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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2006 \
EXERCICE 1 6 points
On se propose de déterminer des valeurs approchées de l’intégrale I =
0
10 t^2 1 + t^2
d t
en utilisant deux méthodes distinctes. Les parties A et B sont largement indépendantes l’une de l’autre.
PARTIE A Utilisation d’une intégration par parties
1. En remarquant que
10 t^2 1 + t^2
= 5 t ×
2 t 1 + t^2
, établir l’égalité
I =
× ln
2 0
ln
1 + t^2
d t.
2. On pose, pour x positif ou nul, f ( x ) = ln(1 + x ) − x +
x^2 2
et g ( x ) = ln(1 + x ) − x.
a. En utilisant les variations de f , démontrer que f ( x ) > 0. En procédant de
la même façon, on pourrait établir que g ( x ) 6 0, inégalité que l’on admet-
tra ici. b. À l’aide de ce qui précède, montrer que l’encadrement :
t^2 −
t^4 2
6 ln
1 + t^2
6 t^2.
est vrai pour tout réel t. c. Déduire de la question précédente que
5 24
2 0
ln
1 + t^2
d t 6 −
3. En utilisant les questions précédentes, donner un encadrement d’amplitude inférieure à 0,02 de I par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule.
PARTIE B Utilisation de la méthode d’Euler
1. On pose ϕ ( x ) =
∫ x
0
10 t^2 1 + t^2
d t pour x ∈
[
]
Préciser ϕ (0) ainsi que la fonction dérivée de ϕ.
2. On rappelle que la méthode d’Euler permet de construire une suite de points Mn
xn ; yn
proches de la courbe représentative de ϕ. En choisissant comme pas h = 0,1, on obtient la suite de points Mn définie pour n entier naturel par : { x 0 = 0 y 0 = 0 et
xn + 1 = xn + 0, yn + 1 = y − n + ϕ ′^ ( xn ) × 0,
En utilisant, sans la justifier, l’égalité xn =
n 10
vérifier que yn + 1 = yn +
n^2 100 + n^2
3. Calculer y 1 , et y 2 , puis exprimer y 3 , y 4 et y 5 sous la forme d’une somme de fractions que l’on ne cherchera pas à simplifier. Donner maintenant une valeur approchée à 0,001 près de y 5. Le réel x 5 étant égal à
, y 5 est donc une valeur approchée de ϕ
c’est-à- dire de I.
4. Avec la méthode d’Euler au pas h = 0,01, on obtient, pour I, la valeur appro- chée 0,354. Les valeurs de I obtenues avec la méthode d’Euler sont-elles compatibles avec l’encadrement de la question 3. de la partie A?
EXERCICE 2 5 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
On désigne par A et B les point, d’affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unité graphique 2 cm) qui sera complété selon indications de l’énoncé. La question 1 est indépendante des questions 2 et 3_._
1. a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation
z^2 − 4 z + 6 = 0.
b. On désigne par M 1 et M 2 les points d’affixes respectives
z 1 = 2 + i
p 2 et z 2 = 2 − i
p
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe
z 1 − 3 z 1
En déduire que le triangle OBM 1 est un triangle rectangle. c. Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M 1 et M 2 , appar- tiennent à un même cercle C que l’on précisera. Tracer le cercle C et placer les points M 1 et M 2 sur le dessin.
2. On appelle f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′^ d’affixe z ′^ définie par l’égalité z ′^ = z^2 − 4 z + 6. On désigne par Γ le cercle de centre A et de rayon
p
Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin, a. Vérifier l’égalité suivante z ′^ − 2 = ( z − 2)^2. b. Soit M le point de Γ d’affixe z = 2 +
p 2ei θ^ où θ désigne un réel de l’inter- valle ] − π ; π ]. Vérifier l’égalité suivante : z ′^ = 2 + 2e2i θ^ et en déduire que M ′^ est situé sur un cercle Γ′^ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ′^ sur le dessin,
3. On appelle D le point d’affixe d = 2 +
p 2 + i
p 6 2
et on désigne par D′^ l’image de D par f. a. Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe d − 2. En déduire que D est situé sur le cercle Γ. b. À l’aide la question 2. b., donner une mesure de l’angle
u ,
AD′^
et placer le point D′^ sur le dessin. c. Démontrer que le triangle OAD′^ est équilatéral.
En déduire une équation cartésienne de ce plan. c. Déterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le volume de la pyramide EDIFJ. On rappelle que le volume V d’une pyramide de hauteur h et
de base correspondante B est donné par la formule suivante V =
× B × h.
2. Soit (∆) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ) a. Donner une représentation paramétrique de (∆) et prouver que K est un point de (∆). b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection L de (∆) et du plan (DIJ). c. Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BEG. 3. Soit (S) l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient l’équa- tion x^2 + y^2 + z^2 − 2 x − y − z +
a. Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera le centre et le rayon. b. Montrer que L est un point de (S), Quelle propriété géométrique relative à (S) et au plan (DIJ) peut-un déduire de ce dernier résultat?
EXERCICE 4 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
On désigne par A et C les points d’affixes respectives 1 et 2i. Sur le dessin joint en annexe (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB].
1. a. Justifier le fait qu’il existe une unique similitude directe s qui transforme O en I et A en C. b. Déterminer l’écriture complexe de s. En déduire les éléments caractéris- tiques de s et, en particulier, établir que l’affixe du centre Ω de s vaut 1 + 3i 5
c. Vérifier par un calcul que Ω est situé sur le cercle Γ de centre A passant par O.
2. Soit f l’application du plan complexe d’écriture complexe
z 7 −→
− 3 − 4i 5 z +
8 + 4i 5
a. Déterminer les images par f des points A et C. En déduire la nature pré- cise de f , puis démontrer que I est l’image de Ω par la symétrie orthogo- nale d’axe (AC). b. Construire le cercle Γ sur le dessin et placer également le point Ω en utili- sant les informations géométriques précédentes.
3. À tout point M d’image M ′^ par s , on associe le point M ′′^ défini par l’égalité vectorielle
M ′^ M ′′^ =
Ω M.
a. Quel est le point Ω′′^ associé à Ω? b. Construire avec soin le point A′′^ en laissant les traits de construction. c. On suppose maintenant que M a pour affixe z. Démontrer que M ′′^ a pour affixe z ′′^ = i z +
4 + 2i 5
En déduire que M ′′^ est l’image de M par une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques. d. Déterminer et représenter sur le dessin l’ensemble Γ′′^ des points M ′′^ lorsque M décrit le cercle Γ.
Annexe (exercice de spécialité)
O −→ u
v
A
I
B
C
