Télécharge Chapitre n°1 Classe: SECONDE et plus Résumés au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement!
Ensembles de nombres
a) Notion d’ensemble...........................................................................................
Définitions On appelle un ensemble de nombres une collection de nombres. Celui-ci est noté entre accolades et chaque nombre qu’il contient, appelé élément , est séparé par un point-virgule.
Le nombre d’éléments d’un ensemble est appelé le cardinal , noté Card ou #.
. Dans un ensemble, chaque élément n’apparaît qu’une seule fois : {1 ; 2 ; 1} = {1 ; 2}.
Exemples
- {1 ; 2 ; 3} contient les entiers 1 ; 2 et 3. Son cardinal est Card({1 ; 2 ; 3}) = 3 ; - { } = ∅ est l’ ensemble vide , il ne contient aucun nombre ; son cardinal est Card({ }) = 0 ; - {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; … } est l’ensemble des nombres premiers, son cardinal est infini.
Définition Si un nombre est dans un ensemble, on dit qu’il appartient à cet ensemble. Dans ce cas on utilise le symbole ∈, et ∉ sinon.
. On n’écrit jamais « il ∈ à {… } », les symboles doivent se trouver entre deux objets mathématiques : un nombre, une lettre de calcul littéral, un ensemble, etc.
Exemples
- 5 ∉ {1 ; 2 ; 3} mais 2 ∈ {1 ; 2 ; 3} ; - aucun nombre n’appartient à l’ensemble vide.
Définition Soient deux ensembles, le premier est dit inclus dans le second si tous les éléments du premier sont dans le second. Dans ce cas, on le note avec le symbole ⊂.
Exemples
- {1 ; 2} ⊂ {1 ; 2 ; 3} mais {4 ; 2} ⊄ {1 ; 2 ; 3} car 4 ∉ {1 ; 2 ; 3} ; - l’ensemble vide est inclus dans tous les autres ensembles.
Explications en Vidéo Explications sur Youtube de ce qu’est un ensemble :
youtu.be/iu2wY20NSHg
b) Ensembles standards...........................................................................................
Vidéo de présentation Petite présentation des ensembles de nombres sur Youtube, par la chaîne Arte :
youtu.be/3PK2Wm7_HSI
Définitions On définit les ensembles suivants
- ℕ l’ensemble des entiers naturels , ce sont les entiers positifs ou nuls ; - ℤ l’ensemble des entiers relatifs , ce sont les entiers positifs ou négatifs ; - 𝔻 l’ensemble des nombres décimaux , ce sont les nombres comportant un nombre fini de décimales non nulles ; - ℚ l’ensemble des nombres rationnels , ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction ; - ℝ l’ensemble des nombres réels , ce sont juste des nombres.
Exemples
- 0 ; 4 et 6 sont des entiers naturels ; - −1 ; −8 et 6 sont des entiers relatifs ; - 0,8 ; −325 et −14,75 sont des nombres décimaux, mais 0,333333 … n’est pas décimal ; - 31 ;
et −
sont des nombres rationnels ;
- Tous les nombres cités ci-dessus sont des nombres réels, en effet ce sont juste des nombres.
Remarque La calculatrice donne toujours un nombre fini de décimales, ce n’est pas toujours suffisant de regarder la calculatrice pour conclure quant à la décimalité d’un nombre :
Dans le premier cas, on peut conclure que
est un nombre décimal car ce nombre possède bien deux décimales
non nulles. Pour le second, on ne sait pas combien de décimales non nulles comporte
(il pourrait en avoir 17 , 34 ou une infinité !), on ne peut donc pas conclure avec seulement la définition.
Propriété (admise) Tout nombre réel peut être représenté par l’abscisse d’un point sur la droite numérique (ou droite des réels) :
− (^198101) −0,5 1123 2 (^) π
Propriété (admise) Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme 𝑎 10 𝑛^ où 𝑎 ∈ ℤ et 𝑛 ∈ ℕ.
Application
‰ Vérifier que −
3 200 est un nombre décimal.
. À la calculatrice, on n’est pas certain de l’infinité du nombre de décimales :
On va donc changer de méthode et réécrire de manière un peu différente le nombre, sous une forme qui permettra de conclure en utilisant la propriété précédente :
−
547 × 5^5
100 × 2^5 × 5^5
547 × 5^5
100 × 10^5
547 × 5^5
Ainsi −
s’écrit comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 , c’est donc un nombre décimal.
Démonstration Nous allons démontrer par l’absurde que 2 n’est pas rationnel. On admettra que π est irrationnel.
Si 2 est un nombre rationnel, alors il existe 𝑝, 𝑞 des entiers premiers entre eux tels que 2 = 𝑝𝑞 , c’est-à-dire
2 = 𝑝
2 𝑞^2 et^ 2𝑞
(^2) = 𝑝 (^2). On a alors que 2 divise 𝑝 (^2). Par le lemme ci-après (c’est-à-dire un petit résultat qui va nous
aider à démontrer ce que l’on veut), 2 divise 𝑝 et donc 𝑝 est pair.
𝑝 étant pair, il existe 𝑘 ∈ ℕ tel que 𝑝 = 2𝑘. Ainsi 2 = 𝑝 2 𝑞^2 =^
4𝑘^2 𝑞^2 , c’est-à-dire^ 2𝑘
(^2) = 𝑞 (^2) , de la même manière, 2 divise
𝑞. On a donc 2 qui divise à la fois 𝑝 et 𝑞 premiers entre eux! Ce n’est pas possible! Donc l’hypothèse est fausse et 2 est irrationnel.
