Análisis de funciones de varias variables, Apuntes de Análisis Matemático

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TEMA 1

ANÁLISIS DE FUNCIONES DE

VARIAS VARIABLES

Análisis Matemático- M. Llorente 1

Algunos ejemplos

1. Demanda de leche según un estudio de R. Frich y T. Haavelmo

r

D A

p

Renta por familia

Precio

Constante Demanda de leche

Esta función no está correctamente especificada. ¿Porqué?

Falta el valor de la constante y las unidades en que se miden las variables ¿Cuáles son las variables independientes ¿Cuál es la variable dependiente o función?

r y p D

1.1 DEFINICIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

DOMINIO Y RECORRIDO

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Demanda de cerveza en Inglaterra

0.136 0.727 0.914 0. x 1,058 x 1 (^) x 2 (^) x 3 (^) x 4

  1 2 3 4

x

x

x

x

x

Renta del individuo Precio de la cerveza Indice general de precios de los otros bienes Contenido en alcohol

Demanda de cerveza

¿Qué se debe especificar para que esta función esté bien definida? ¿cuáles son las variables independientes y cuál la variable dependiente o función? ¿Porqué se usan los subíndices?

4

¿Tiene sentido que la renta del individuo, el precio de la cerveza, el contenido en alcohol ,… tomen valores negativos?

¿Para qué valores de las variables la función tiene sentido?

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Definición

Sea f : ℝn^ →ℝ llamamos dominio de f , D(f) ó Dom(f) a los puntos de ℝn^ para los que la función f está bien definida, es decir,

El conjunto de valores f (x 1 ,... , xn) correspondiente a dicho dominio se llama recorrido de f.

D ( f ) { x   n : f está bien definida }

Observación En caso de que nos encontremos con un problema de aplicación económica, además de ver para qué valores la función tiene sentido matemático, hemos de mirar qué valores pueden tomar las variables en el contexto en el que las estamos utilizando.

7

8

2. Dada la función de producción

Su dominio es

Ya que no tiene sentido matemático calcular el logaritmo de cantidades negativas, ni considerar cantidades negativas de factores

y  f ( x 1 , x 2 )  2 log( x 1  x 2 )

D ( f )  {( x 1 , x 2 )^2 : x 1  x 2  0 , x 1  0 , x 2  0 }

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3. Sea f (x, y) = log xy

Para que la función f esté definida es necesario que xy > 0 entonces x > 0, y > 0 o bien x < 0, y < 0 así el dominio de f será el siguiente conjunto

D ( f )  {( x , y )^2 : x  0 , y  0 }{( x , y )^2 : x  0 , y  0 }

4. Sea

La función f está definida para todo (x, y) ∈ ℝ^2 y, por tanto, el dominio de f es D(f) = ℝ^2_._

f ( x , y )  x^2  y^2

(^) 11

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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y

Sistema de referencia 3-D

x

z

Ejes coordenados

Coordenadas de un punto P

P º

Coordenada z (o también P 3 )

Coordenada x del punto P (o P 1 )

Coordenada y (o P 2 )

P 1

P 2

P 3

Origen

º O

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x

z

O^ y

¿cuáles son los puntos que cumplen la ecuación z=

¿cuáles son los puntos que cumplen la ecuación y=

x

z

O^ y

¿cuáles son los puntos que cumplen la 3 ecuación x = -

1

x

z

O^ y

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Vectores de 3 (n) dimensiones

Un vector 3-D (n-D) es cualquier objeto que se puede representar mediante 3 (n) coordenadas

Ejemplos: a) Las existencias de un almacén en que se trabaja con 357 artículos de ferretería se pueden representar mediante un vector de 357 coordenadas. b) Las entradas y salidas mensuales de ese almacén son también vectores de 357 coordenadas c) Dado un sistema de referencia 3-D (2-D), cada punto del espacio es un vector 3-D (2-D) d) Un desplazamiento en el plano requiere dos coordenadas, una para el desplazamiento horizontal y otra para el vertical. Es un vector 2-D. Un desplazamiento en el espacio 3-D es un vector de tres coordenadas: desplazamiento horizontal, vertical y cambio de altura 17

Si c =(c 1 ,c 2 ,...,c 8 ) es el consumo mensual de un individuo ¿Cuáles serán los consumos trimestral, semestral y anual?

l c = (lc 1 , lc 2 ,..., lc 8 ) con l =

3 para el trimestral, 6 para el semestral 12 para el anual

Producto de vectores por escalares

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

) 1 ( , , ) ( 1 , 1 , 1 ) 30 30 30 30 )( , , ) ( , , ) ( , , )

a a a a a a a

b a a a b b b a b a b a b



     Las operaciones suma, resta, producto con escalares surgen enseguida de forma natural al pensar en los pro- blemas económicos más básico

Si el consumo mensual de un individuo fue de a= (a 1 ,a 2 ,a 3 ) a) ¿cuál será su consumo diario? b) Si este individuo produce por sus propios medios un vector de cantidades b= (b 1 ,b 2 ,b 3 ) de los mismos bienes, ¿Qué cantidades debe adquirir para alcanzar un consumo a

¿Podría ser Negativa esa cantidad? ¿Qué significaría?

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Representación geométrica de

vectores

a ( a a 1 , 2 (^) , a 3 )

Representación de vectores 3-D: Flecha con origen en O extremo en el punto de coordenadas (^ a a 1 ,^2^ ,^ a 3 )

b ( b b 1 , 2 )

a (^1) Representación de vectores 2D

a 2

a 3

O

b 1

b 2

O

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