Terminale S juin 2009
Polynésie
1. Exercice 1
4 points
Une entreprise fabrique des lecteurs MP3 dont 6 % sont défectueux.
Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite.
Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5% des lecteurs MP3 fonctionnant
correctement.
On note :
• D l’évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ;
• R l’évènement : « l’unité de contrôle rejette le lecteur MP3 ».
1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2. a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.
b. On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas défectueux,
ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux.
Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.
3. Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.
4. Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut
être commercialisé. Un lecteur MP3 est :
• commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les quatre contrôles successifs,
• détruit s’il est rejeté au moins deux fois,
• commercialisé sans le logo sinon.
Le coût de fabrication d’un lecteur MP3 s’élève à 50 euros. Son prix de vente est de 120 euros pour un
lecteur avec logo et 60 euros pour un lecteur sans logo.
On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en
euros (éventuellement négatif) réalisé par l’entreprise.
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
b. Calculer à 10–2 près l’espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat.
2. Exercice 2 (non spécialistes)
5 points
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct. On supposera connus les résultats suivants :
• Pour tous points A, B et C du plan d’affixes respectives a, b et c, avec
AC
et
AB
:
b a AB
c a AC
et
arg , 2
ba AB AC k
ca
où k est un entier relatif ;
• Soit z un nombre complexe et soit
un nombre réel :
i
ze
si et seulement si
1z
et
arg 2zk
où k est un entier relatif.
Démontrer que la rotation r d’angle
et de centre
d’ affixe
est la transformation du plan qui à
tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :
'i
z e z
.
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
( ; , )O u v
(unité graphique : 1 cm).
Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :
' 4 4z iz i
.
1. a. Déterminer l’affixe
du point
telle que
f
.
b. Montrer que, pour tout nombre complexe z on a :
' 4 4z i i z i
.
c. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.
