Análisis Matemático curso 2014–2015
Grado en Biotecnología. Primer curso.
Relación de ejercicios 3. Cálculo diferencial e integral para funciones de varias variables.
1. Describir el interior, la adherencia, la acumulación y la frontera de los siguientes conjuntos y decir si son
abiertos, cerrados, están acotados o son compactos (hacer un dibujo puede ayudar):
(a) Q
(b) {(x,y)∈R2:x2+y2<1}
(c) {(x,y)∈R2:x2+y2>1}
(d) {(x,y)∈R2:x2+y2=1}
(e) {(x,y)∈R2: 0 6x61,06y6x}
(f) {(x,y)∈R2:y<x2+1}
(g) {(x,y)∈R2:y=3x}
(h) {(x,y)∈R2:x=0,0<y<1}
(i) {(x,y)∈R2:x2+y261}
(j) {(x,y)∈R2: 0 6x61,−16y63}
2. Calcular el vector gradiente de la función fen cada uno de los siguientes casos:
a)f(x,y) = x3+3xy2−15x−12y,∀(x,y)∈R2.
b)f(x,y) = sen(xsen y),∀(x,y)∈R2.
c)f(x,y,z) = ey+z,∀x∈R+,y,z∈R.
d)f(x,y,z) = (x+y)z,∀x,y∈R+,z∈R.
3. Calcular el plano tangente a las siguientes superficies en el punto que se indica:
a)z=ln(1+x2+y2), en (0,0,0).
b)z2+3x−x2−y2=2 , en (1,1,1).
c)x3+y3+z3+xyz −6=0 , en (1,2,−1).
d)z=senxseny, en (π/2,π/4,√2/2).
4. Sean f:R3−→ R2yg:R2−→ R2, definidas por
f(x,y,z) = (sen(xy+z),(1+x2)yz ),g(u,v) = (u+ev,v+eu).
a) Calcular D f (1,−1,1).
b) Calcular Dg(0,1
2).
c) Calcular D(g◦f)(1,−1,1).
5. Sea f:R−→ Rderivable. Sea g:R2−→ Rdefinida por g(x,y) = f(x2y). Probar que
x∂g
∂x=2y∂g
∂y.
6. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de la función fen cada uno de los siguientes casos:
a)f(x,y) = senxseny
b)f(x,y,z) = ex+y+z
c)f(x,y,z) = (x+y)z
1
