.
- En una industria de productos Químicos, las unidades son producidas por dos líneas A
y B en proporciones 80:20 respectivamente. Un 5% y 10% de las unidades producidas por
cada línea, respectivamente, son defectuosos. Las unidades son mezcladas y enviadas a los
compradores.
a) Determine la probabilidad que una unidad escogida al azar sea
defectuosa.
b) Si un cliente encuentra una unidad defectuosa, determine la probabilidad que se haya producido en la línea B.
c) Suponga ahora que se escogen dos unidades en forma aleatoria y resulta que ambas son defectuosas, calcule la probabilidad que la primera
unidad haya sido producida en la línea A y la segunda en la línea B.
Solución
1. Sean los sucesos: A : la unidad es producida en la linea A
B : la unidad es producida en la linea B D : la unidad es defectuosa
0,05 (^) D / A A 0,8 0,95^ Dc^ / A
0,2 0,10 D / B B 0,90 (^) Dc^ / B
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
( (^) [ ] [ ]) ( ) ( ) 9
P AD∩BD = PAD⋅PBD = ⋅ =
12 Suponga que las ocupaciones (trabajos) se agrupan en Alta (A), Media (M) y
Baja (B). Además A 1 significa que el padre tiene ocupación Alta y A 2 significa
que el hijo tiene ocupación Alta. Los subíndices 1 y 2 denotan padre e hijo
respectivamente. Glass y Hal (1954) obtuvieron las siguientes estadísticas de trabajo en Inglaterra y Gales:
A 2 M 2 B 2
A 1
M 1
B 1
Así, si el padre pertenece a A, las probabilidades de que el hijo pertenezca a las clases A, M y B son respectivamente 0.45, 0.48 y 0.07.
Suponga que en la generación de los padres el 10% está en A, el 40% está en M y el 50% en B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo esté en A?
b) Si el hijo pertenece a M ¿Cuál es la probabilidad de que el padre haya pertenecido a B? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo NO esté en B?
Solución.
A) P( A 2 ) = P( A 2 / A 1 )P( A 1 ) + P( A 2 / M 1 )P( M 1 ) + P( A 2 / B 1 )P( B 1 )
B) P( B 1 / M 2 ) = P( M 2 / B 1 )*P( B 1 ) / P( M 2 )
Donde P( M (^) 2 ) = P( M (^) 2 / A 1 )P( A 1 ) + P( M (^) 2 / M (^) 1 )P( M (^) 1 ) + P( M (^) 2 / B 1 )P( B 1 )
= 0.48 * 0.1 + 0.7 * 0.4 + 0.5 * 0. = 0.
Luego: P( B 1 / M (^) 2 ) =
- 578
Instituto Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Profesor: Jorge Rozas Asignatura: Probabilidad y Estadísticas 1° Semestre 2013
C) P(
C B 2 ) = P( M (^) 2 ∪ A 2 ) = P( M (^) 2 ) + P( A 2 ) (Por ser eventos excluyentes)
= 0.578 + 0.
= 0.
- Sean A y B eventos tales que: P(A)=0.5, P(B)=0.6 y P(A ∪ B)=0.
a) Demuestre que A y B son eventos independientes.
b) Demuestre que si A y B son independientes entonces A y
C B ,
C A y B , C A y
C B son independientes.
c) Usando lo demostrado anteriormente encuentre P( A ∩
C B ), P(
C A ∩ B ) y
P(
C A ∩
C B )
Solución
A) Bajo independencia P(A ∩ B)=P(A)*P(B) (Por demostrar)
P(A ∪ B)=P(A)+P(B)- P(A ∩ B) ⇔ P(A ∩ B)= P(A)+P(B)- P(A ∪ B)
Luego P(A ∩ B) = 0.5+0.6-0.8 = 0.
Por otra parte P(A)P(B)=0.50.6 = 0.
Luego P(A ∩ B) = P(A)*P(B) = 0.3 (Son independientes)
B) ( i ) Por demostrar que P(A ∩
C B ) = P(A)*P(
C B )
P(A ∩
C B ) = P(A) – P(A ∩ B) = P(A) – P(A)P(B) = P(A)(1-P(B))
= P(A) * P(
C B )
Son independientes
( ii ) Por demostrar que P(
C A ∩ B) = P(
C A )*P(B)
P(
C A ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B) = P(B) – P(B)P(A) = P(B)(1-P(A))
= P(B) * P(
C A )
Son independientes
( iii ) Por demostrar que P(
C A ∩
C B ) = P(^
C A )*P(^
C B )