Yvan Monka, sur Youtube, explique la démonstration de cette propriété (d’une façon légèrement différente) :
youtu.be/oRcTlNh1Sjc
Lemme Si 𝑛^2 est pair, alors 𝑛 est pair.
Démonstration Nous allons montrer ce lemme par contraposée. C’est-à-dire : « si 𝑛 n’est pas pair, alors 𝑛^2 n’est pas pair ».
Si 𝑛 est impair (= non pair), alors 𝑛 s’écrit 𝑛 = 2𝑘 + 1 pour un certain 𝑘. Montrons que 𝑛^2 n’est pas pair :
𝑛^2 = (2𝑘 + 1)^2 = 4𝑘^2 + 4𝑘 + 1 = 2(2𝑘^2 + 2𝑘) + 1.
Si on note 𝑚 = 2𝑘^2 + 2𝑘, on a 𝑛^2 = 2𝑚 + 1, en particulier 𝑛^2 est impair (et donc non pair). Nous avons donc montré le lemme par contraposée, il est donc vrai et si 𝑛^2 est pair, alors 𝑛 est pair.
Théorème-Définition (admis)
On a les inclusions suivantes :
que l’on peut schématiser par le diagramme suivant :
π (^) 2 π^2 + 3
On définit alors la nature d’un nombre le plus petit ensemble, parmi ces cinq ensembles, auquel ce nombre appartient.
Propriété (admise)
Un nombre rationnel possède un nombre infini de décimales qui deviennent périodiques au bout d’un certain temps.
Application
‰ Montrer que 25, 124 747 474 747 … est un nombre rationnel.
. La période dans les décimales du nombre est 47 , on voit que 47 se répète indéfiniment à partir d’un certain rang. Ainsi, par la propriété précédente, ce nombre est un nombre rationnel.
Il n’est pas au programme de seconde, mais ce nombre sera égal à 49 747 1 980
Les points de suspension sont importants! Cela permet de sous-entendre que le nombre de décimales est infini.
Remarque
. On peut aller encore plus loin en remarquant que la somme d’un irrationnel et d’un rationnel est un nombre irrationnel…
Par exemple 5 + 3 ou
youtu.be/zkZqyQdulkA
. Il parait même qu’il « existerait » des nombres qui ne sont pas réels, on les appellerait des nombres imaginaires… mais la suite est une autre histoire.
c) Intervalles...........................................................................................
Définition
Si 𝑎 < 𝑏 sont deux nombres réels, alors on a les notations suivantes :
Notation Encadrement Représentation
x ∈ [𝑎 ; 𝑏] 𝑎 ⩽ x ⩽ 𝑏 [^ ]
x ∈ ]𝑎 ; 𝑏[ 𝑎 < x < 𝑏 ]^ [
L’intervalle [𝑎 ; 𝑏] est dit fermé et ]𝑎 ; 𝑏[ est dit ouvert. On définit de la même manière les intervalles ]𝑎 ; 𝑏] et [𝑎 ; 𝑏[.
On définit, de plus, les intervalles suivants :
Notation Inégalité Représentation
x ∈ ]𝑎 ; +∞[ x > 𝑎 ]
x ∈ ]−∞ ; 𝑏] x ⩽ 𝑏 ]
On définit de la même manière les intervalles [𝑎 ; +∞[, ]−∞ ; 𝑏[ et ]−∞ ; +∞[.
+∞ se lit « plus infini » et −∞ se lit « moins infini ».
Ce ne sont pas des nombres, mais une notation. De plus le crochet est toujours ouvert en +∞ ou en −∞.
Remarque L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle, un singleton (c’est-à-dire un ensemble qui ne contient qu’un élément) ou l’ensemble vide tandis que la réunion de deux intervalles ne l’est pas nécessairement.
Explications en vidéo
youtu.be/hzINDVy0dgg
Yvan Monka, sur Youtube explique comment déterminer la réunion (←) ou l’intersection de deux intervalles (→). youtu.be/8WJG_QHQs1Y
Définition Soient 𝑎, 𝑏 et x trois réels, on dit que 𝑎 < x < 𝑏 est un encadrement décimal de x d’ amplitude 𝑏 − 𝑎 si 𝑎 et 𝑏 sont des nombres décimaux.
Exemples
- 3 < 6 < 7 est un encadrement décimal de 6 d’amplitude 4 ; - −0,3 < 0 < 0,3 est un encadrement décimal de 0 d’amplitude 0,3.
Théorème (admis) Tout nombre réel peut être encadré par deux nombres décimaux d’amplitude choisie.
. En particulier, c’est vrai pour une puissance de 10. On peut donc toujours trouver un encadrement décimal.
Application ‰ On a 5 ≈ 2,236067977, déterminer un encadrement décimal de 5 d’amplitude 10 −3^ (ou à 10 −3^ près).
. On cherche un encadrement d’amplitude 10 −3, la troncature (= on coupe) à 10 −3^ de 5 est 2,236 (on ne garde que les trois premières décimales).
Ainsi, un encadrement décimal de 5 d’amplitude 10 −3^ est 2,236 < 5 < 2,237.
Explications en vidéo Yvan Monka, sur Youtube, explique comment déterminer un encadrement décimal :
youtu.be/sJIXJT3fdcU
