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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2006 \
EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal
O,
ı ,
k
, ,on considère les points : A de coordonnées (3 ; 1 ; −5), B de coordonnées (0 ; 4 ; −5), C de coordonnées (−1 ; 2 ; −5) et D de coordonnées (2 ; 3 ; 4).
Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Au- cune justification n’est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention « VRAI » ou « FAUX ». On attribue 0,5 point par réponse correcte et on retranche 0,25 point par réponse incorrect. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à 0.
1. Les points A, B et D sont alignés. 2. La droite (AB) est contenue dans le plan d’équation cartésienne : x + y = 4. 3. Une équation cartésienne du plan (BCD) est : 18 x − 9 y − 5 z + 11 = 0. 4. Les points A, B, C et D sont coplanaires. 5. La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD). 6. Une représentation paramétrique de la droite (BD) est :
x = 1 − 2 k y =
z = −
− 9 k
EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal
O,
u ,
v
. On prendra pour
unité graphique 1 cm.
1. Question de cours On rappelle que : « Pour tout vecteur
w non nul, d’affixe z on a : | z | = ‖
w ‖ et arg ( z ) =
u ,
w
Soient M , N et P trois points du plan, d’affixes respectives m , n et p tels que m 6 = n et m 6 = p. a. Démontrer que : arg
( (^) p − m n − m
M N ,
MP
b. Interpréter géométriquement le nombre
p − m n − m
2. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives
z A = 4 + i, z B = 1 + i, z C = 5i et z D = − 3 − i.
Placer ces points sur une figure.
3. Soit f l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z as- socie le point M ′^ d’affixe z ′^ tel que :
z ′^ = (1 + 2i) z − 2 − 4i.
a. Préciser les images des points A et B par f.
b. Montrer que f admet un unique point invariant Ω, dont on précisera l’af- fixe ω.
4. a. Montrer que pour tout nombre complexe z , on a :
z ′^ − z = −2i(2 − i − z ).
b. En déduire, pour tout point M différent du point Ω, la valeur de
M M ′
Ω M
et
une mesure en radians de l’angle
M Ω ,
M M ′^
c. Quelle est la nature du triangle Ω M M ′^? d. Soit E le point d’affixe z E = − 1 − i
p
- Écrire z E sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E′^ associé au point E.
EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Rappel : Pour deux entiers relatifs a et b , on dit que a est congru à b modulo 7, et on écrit a ≡ b mod 7 lorsqu’il existe un entier relatif k tel que a = b + 7 k.
1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances a. Soient a , b , c et d des entiers relatifs. Démontrer que : si a ≡ b mod 7 et c ≡ d mod 7 alors ac ≡ bd mod 7. b. En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls si a ≡ b mod 7 alors pour tout entier naturel n , an^ ≡ bn^ mod 7. 2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que an^ ≡ 1 mod 7. 3. Soit a un entier naturel non divisible par 7. a. Montrer que : a^6 ≡ 1 mod 7. b. On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k , le plus petit entier na- turel non nul tel que ak^ ≡ 1 mod 7. Montrer que le reste r de la division euclidienne de 6 par k vérifie ar^ ≡ 1 mod 7. En déduire que k divise 6. Quelles sont les valeurs possibles de k? c. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6. 4. À tout entier naturel n , on associe le nombre
An = 2 n^ + 3 n^ + 4 n^ + 5 n^ + 6 n^.
Montrer que A 2006 ≡ 6 mod 7.
EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats
Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées.
La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à
La probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à
Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes.
Soit n un entier naturel vérifiant 0 6 n 6 50.
On définit les évènements suivants :
4. On désigne par D n le domaine délimité par la courbe (Γ), l’axe des abscisses et les droites d’équation : x = αn et x = e. a. Calculer l’aire du domaine D n en fonction de αn et montrer que cette aire est égaie à
α^2 n n
b. Établir que :
(e − αn ) ln αn 6
α^2 n n
6 (e − αn ).
c. En déduire un encadrement de n (e − αn ). d. La suite de terme général n (e − αn ) est-elle convergente? Ce résultat permet- il d’apprécier la rapidité de la convergence de la suite ( αn )?
